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四川省成都外国语学校12-13学年高二上期期中考试数学试题

成都外国语学校高 2014 级半期考试数学试题
出题人:罗德益 审题人:王福孔
注意事项: 1、本堂考试 120 分钟,满分 150 分。 2、答题前,请考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卷上,并使用 2B 铅笔填涂。 3、请将所有试题的答案写在答题卷相应位置,考试结束后,请考生将答题卷交回。 参考公式: S正棱柱或圆柱侧=Ch ; S正棱锥或圆锥侧= Ch? ; S球面=4? R2 ;

1 2

1 S正棱台或圆台侧= (C上 ? C下 )h? ; 2
1 4 1 V柱体=Sh ; V锥体= Sh ; V球= ? R3 ; V台体= (S上+S下+ S上 S下)h 。 3 3 3
一、选择题(本大题 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,请将答案涂在答题卷上) 1.在空间四点中,如果任意三点都不共线,那么经过其中三点的平面( ) A、必定 4 个 B、 4 个或 1个 C、 3 个或 1个 D、 1个、 3 个、 4 个都有可能 2.一个几何体的正视图和侧视图如图所示,则这个几何体的俯视图不可能是( )

A

B

C

D

正视图

侧视图 )

3.已知空间四边形 ABCD ,连接 AC , BD 。设 G 是 CD 的中点,则 AB ? ( BD ? BC) ? ( A、 AG B、 CG C、 BC D、

1 2

1 BC 2

4.已知三条直线 m, n, l ,三个平面 ? , ? , ? 。下面四个命题中,正确的是(



A、

? ?? ? ? ? ? // ? ? ?? ?

B、

m // ? ? ??l ? ? l ? m?

C 、

m // ? ? ? ? m // n n // ? ?

D 、

m??? ? ? m // n n ?? ?
5.已知 a ? ?1 ? t ,1 ? t , t ? , b ? ? 2, t , t ? ,则 b ? a 的最小值是( A、 ) D、

5 5

B、

55 5

C、

3 5 5

11 5


6.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 棱长为 a , E 是 CC1 的中点,则 E 到直线 A1 B 的距离为(

3 6 5 a a a B、 C、 3 2 2 7.在△ ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范围是(
A、

D、 )

3 2 a 4

A、 (0, ]

? 6

B、 [ , ?)

? 6

C、 (0, ]

? 3

D、 [ , ?)

? 3

8.如果一个圆柱,一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径,则圆柱、球、圆锥的体积之比 为( ) A、 6 : 5 : 4 B、 5 : 4 : 3 C、 3 : 2 :1 D、 4 : 2 :1 9.已知二面角 ? ? a ? ? 的大小为

? ,若平面 ? 内一点 A 到平面 ? 的距离为 3 ,则 A 在平面 ? 3
) C、 1 D、

内的射影 A1 到平面 ? 的距离是( A、 3 B、 2

3 2 10.若三棱锥 A ? BCD 侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等,则动 点 P 的轨迹与 ?ABC 组成的图形可能是( ) A A A A
P B A C B P B C B P C B1 C B P D A1 C1 C D1

11.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 DD1 的中点, F 是 侧面 CDD1C1 上的动 点,且 B1 F //平面 A1 BE ,则 B1 F 与平面

CDD1C1 所成角的正切值构成的集合是 (
A、 {2} C、 {t | 2 ? t ? 2 2} B、 {
2 5 } 5

) A B C D

D、 {t |

2 5 ? t ? 2} 5

12.某几何体的一条棱长为 11 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 10 的线段,在 该几何体的侧视图和俯视图中,这条棱的投影分别是长为 x 和 y 的线段,则 x ? y 的最大值为 ( ) B、 2 3 C、 4 D、 2 6 y A B(O) C D x

A、 2 2

二.填空题(本大题 4 个小题,每题 4 分,共 16 分,请把答案填在答题卷上) 13. 有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是 直角梯形(如右图所示) , ?ABC ? 45 , AB ? AD ? 1, CD ? BC , 则这块菜地的面积为_____________。

14. 空间四边形 ABCD 中, AB ? CD ? 8, M , N 分别是 BD, AC 的中点,若异面直线 AB 与 CD 所成角为 60 ,则 MN ? _________ 。 A 15. 如图所示,在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? 0 B A ? BD ? C 且 2 AB ? BD ? 1,沿 BD 折成直二面角 ,
2 2

