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贵德县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

贵德县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知集合

座号_____

姓名__________

分数__________

,则

A0 或 B0 或 3 C1 或 D1 或 3
2. 设函数 f(x)= A.11 B.8 C.5 D.2 ,f(﹣2)+f(log210)=( )

3. 已知在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,?n) , B(0, n) ( n ? 0 ).命题 p :若存在点 P 在圆

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上,使得 ?APB ?
(3,4) 内没有零点.下列命题为真命题的是(
A. p ? (?q ) 4. 若复数 (A) 3 B. p ? q

?
2

,则 1 ? n ? 3 ;命题:函数 f ( x ) ? ) C. (?p) ? q ) (C)

4 ? log 3 x 在区间 x
D. (?p) ? q

b?i 的实部与虚部相等,则实数 b 等于( 2?i
( B )

1

1 3

(D) ? )

1 2

5. 若命题 p:?x∈R,x﹣2>0,命题 q:?x∈R, A.命题 p∨q 是假命题 C.命题 p∧q 是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题 6. 如图框内的输出结果是( )

<x,则下列说法正确的是(

B.命题 p∧(¬q)是真命题

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A.2401 B.2500 C.2601 D.2704 7. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前项和,若 A.1 A.5 B.2
n

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5
3



C.3
*

D.4 ) D.10 C.8 )

8. 二项式 ( x +1) (n ? N ) 的展开式中 x 项的系数为 10,则 n = ( B.6

【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识,意在考查基本运算能力. 9. 直线在平面外是指( A.直线与平面没有公共点 B.直线与平面相交 C.直线与平面平行 D.直线与平面最多只有一个公共点 10.设命题 p:函数 y=sin(2x+ A.p 为假 )的图象向左平移 个单位长度得到的曲线关于 y 轴对称;命题 q:函数 ) )

y=|2x﹣1|在[﹣1,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( B.¬q 为真 C.p∨q 为真 D.p∧q 为假

11.“m=1”是“直线(m﹣2)x﹣3my﹣1=0 与直线(m+2)x+(m﹣2)y+3=0 相互垂直”的( A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 A.R D.既不充分也不必要条件 ) C.{0} D.? 12.设集合 A={x||x﹣2|≤2,x∈R},B={y|y=﹣x2,﹣1≤x≤2},则? R(A∩B)等于( B.{x|x∈R,x≠0}

二、填空题
13.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…其中 从第三个数起, 每一个数都等于他前面两个数的和. 该数列是一个非常美丽、 和谐的数列, 有很多奇妙的属性. 比 如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割 0.6180339887….人们称该数列{an}为“斐波那

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契数列”.若把该数列{an}的每一项除以 4 所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn},在数列{bn}中第 2016 项的值是 .

14.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 cm3.

15. B, C 的对边分别为 a, b, c, 在△ABC 中, 角 A, 已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. 若 C=

, 则 =



16.已知变量 x,y,满足

,则 z=log4(2x+y+4)的最大值为



17.方程 4 ? x ? k ? x ? 2 ? ? 3 有两个不等实根,则的取值范围是
2



18.设集合 A ? x | 2 x ? 7 x ? 15 ? 0 , B ? x | x ? ax ? b ? 0 ,满足
2 2

?

?

?

?

A ? B ? ? , A ? B ? ?x | ?5 ? x ? 2? ,求实数 a ? __________.

三、解答题
19.

20.已知函数 f(x)=4 (Ⅰ)当 x∈[0,

sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3.

]时,求函数 f(x)的值域; , =2+2cos(A+C),

(Ⅱ)若△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = 求 f(B)的值.

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21.(本小题满分 12 分)已知向量 a = (m cos wx - m sin wx,sin wx) , b = (- cos wx - sin wx, 2n cos wx) ,

n p ( x ? R ) 的图象关于点 ( ,1) 对称,且 w ? (1, 2) . 2 12 (I)若 m = 1 ,求函数 f ( x) 的最小值; p (II)若 f ( x) ? f ( ) 对一切实数恒成立,求 y ? f ( x) 的单调递增区间. 4
设函数 f ( x) = a ?b 【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识,意在考查数形结合思想和基本运 算能力.

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22.(本小题满分 12 分)已知在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且

(sin A ? sin B)(b ? a) ? s i n C( 3b ? c) .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ,求 b, c .

23.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ex ? ax2 ? bx . (1)当 a ? 0, b ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上零点的个数; (2)证明:当 b ? a ? 1 , x ? [ ,1] 时, f ( x) ? 1 .

1 2

24.已知矩阵 M=

的一个属于特质值 3 的特征向量

=

,正方形区域 OABC 在矩阵 N 应对的变换作

用下得到矩形区域 OA′B′C′,如图所示. (1)求矩阵 M;
1 (2)求矩阵 N 及矩阵(MN)﹣ .

