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人教A版高中数学必修四《平面向量的基本定理及坐标表示》学案


湖南省隆回县万和实验学校高中数学 《平面向量的基本定理及坐标表 示》学案 新人教 A 版必修 4 【学习目标】 要求学生掌握平面向量的基本定理, 能用两个不共线向量表示一个或一个向量 分解 为两个向量. 【学习重点】 .平面向量的基本定理及其应用. 【学习难点】平面向量的基本定理. 一、课前回顾 1.向量共线定理: 向量b与非零向量a共线,当且仅当有唯 一的一个实数?,使b=?a. 2.向量的加法运算(平行四边形法则) ; 3 给定平面内的任意俩个向量 e1 , e2 ,作出向量 3 e1 +2 e2 , e1 —2 e2 . 二、新课讲授 1 平面向量基本定理 思考 1;一个平面内的俩个 不共线的向量 e1 , e2 平面内与任意一个向量 a 的关系 e1 , e2 是不共线向量, a 是平面内任一向量, OA = e1 , OM =λ OB = e2 , ON =λ 1 e2 , OC = a = OM + ON =λ e1 +λ e2 , 1 2 2 e2 . 得平面向量基本定理: 如果 1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数λ 1 ,λ 2 使 a =λ 1 e e1 +λ e2 . 2 我 们 把 不 共 线 的 向 量 e1 , e2 叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组 基 底 合作探究 (1)假如 1 , e2 共线,那么对于这一平面内的任一向量 a ,是否也有且只有一对实 数λ 1 ,λ 2 使 a =λ 1 e e1 +λ e2 . 2 (2)λ 1,λ 2 是被 a , 1 , e2 唯一确定的数量吗? (3)平面内的任一向量 a 都可以由平面内的俩个不 共线的向量 e1 , e2 表示出来吗 2.向量的夹角: 显然,不共线的向量存在夹角, 关于向量的夹角,我们规定:已知两个非零向量 a , b ,作 e ? ? ? ? OA ? a , OB ? b ,则 如果 ?AOB ? ? , 当 当 3.垂直向量 如果 【典例剖析】 例1 叫做向量 a 与 b 的夹角。 。 ? ? 则 ? 的取值范围是 时,表示 a 与 b 同向; ? ? 时,表示 a 与 b 反向。 ? ? ,就称 a 与 b 垂直,记作 ? ? 已知向量 1 , e2 ,求作向量?2.5 1 +3 e2 . 作法: (1)取点 O,作 OA =?2.5 1 , OB =3 e2 , (2)作平行四边形 OACB, OC 即为所求. 思考:此题还有其他的做法吗? e e e e2 e1 三.知识梳理: 1. 平面向量的基本定理告诉我们, 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解 成两个向量的和,并且这种分解是唯一的。 2.平面向量的基本定理中“同一平面内两 个不共线的向量 e1 、 e 2 ”叫做基底,基底的条 件是在同一平面内不共线,即同一平面内的两个向量 e1 、 e 2 只要不共 线即可作为基底,换 句话说, 平面内向量的基底不唯一, 那么同一平面内任何一组不共线的向量都可作为表示这 一平面内的所有向量的基底。 3 .由于零向量可看成与任何向量共线,所以零向量不可以作为基底。 【总结反思】 【巩固拓展训练】 1.若平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,设 OA ? a , OB ? b ,则向量 BC 等 于( ) ? ? ? ? ??? ? ??? ?

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