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平陆县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

平陆县实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设 D、 E、 F 分别是△ ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点, 且 与 ( ) B.同向平行 D.既不平行也不垂直 bc,sinC=2 D.150° sinB,则 A=( ) A.互相垂直 C.反向平行 =2 , =2 , =2 , 则

姓名__________

分数__________

2. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2﹣b2= A.30° B.60° ) C.120°

3. 某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为 1,顶角为 ? 的四个等腰三角形,及其底边构成的正 方形所组成,该八边形的面积为(

A. 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 C. 3sin ? ? 3 cos ? ? 1 A.? B.{1,4} C.M D.{2,7}

B. sin ? ? 3 cos ? ? 3 D. 2sin ? ? cos ? ? 1 )

4. 已知集合 M={1,4,7},M∪N=M,则集合 N 不可能是(

5. 已知向量 =(2,﹣3,5)与向量 =(3,λ, A. B. C.﹣ D.﹣

)平行,则 λ=(



6. 设 a∈R,且(a﹣i)?2i(i 为虚数单位)为正实数,则 a 等于( A.1 B.0 C.﹣1 D.0 或﹣1



7. 设 F1,F2 是双曲线 于( A. ) B. C.24 D.48

的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△ PF1F2 的面积等

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8. 函数 f(x)=ax2+bx 与 f(x)=log

x(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

9. 给出下列两个结论: ①若命题 p:?x0∈R,x02+x0+1<0,则¬p:?x∈R,x2+x+1≥0; ②命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实数根”的逆否命题为:“若方程 x2+x﹣m=0 没有实数根,则 m≤0”; 则判断正确的是( A.①对②错 10.若关于的不等式 A. ) B.①错②对
2

C.①②都对

D.①②都错 ) D. ?2

x?a ? 0 的解集为 ?3 ? x ? ?1 或 x ? 2 ,则的取值为( x ? 4x ? 3 1 1 B. C. ? 2 2


11.由两个 1,两个 2,两个 3 组成的 6 位数的个数为( A.45 B.90 C.120 D.360 所表示的曲线是( B.椭圆 D.椭圆的一部分 ) 12.方程 x= A.双曲线 C.双曲线的一部分

二、填空题
13.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件, 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁 费用为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件, B 类产品 140 件,所需租赁费最少为__________元. 14. 如图, 为测量山高 MN, 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°, C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100m,则山高 MN= m.

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15.在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 是 A1D1 的中点,点 P 在侧面 BCC1B1 上运动.现有下列命 题: ①若点 P 总保持 PA⊥BD1,则动点 P 的轨迹所在曲线是直线; ②若点 P 到点 A 的距离为 ,则动点 P 的轨迹所在曲线是圆;

③若 P 满足∠MAP=∠MAC1,则动点 P 的轨迹所在曲线是椭圆; ④若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离比为 1:2,则动点 P 的轨迹所在曲线是双曲线; ⑤若 P 到直线 AD 与直线 CC1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在曲线是抛物丝. 其中真命题是 (写出所有真命题的序号)

16.已知关于

的不等式



上恒成立,则实数 的取值范围是__________

17.某种产品的加工需要 A,B,C,D,E 五道工艺,其中 A 必须在 D 的前面完成(不一定相邻),其它工 艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B 与 C 必须相邻,那么完成加工该产品的不同工 艺的排列顺序有 种.(用数字作答) . 18.棱长为 2 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

三、解答题
19.已知函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1 (Ⅰ)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值;

(Ⅱ)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f( B)=1,a+c=2,求 b 的取值范围.

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20.已知抛物线 C:x2=2y 的焦点为 F. (Ⅰ)设抛物线上任一点 P(m,n).求证:以 P 为切点与抛物线相切的方程是 mx=y+n; (Ⅱ)若过动点 M(x0,0)(x0≠0)的直线 l 与抛物线 C 相切,试判断直线 MF 与直线 l 的位置关系,并予以 证明.

21.如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥平面 ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 60°. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值; (Ⅲ)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得 AM∥平面 BEF,并证明你的结论.

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22.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2:(x﹣4) +(y﹣5) =4 (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程 (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,求所有满足条件的点 P 的坐标.