A D B C C D

则三棱锥 A ? BCD 的外接球表面积为_______。 16. 设 f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ,其中 a, b ? R, ab ? 0 。若 f ( x) ?| f ( ) | 对一切 x ? R 恒成立,则

11? 7? ? ) ? 0 ;②| f ( ) |?| f ( ) | ;③ f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数;④ f ( x) 的单调递增 12 10 5 ? 2? 区间是 [k? ? , k? ? ], (k ? Z ) ;⑤ 存在经过点 ( a, b) 的直线与函数 f ( x) 图像不相交. 6 3
①f ( 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号).

? 6

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (12 分)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部为底面是正方形,侧面是全等 的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1 ? ABCD 。上部为一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是 全等矩形的四棱柱 ABCD ? A2 B2C2 D2 。 (1)证明:直线 B1 D1 ? 平面 ACC2 A2 。 (2) 现需要对该零件表面进行防腐处理, 已知 AB ? 10, A (单位: 1B 1 ? 20, AA 2 ? 30, AA 1 ? 13 厘米)每平方厘米的加工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少元? D2 C2 A2 B2 D A D1 A1 B1 B C1 C

18. ( 12 分 ) 如 图 所 示 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 A B C D 为一直角梯形,其中

AB ? AD, CD ? AD,

C D? A D ?2

A, B PA ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点。

(1)求证: BE // 平面 PAD ; (2)若 BE ? 平面 PCD ,求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值。 P E D C A

19. ( 12

分 ) 在 ?ABC 中 , 角

A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c ,

m ? (sin A ? sin C,1), n ? (1, ? p sin B),
1 2 ,又 ac ? b 。 且m ? n , p ? R 4 5 (Ⅰ )当 p ? , b ? 1 时,求 a, c 的值; 4
(Ⅱ )若角 B 为锐角,求 p 的取值范围;

20. (12 分) 如图, 在棱长为 1的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,P 是侧棱 CC1 上的一点,CP ? m 。 (1)试确定 m ,使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2 。 A1 (2)在线段 AC 1 1 上是否存在一定点 Q ,使得对任意的 m , D 1Q 在平 面 APD1 内的射影垂直于 AP ,并证明你的结论。 A D B D1 B1 P C C1

AE : EB ? CF : FA E , F , P 分别是 AB, AC , BC 边上的点, 21. (12 分) 在正三角形 ABC 中, 满足:
? CP : PB ? 1: 2(如图甲) ,将 ?AEF 沿 EF 折成到 ?A1 EF 的位置,使二面角 A 1 ? EF ? B
成直二面角,连接 A1B, A1P (如图乙) 。 (1)求证: A1E ? 平面 BEP ; (2)求二面角 B ? A1P ? F 的余弦值; (3)求点 F 到平面 A1 BP 的距离。 B E F P C B E F C P A A1

22. (14 分)已知 ?ABC 和 ?DBC 是两个有公共斜边的直角三角形,并且 AB ? AD ? AC ? 2a,

CD ? 6a 。
(1)若 P 是 AC 边上的一点,当 ?PBD 的面积最小时,求二面角 B ? PD ? C 的正切值; (2)在(1)的条件下,求点 C 到平面 PBD 的距离; (3)能否找到一个球,使 A, B, C , D 都在该球面上,若不能,请说明理由;若能,求该球的 内接正三棱柱的侧面积的最大值。 A P

B

C

D

成都外国语学校高 2014 级半期考试数学试题
出题人:罗德益 审题人:王福孔
注意事项: 1、本堂考试 120 分钟,满分 150 分。 2、答题前,请考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卷上,并使用 2B 铅笔填涂。 3、请将所有试题的答案写在答题卷相应位置,考试结束后,请考生将答题卷交回。
2 参考公式: S正棱柱或圆柱侧=Ch ; S正棱锥或圆锥侧= Ch? ; S球面=4? R ;

1 2

1 S正棱台或圆台侧= (C上 ? C下 )h? ; 2

1 4 1 V柱体=Sh ; V锥体= Sh ; V球= ? R3 ; V台体= (S上+S下+ S上 S下)h 。 3 3 3
一、选择题(本大题 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,请将答案涂在答题卷上) 1.在空间四点中,如果任意三点都不共线,那么经过其中三点的平面( )B A、必定 4 个 B、 4 个或 1个 C、 3 个或 1个 D、 1个、 3 个、 4 个都有可能 2.一个几何体的正视图和侧视图如图所示,则这个几何体的俯视图不可能是( )D

