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8.4.1 向量的内积_图文

8.4.1 向量的内积

学习目标:
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件.

一、复习引入:

·

1. 向量共线定理 2.平面向量基本定理 3.平面向量的坐标表示 4.平面向量的坐标运算
? ? ? 5.a ∥b ( b ?
0)的条件

6.两个非零向量夹角的概念

思考:
1.力做的功 2.两个非零向量夹角的概念

考考你

二、新授内容:
1.平面向量数量积(内积)的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角θ,则数量 |a||b|cos?叫a与b的数量积,记作a?b,即有a?b = |a||b|cos?,(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0. 探究:1.两个向量的数量积与同实数积有什么区别? 2.两个向量的数量积与实数同向量的积有什么区别?

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2.两个向量的数量积与同实数积的区别:
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符 号由cos?的符号所决定; (2)两个向量的数量积称为内积,写成a?b,书写 时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号,既 不能省略,也不能用“×”代替。

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(3)在实数中,若a?0,且a?b=0,则b=0;但 是在数量积中,若a?0,且a?b=0,不能推出 b=0.因为其中cos?有可能为0.
(4)已知实数a、b、c(b?0),则ab=bc ? a=c。 但是向量a?b = b?c不能得到a=c。 (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ?a(b?c)

3.概念:作“投影”图

定义:|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值; 当?为钝角时投影为负值;当?为直角时投影为0;当? = 0?时投影 为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|.

4.向量的数量积的几何意义:
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.

5.两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?
2? a?b ? a?b = 0

3? 当a与b同向时,a?b = |a||b|;当a与b反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或 | a |? a ? a
4? cos? =
a ?b | a || b |

5? |a?b| ≤ |a||b|
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三、讲解范例:
例1 已知|a|=5, |b|=4, a与b的夹角θ=120o,求a·b.
例2 已知|a|=6, |b|=4, a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a3b). 例3 已知|a|=3, |b|=4, 且a与b不共线,k为何值时,向 量a+kb与a-kb互相垂直.

四、练习
判断正误,并简要说明理由. ①a· 0=0;

②0· =0 a
(3)0· 0=0

④|a·b|=|a||b|; ⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0; ⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0; ⑦对任意向量a,b,с都有(a· ) · a·b · b c= ( c) ⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.

五、作业:
教材79页练习8-8第1、2、3题。


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