2

2

2

2

23.由四个不同的数字 1,2,4,x 组成无重复数字的三位数. (1)若 x=5,其中能被 5 整除的共有多少个? (2)若 x=9,其中能被 3 整除的共有多少个? (3)若 x=0,其中的偶数共有多少个? (4)若所有这些三位数的各位数字之和是 252,求 x.

24.求点 A(3,﹣2)关于直线 l:2x﹣y﹣1=0 的对称点 A′的坐标.

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平陆县实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:如图所示, △ABC 中, =2 , =2 , =2 , 根据定比分点的向量式,得 = = + = , + = , + ,

以上三式相加,得 + 所以, + =﹣ , 与 反向共线.

【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题,是基础题目. 2. 【答案】A 【解析】解:∵sinC=2
2 2 ∵a ﹣b =

sinB,∴c=2 =

b, =

bc,∴cosA=

∵A 是三角形的内角 ∴A=30° 故选 A. 【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用,解题的关键是边角互化,属于中档题. 3. 【答案】A 【解析】

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试题分析:利用余弦定理求出正方形面积 S1 ? 12 ? 12 - 2 cos? ? 2 ? 2 cos? ;利用三角形知识得出四个等 腰三角形面积 S 2 ? 4 ? 确答案为 A. 考点:余弦定理和三角形面积的求解. 【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目,掌握正余弦定理是解题的关键;首先根据三角

?

?

1 ? 1 ? 1 ? sin ? ? 2 sin ? ; 故八边形面积 S ? S1 ? S 2 ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 2 .故本题正 2

1 1 ? 1 ? 1 ? sin ? ? sin ? 求出个三角形的面积 4 S ? 2 sin ? ;接下来利用余弦定理可求出正 2 2 2 2 方形的边长的平方 1 ? 1 - 2 cos? ,进而得到正方形的面积 S1 ? 12 ? 12 - 2 cos? ? 2 ? 2 cos? ,最后得到
形面积公式 S ?

?

?

?

?

答案. 4. 【答案】D 【解析】解:∵M∪N=M,∴N?M, ∴集合 N 不可能是{2,7}, 故选:D 【点评】本题主要考查集合的关系的判断,比较基础. 5. 【答案】C 【解析】解:∵向量 =(2,﹣3,5)与向量 =(3,λ, ∴ = = , )平行,

∴λ=﹣ . 故选:C. 【点评】本题考查了空间向量平行(共线)的问题,解题时根据两向量平行,对应坐标成比例,即可得出答案. 6. 【答案】B 【解析】解:∵(a﹣i)?2i=2ai+2 为正实数, ∴2a=0, 解得 a=0. 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件,属于基础题. 7. 【答案】C

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【解析】解:F1(﹣5,0),F2(5,0),|F1F2|=10, ∵3|PF1|=4|PF2|,∴设|PF2|=x,则 由双曲线的性质知 ∴|PF1|=8,|PF2|=6, ∴∠F1PF2=90°, ∴△PF1F2 的面积= 故选 C. 【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用. 8. 【答案】 D
2 【解析】解:A、由图得 f(x)=ax +bx 的对称轴 x=﹣



,解得 x=6.



>0,则

,不符合对数的底数范围,A 不正确;

B、由图得 f(x)=ax2+bx 的对称轴 x=﹣ C、由 f(x)=ax2+bx=0 得:x=0 或 x= 函数,C 不正确; D、由 f(x)=ax2+bx=0 得:x=0 或 x= 域上是减函数,D 正确.

>0,则 ,由图得

,不符合对数的底数范围,B 不正确; ,则 ,所以 f(x)=log x 在定义域上是增

,由图得

,则

,所以 f(x)=log

x 在定义

【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象,考查试图能力. 9. 【答案】C 【解析】解:①命题 p 是一个特称命题,它的否定是全称命题,¬p 是全称命题,所以①正确. ②根据逆否命题的定义可知②正确. 故选 C. 【点评】考查特称命题,全称命题,和逆否命题的概念. 10.【答案】D 【解析】 试题分析:由题意得,根据不等式与方程的关系可知,不等式解集的端点就是对应的方程的根,可得方程

x?a ? 0 ,解得 x ? ?3, x ? ?1, x ? ?a ,其对应的根分别为 x ? ?3, x ? ?1, x ? 2 ,所以 a ? ?2 ,故选 x ? 4x ? 3
2

D.