A

B

C

D

正视图

侧视图 )

1 3.已知空间四边形 ABCD ,连接 AC , BD 。设 G 是 CD 的中点,则 AB ? ( BD ? BC) ? ( 2
A A、 AG B、 CG C、 BC D、

1 BC 2

4.已知三条直线 m, n, l ,三个平面 ? , ? , ? 。下面四个命题中,正确的是(

)D

A、

? ?? ? ? ? ? // ? ? ?? ?

B、

m // ? ? ??l ? ? l ? m?

C 、

m // ? ? ? ? m // n n // ? ?

D 、

m??? ? ? m // n n ?? ?
5.已知 a ? ?1 ? t ,1 ? t , t ? , b ? ? 2, t , t ? ,则 b ? a 的最小值是( A、 )C D、

5 5

B、

55 5

C、

3 5 5

11 5
)D

6.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 棱长为 a , E 是 CC1 的中点,则 E 到直线 A1 B 的距离为( A、

3 6 5 3 2 a a a a B、 C、 D、 3 2 2 4 7.在△ ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范围是( C ) ? ? ? ? A、 (0, ] B、 [ , ?) C、 (0, ] D、 [ , ?) 6 6 3 3 2 2 2 2 【解析】 根据正弦定理有 a ≤b +c -bc,由余弦定理可知 a =b2+c2-2bccosA,所以 b2+c2- 1 ? 2bccosA≤b2+c2-bc,即有 cosA≥ ,所以角 A 的取值范围为 (0, ] ,选择 C. 2 3 8.如果一个圆柱,一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径,则圆柱、球、圆锥的体积之比 为( C ) A、 6 : 5 : 4 B、 5 : 4 : 3 C、 3 : 2 :1 D、 4 : 2 :1 ? 9.已知二面角 ? ? a ? ? 的大小为 ,若平面 ? 内一点 A 到平面 ? 的距离为 3 ,则 A 在平面 ? 3
内的射影 A1 到平面 ? 的距离是( )D

3 2 10. 若三棱锥 A ? BCD 侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等,则动 点 P 的轨迹与 ?ABC 组成的图形可能是( )D A A A A
A、 3 B、 2 C、 1 D、 B P A C B P B C B P C B1 C B A1 P D C1 C D1

11.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 DD1 的中点, F 是侧 面 CDD1C1 上的动 点,且 B1 F //平面 A1 BE ,则 B1 F 与平面 CDD1C1 所成角的正切值构成的集合是 ( A、 {2} C、 {t | 2 ? t ? 2 2} B、 { )C

2 5 } 5

A B C

D

D、 {t |

2 5 ? t ? 2} 5

12.某几何体的一条棱长为 11 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 10 的线段,在 该几何体的侧视图和俯视图中,这条棱的投影分别是长为 x 和 y 的线段,则 x ? y 的最大值为 ( )D B、 2 3 C、 4 D、 2 6 y A B(O) C D x

A、 2 2

二.填空题(本大题 4 个小题,每题 5 分,共 20 分,请把答案填在答题卷上) 13. 有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是 直角梯形(如右图所示) , ?ABC ? 45 , AB ? AD ? 1, CD ? BC ,则这 块菜地的面积为_____________。 2 ?

2 2

14. 空间四边形 ABCD 中, AB ? CD ? 8, M , N 分别是 BD, AC 的中点,若异面直线 AB 与 CD 所成角为 60 ,则 MN ? _________ 。 4 3 或 4 15. 如图所示,在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? 0 且 2 AB ? BD ? 1,沿 BD 折成直二面角 A ? BD ? C , 则三棱锥 A ? BCD 的外接球表面积为_______。 ? 16. 设 f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ,其中 a, b ? R, ab ? 0 。若 f ( x) ?| f ( ) | 对一切 x ? R 恒成立,则
2 2

A B D

A D C

B C

11? 7? ? ) ? 0 ;②| f ( ) |?| f ( ) | ;③ f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数;④ f ( x) 的单调递增 12 10 5 ? 2? 区间是 [k? ? , k? ? ], (k ? Z ) ;⑤ 存在经过点 ( a, b) 的直线与函数 f ( x) 图像不相交. 6 3
①f ( 以上结论正确的是___① ③ _____(写出所有正确结论的编号).