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考点:不等式与方程的关系. 11.【答案】B 【解析】解:问题等价于从 6 个位置中各选出 2 个位置填上相同的 1,2,3,
2 2 2 所以由分步计数原理有:C6 C4 C2 =90 个不同的六位数,

故选:B. 【点评】本题考查了分步计数原理,关键是转化,属于中档题. 12.【答案】C 【解析】解:x= 故选 C. 【点评】本题主要考查了曲线与方程.解题的过程中注意 x 的范围,注意数形结合的思想.
2 2 两边平方,可变为 3y ﹣x =1(x≥0),

表示的曲线为双曲线的一部分;

二、填空题
13.【答案】 2300 【解析】111]

?x ? 0 ?y ? 0 ? 试题分析:根据题意设租赁甲设备,乙设备,则 ? ,求目标函数 Z ? 200x? 300y的 ?5x ? 6y ? 50 ? ?10x ? 20y ? 140
最小值.作出可行域如图所示, 从图中可以看出, 直线在可行域上移动时, 当直线的截距最小时, 取最小值 2300 .

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1111] 考点:简单线性规划. 【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目,可以采用线性规划的知识进行求解;细查题意,设 甲种设备需要生产天,乙种设备需要生产 y 天,该公司所需租赁费为 Z 元,则 Z ? 200x ? 300y ,接下来列 出满足条件的约束条件,结合目标函数,然后利用线性规划的应用,求出最优解,即可得出租赁费的最小值. 14.【答案】 150

【解析】解:在 RT△ABC 中,∠CAB=45°,BC=100m,所以 AC=100 在△AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°, 由正弦定理得, 在 RT△MNA 中,AM=100 得 MN=100 × =150m. ,因此 AM=100 m,∠MAN=60°,由 m.

m.

故答案为:150. 15.【答案】 ①②④ 【解析】解:对于①,∵BD1⊥面 AB1C,∴动点 P 的轨迹所在曲线是直线 B1C,①正确; 对于②,满足到点 A 的距离为 ②正确; 的点集是球,∴点 P 应为平面截球体所得截痕,即轨迹所在曲线为圆,

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对于③,满足条件∠MAP=∠MAC1 的点 P 应为以 AM 为轴,以 AC1 为母线的圆锥,平面 BB1C1C 是一个与 轴 AM 平行的平面, 又点 P 在 BB1C1C 所在的平面上,故 P 点轨迹所在曲线是双曲线一支,③错误; 对于④,P 到直线 C1D1 的距离,即到点 C1 的距离与到直线 BC 的距离比为 2:1, ∴动点 P 的轨迹所在曲线是以 C1 为焦点,以直线 BC 为准线的双曲线,④正确; 对于⑤,如图建立空间直角坐标系,作 PE⊥BC,EF⊥AD,PG⊥CC1,连接 PF, 设点 P 坐标为(x,y,0),由|PF|=|PG|,得 ∴P 点轨迹所在曲线是双曲线,⑤错误. 故答案为:①②④.
2 2 ,即 x ﹣y =1,

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了圆锥曲线的定义和方方程,考查了学生的空间想象能力和 思维能力,是中档题. 16.【答案】 【解析】 因为 答案: 17.【答案】 24 【解析】解:由题意,B 与 C 必须相邻,利用捆绑法,可得 故答案为:24. 【点评】本题考查计数原理的应用,考查学生的计算能力,比较基础. 18.【答案】 12? 【解析】 =48 种方法, 在 上恒成立,所以 ,解得

因为 A 必须在 D 的前面完成,所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 48÷2=24 种,

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考 点:球的体积与表面积. 【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算,其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的 结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于基础题, 本题的解答中仔细分析,得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键.