? 6

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) D2 17. (12 分)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部为底面是 A2 正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1 ? ABCD 。上部为一个 底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等矩形的四棱柱 ABCD ? A2 B2C2 D2 。 (1)证明:直线 B1 D1 ? 平面 ACC2 A2 。 D A D1

C2 B2 C B C1

A1 B1 (2) 现需要对该零件表面进行防腐处理, 已知 AB ? 10, A (单位: B ? 20, AA ? 30, AA ? 13 1 1 2 1 厘米)每平方厘米的加工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少元? 解:(1)略 ( 2 ) S1 ? S四棱柱上底面 ? S四棱柱侧面 ? 1300 , S2 ? S四棱台下底面 ? S四棱台侧面 ? 1120 ,

S ? 2420cm2
处理费为: 2420 ? 0.20 ? 484 元 18. ( 12 分 ) 如 图 所 示 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 A B C D 为一直角梯形,其中

AB ? AD, CD ? AD,

C D? A D ?2

B A, B PA ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点。 P E D A B

(1)求证: BE // 平面 PAD ; (2)若 BE ? 平面 PCD ,求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值。 解: (1)取 PD 中点 F ,可证 ABEF 为平行四边形 ? BE // AF , BE ? 平面 PAD , ? BE // 平面 PAD (2)取 CD 中点 G , ?EGA 为所求

C

1 设 AB ? a ,则 PD ? 2 2a, EG ? 2a, AG ? 5a , AE ? PC ? 3a 2

? cos ?EGA ?

10 5

19.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , m ? (sin A ? sin C,1), n ? (1, ? p sin B),

1 2 ,又 ac ? b 。 且m ? n , p ? R 4 5 (Ⅰ )当 p ? , b ? 1 时,求 a, c 的值; 4
(Ⅱ )若角 B 为锐角,求 p 的取值范围; 解:(1)?m ? n,?m ? n ? 0 ? sin A ? sin C ? p sin B ? 0

5 ? 1 a?c ? , ?a ? 1, ? ? ? ? ?a ? , 4 由题设并利用正弦定理,得 ? ,解得 ? 4 1 或? c? , ? ?ac ? 1 , ? ? 4 ?c ? 1. ? ? 4
(2)由余弦定理, b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B ? p 2b2 ? b2 ? b2 cos B
2 即p ?

3 1 3 ? cos B ,因为 0 ? cos B ? 1, 得p 2 ? ( , 2) , 2 2 2

1 2

1 2

由题设知 p ? 0, 所以

6 ? p ? 2. 2

CP ? m 。 20. (12 分) 如图, 在棱长为 1的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 是侧棱 CC1 上的一点,
(1)试确定 m ,使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为 3 2 。 (2)在线段 AC 1 1 上是否存在一定点 Q ,使得对任意的 m , D 1Q 在平 面 APD1 内的射影垂直于 AP ,并证明你的结论。 解: (1)建系,平面 BDD1B1 的一个法向量 AC ? ? ?1,1,0 ? , AP ? ? ?1,1, m ? D1 C1 B1 P

cos AC, AP ?

2 2 ? 2 ? m2

,?sin ? ?

2 2 ? m2



A1

tan ? ?

2 1 ? 3 2,? m ? m 3
A

D B

C

(2)由题意知, AP ? D1Q 。设 AQ ? ? AC 1 1 1,

?? x ?1, y, z ?1? ? ? ? ?1,1,0? ,
?x ? 1? ? ? ?? y ? ? ? z ?1 ?

AP ? ? ?1,1, m? ?Q ?1 ?? , ? ,?1 ? ,D ? ?, ? , ,0 ? 1? 1 Q ?

1 ?1 1 ? ? AP ? D1Q ? 0,? ? ? ,? Q ? , ,1? 2 ?2 2 ?
AE : EB ? CF : FA E , F , P 分别是 AB, AC , BC 边上的点, 21. (12 分) 在正三角形 ABC 中, 满足:
? CP : PB ? 1: 2(如图甲) ,将 ?AEF 沿 EF 折成到 ?A1 EF 的位置,使二面角 A 1 ? EF ? B
成直二面角,连接 A1B, A1P (如图乙) 。 E F B P C B A1

A

E

F C P

(1)求证: A1E ? 平面 BEP ; (2)求二面角 B ? A1P ? F 的余弦值; (3)求点 F 到平面 A1 BP 的距离。 解: (1)设三角形边长为 3 ,

?ADE 为边长为 2 的正三角形,

? EF ? 3, AF 2 ? AE 2 ? EF 2
? AE ? EF ,则 A1E ? EF ,又二面角 A1 ? EF ? B 成直二面角

? A1E ? 平面 BEP
(2)设 E 为原点, EB, EF , EA1 所在直线分别为 x, y, z 轴,建立如图所示坐标系。 设面 A1BP 的一个法相量为 n ? ? x, y, z ? ,则有

? ?n ? A1B ? 0 ? ? 2x ? z ? 0 ?? ,令 x ? 3 , n ? ? x ? 3 y ? z ? 0 n ? A P ? 0 ? ? ? ? 1
设面 A1 PF 的一个法相量为 m ? ? x, y, z ? ,则有

?

3,1, 2 3

?

?x ? 3y ? z ? 0 ? ? m ? A1 P ? 0 ? ?? ,令 z ? 2 3 , m ? 0,1, 3 ? m ? A F ? 0 3 y ? z ? 0 ? ? ? 1 ? 7 7 cos n, m ? ? ,? cos ? ? ? 8 8

?

?

(3)

PF ? ? ?1,0,0 ? ,? d ?

PF ? n n

?

3 4

22 . 已 知 ?ABC 和 ?DBC 是 两 个 有 公 共 斜 边 的 直 角 三 角 形 , 并 且

AB ? AD ? AC ? 2a, CD ? 6a 。
(1)若 P 是 AC 边上的一点,当 ?PBD 的面积最小时,求二面角 B ? PD ? C 的正切值; (2)在(1)的条件下,求点 C 到平面 PBD 的距离; (3)能否找到一个球,使 A, B, C , D 都在该球面上,若不能,请说明理由;若能,求该球的 内接正三棱锥的侧面积的最大值。 解: (1)作 PH ? BC , HE ? BD 于 E ,连 PE 设 PH ? x ? CH ,? BH ? 2 2a ? x A P

? EH ?

3 3 2 2 a ? x ? 6a ? x 2 2
D

?

?

B

C

? 3 ? 7 2 2 7? 6 2 ? 24 2 2 ? PE ? x ? ? 6 a ? x ? x ? 3 2 ax ? 6 a ? a ? x ? a? ? a ? ? ? 2 ? 4 2 4? 7 ? 7 ? ? ? ?
2

2

2

0 ? x ? 2a,? x ?

6 2 a 时, S?PBD 最小 7

? 6 ? 8 6 9 6 ? ? PB ? ? 0, ? 2a, ? 2a ? , PD ? ? a , ? 2 a , ? 2 a ? ? 2 ?, 7 7 14 7 ? ? ? ?
设面 PBD 的一个法相量为 n ? ? x, y, z ? ,则有

?4 y ? 3 z ? 0 ? ? n ? PB ? 0 ? ?? ? 3 ,令 z ? 4 , n ? x ? z n ? PD ? 0 ? ? ? ? 4
设面 PCD 的一个法相量为 m ? ? x, y, z ? ,则有

?

3, ?3, 4

?

? y?z ? ?m ? PC ? 0 ? ?? ? 3 ,令 z ? 4 , m ? x ? z m ? PD ? 0 ? ? ? ? 4
c o sn m , ? 5 ?, 设二面角为 , 10

?

3, 4, 4

?

?c o ? s ??

5 即 tan ? ? ? 19 10

(2)

BC ? 0, 2 2a,0 ,? d ?

?

?

BC ? n n

?

3 14 a 7

(3)取 BC 中点 O ,则球心为 O , R ? 设正三棱锥的底面边长为 x ,高为 y

2a

A1O ?

3 1 x, OO1 ? y 3 2
2

1 1 ? x 2 ? y 2 ? 2a ,2? xy ? 2 3a 3 4

( x ? 3a, y ? 2a 时取等号) ? S侧 ?3 x y ?6 3 2a

()


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