三、解答题
19.【答案】 【解析】(本题满分为 12 分)
2 解:(Ⅰ)f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1=2sinxcosx+2cos x﹣1

=sin2x+2× =sin2x+cos2x = sin(2x+ ], , =

﹣1 ),

∵x∈[0, ∴2x+ ∈[

], 时,f(x)min= sin( + …6 分 )=1,

∴当 2x+

,即 x=

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f( B)= ∴sin( ∴ ∴B= + + = , )= , ,

由正弦定理可得:b=

=

∈[1,2)…12 分

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质,正弦定理在解三角形中的综合应 用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 20.【答案】
2 2 【解析】证明:(Ⅰ)由抛物线 C:x =2y 得,y= x ,则 y′=x,

∴在点 P(m,n)切线的斜率 k=m,

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∴切线方程是 y﹣n=m(x﹣m),即 y﹣n=mx﹣m , 又点 P(m,n)是抛物线上一点,
2 ∴m =2n,

2

∴切线方程是 mx﹣2n=y﹣n,即 mx=y+n (Ⅱ)直线 MF 与直线 l 位置关系是垂直.



由(Ⅰ)得,设切点为 P(m,n),则切线 l 方程为 mx=y+n, ∴切线 l 的斜率 k=m,点 M( ,0), 又点 F(0, ),

此时,kMF= ∴k?kMF=m×(

=

=

=



)=﹣1, …

∴直线 MF⊥直线 l

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,导数的几何意义,直线垂直的条件等,属于中档题. 21.【答案】 【解析】 【分析】(I)由已知中 DE⊥平面 ABCD,ABCD 是边长为 3 的正方形,我们可得 DE⊥AC,AC⊥BD,结合 线面垂直的判定定理可得 AC⊥平面 BDE; (Ⅱ)以 D 为坐标原点,DA,DC,DE 方向为 x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面 BEF 和平面 BDE 的法向量,代入向量夹角公式,即可求出二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值; (Ⅲ)由已知中 M 是线段 BD 上一个动点,设 M(t,t,0).根据 AM∥平面 BEF,则直线 AM 的方向向量 与平面 BEF 法向量垂直,数量积为 0,构造关于 t 的方程,解方程,即可确定 M 点的位置. 【解答】证明:(Ⅰ)因为 DE⊥平面 ABCD,所以 DE⊥AC. 因为 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD, 从而 AC⊥平面 BDE.…(4 分) 解:(Ⅱ)因为 DA,DC,DE 两两垂直,所以建立空间直角坐标系 D﹣xyz 如图所示. 0 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60 ,即∠DBE=60°, 所以 . , , . , . ,即 . ,B(3,3,0),C(0,3,0),

由 AD=3,可知 则 A(3,0,0), 所以

设平面 BEF 的法向量为 =(x,y,z),则 令 ,则 = .

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因为 AC⊥平面 BDE,所以 所以 cos

为平面 BDE 的法向量, . .…(8 分)



因为二面角为锐角,所以二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值为 (Ⅲ)点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M(t,t,0). 则 . 因为 AM∥平面 BEF, 所以 =0,即 4(t﹣3)+2t=0,解得 t=2. 此时,点 M 坐标为(2,2,0), 即当 时,AM∥平面 BEF.…(12 分)

22.【答案】 【解析】 【分析】(1)因为直线 l 过点 A(4,0),故可以设出直线 l 的点斜式方程,又由直线被圆 C1 截得的弦长为 2 ,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,我们可以求出弦心距,即圆心到直线的距离,得到一个关于 直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l 的方程. (2)与(1)相同,我们可以设出过 P 点的直线 l1 与 l2 的点斜式方程,由于两直线斜率为 1,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,故我们可以得到一个关于直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l1 与 l2 的方程.

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【解答】解:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交; ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为:y=k(x﹣4)(1 分) 圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,∵l 被⊙C1 截得的弦长为 2 ∴d= =1(2 分) d= 从而 k(24k+7)=0 即 k=0 或 k=﹣

∴直线 l 的方程为:y=0 或 7x+24y﹣28=0(5 分) (2)设点 P(a,b)满足条件, 由题意分析可得直线 l1、l2 的斜率均存在且不为 0, 不妨设直线 l1 的方程为 y﹣b=k(x﹣a),k≠0 则直线 l2 方程为:y﹣b=﹣ (x﹣a)(6 分) ∵⊙C1 和⊙C2 的半径相等,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, ∴⊙C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等 即 = (8 分)

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk| ∴1+3k+ak﹣b=±(5k+4﹣a﹣bk)即(a+b﹣2)k=b﹣a+3 或(a﹣b+8)k=a+b﹣5 因 k 的取值有无穷多个,所以 或 (10 分)

解得



这样的点只可能是点 P1( ,﹣ )或点 P2(﹣ , 23.【答案】 【解析】 【专题】计算题;排列组合.

)(12 分)

【分析】(1)若 x=5,根据题意,要求的三位数能被 5 整除,则 5 必须在末尾,在 1、2、4 三个数字中任选 2 个,放在前 2 位,由排列数公式计算可得答案; (2)若 x=9,根据题意,要求的三位数能被 3 整除,则这三个数字为 1、2、9 或 2、4、9,分“取出的三个数 字为 1、2、9”与“取出的三个数字为 2、4、9”两种情况讨论,由分类计数原理计算可得答案; (3)若 x=0,根据题意,要求的三位数是偶数,则这个三位数的末位数字为 0 或 2 或 4,分“末位是 0”与“末 位是 2 或 4”两种情况讨论,由分类计数原理计算可得答案;

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(4)分析易得 x=0 时不能满足题意,进而讨论 x≠0 时,先求出 4 个数字可以组成无重复三位数的个数,进而 可以计算出每个数字用了 18 次,则有 252=18×(1+2+4+x),解可得 x 的值. 【解答】解:(1)若 x=5,则四个数字为 1,2,4,5; 又由要求的三位数能被 5 整除,则 5 必须在末尾,
2 在 1、2、4 三个数字中任选 2 个,放在前 2 位,有 A3 =6 种情况,

即能被 5 整除的三位数共有 6 个; (2)若 x=9,则四个数字为 1,2,4,9; 又由要求的三位数能被 3 整除,则这三个数字为 1、2、9 或 2、4、9,
3 取出的三个数字为 1、2、9 时,有 A3 =6 种情况, 3 取出的三个数字为 2、4、9 时,有 A3 =6 种情况,

则此时一共有 6+6=12 个能被 3 整除的三位数; (3)若 x=0,则四个数字为 1,2,4,0; 又由要求的三位数是偶数,则这个三位数的末位数字为 0 或 2 或 4,
2 当末位是 0 时,在 1、2、4 三个数字中任选 2 个,放在前 2 位,有 A3 =6 种情况, 1 1 1 当末位是 2 或 4 时,有 A2 ×A2 ×A2 =8 种情况,

此时三位偶数一共有 6+8=14 个,
1 1 1 (4)若 x=0,可以组成 C3 ×C3 ×C2 =3×3×2=18 个三位数,即 1、2、4、0 四个数字最多出现 18 次,

则所有这些三位数的各位数字之和最大为(1+2+4)×18=126,不合题意, 故 x=0 不成立;
1 1 1 当 x≠0 时,可以组成无重复三位数共有 C4 ×C3 ×C2 =4×3×2=24 种,共用了 24×3=72 个数字,

则每个数字用了

=18 次,

则有 252=18×(1+2+4+x),解可得 x=7. 【点评】本题考查排列知识,解题的关键是正确分类,合理运用排列知识求解,第(4)问注意分 x 为 0 与否 两种情况讨论. 24.【答案】 【解析】解:设点 A(3,﹣2)关于直线 l:2x﹣y﹣1=0 的对称点 A′的坐标为(m,n), 则线段 A′A 的中点 B( , ), ﹣ ﹣1=0 ①. × =﹣1 ②,

由题意得 B 在直线 l:2x﹣y﹣1=0 上,故 2×

再由线段 A′A 和直线 l 垂直,斜率之积等于﹣1 得 解①②做成的方程组可得:

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m=﹣

,n= , , ).

故点 A′的坐标为(﹣

【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法,注意利用垂直及中点在轴上两个条件.

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