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贵德县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】 ,故 或 。 2. 【答案】B 【解析】解:∵f(x)= ∴f(﹣2)=1+log24=1+2=3, =5, ∴f(﹣2)+f(log210)=3+5=8. 故选:B. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 3. 【答案】A 【解析】 试题分析:命题 p :? ?APB ? , 或 , ,解得 或 或 ,又根据集合元素的互异性 ,所以

?
2

,则以 AB 为直径的圆必与圆 x ? 3 ? ? y ? 1? ? 1 有公共点,所以
2 2

?

?

n ? 1 ? 2 ? n ? 1 ,解得 1 ? n ? 3 ,因此,命题 p 是真命题.命题:函数 f ? x ? ?
4 ? f ?4? ? 1 ? log3 ? 0 , f ?3? ?

4 x ? log 3 , x

4 ? log 3 3 ? 0 ,且 f ? x ? 在 ?3,4? 上是连续不断的曲线,所以函数 f ? x ? 在区间 ?3,4 ? 3 内有零点,因此,命题是假命题.因此只有 p ? (?q ) 为真命题.故选 A.
考点:复合命题的真假. 【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关 系和函数零点存在定理 , 属于综合题 . 由于点 P 满足 ?APB ?

?
2

, 因此在以 AB 为直径的圆上 , 又点 P 在圆

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上,因此 P 为两圆的交点 ,利用圆心距介于两圆半径差与和之间 , 求出的范围 .函数 4 f ( x) ? ? log3 x 是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点. x
4. 【答案】C 【解析】

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b+i (b+i)(2-i) 2b+1 2-b 1 = = + i,因为实部与虚部相等,所以 2b+1=2-b,即 b= .故选 C. 5 5 3 2+i (2+i)(2-i) 5. 【答案】 B 【解析】解:?x∈R,x﹣2>0,即不等式 x﹣2>0 有解,∴命题 p 是真命题; x<0 时, 故选:B. 【点评】考查真命题,假命题的概念,以及 p∨q,p∧q,¬q 的真假和 p,q 真假的关系. 6. 【答案】B 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 S=1+3+5+…+99=2500, 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,等差数列的求和公式的应用,属于基础题. 7. 【答案】A 【解析】1111] <x 无解,∴命题 q 是假命题; ∴p∨q 为真命题,p∧q 是假命题,¬q 是真命题,p∨(¬q)是真命题,p∧(¬q)是真命题;

9(a1 ? a9 ) S9 9a 2 试题分析: ? ? 5 ? 1 .故选 A.111] S5 5(a1 ? a5 ) 5a3 2
考点:等差数列的前项和. 8. 【答案】B
3 n = 5 ,故选 A. 【解析】因为 ( x +1) ( n ? N ) 的展开式中 x 项系数是 C3 n ,所以 Cn = 10 ,解得

n

*

3

9. 【答案】D 【解析】解:根据直线在平面外是指:直线平行于平面或直线与平面相交, ∴直线在平面外,则直线与平面最多只有一个公共点. 故选 D. 10.【答案】C 【解析】解:函数 y=sin(2x+ 当 x=0 时,y=sin 故命题 p 为假命题; 函数 y=|2 ﹣1|在[﹣1,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数.
x

)的图象向左平移

个单位长度得到 y=sin(2x+

)的图象,

=

,不是最值,故函数图象不关于 y 轴对称,

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故命题 q 为假命题; 则¬q 为真命题; p∨q 为假命题; p∧q 为假命题, 故只有 C 判断错误, 故选:C 11.【答案】B 【解析】解:当 m=0 时,两条直线方程分别化为:﹣2x﹣1=0,2x﹣2y+3=0,此时两条直线不垂直,舍去; 当 m=2 时,两条直线方程分别化为:﹣6y﹣1=0,4x+3=0,此时两条直线相互垂直; 当 m≠0,2 时,两条直线相互垂直,则 × =﹣1,解得 m=1.

综上可得:两条直线相互垂直的充要条件是:m=1,2. ∴“m=1”是“直线(m﹣2)x﹣3my﹣1=0 与直线(m+2)x+(m﹣2)y+3=0 相互垂直”的充分不必要条件. 故选:B. 【点评】 本题考查了直线相互垂直的充要条件、 充要条件的判定, 考查了分类讨论方法、 推理能力与计算能力, 属于中档题. 12.【答案】B 【解析】解:A=[0,4],B=[﹣4,0],所以 A∩B={0},?R(A∩B)={x|x∈R,x≠0}, 故选 B.

二、填空题
13.【答案】 0 . 【解析】解:1,1,2,3,5,8,13,…除以 4 所得的余数分别为 1,1,2,3,1,0,;1,1,2,3,1,0…, 即新数列{bn}是周期为 6 的周期数列, ∴b2016=b336×6=b6=0, 故答案为:0. 【点评】本题主要考查数列的应用,考查数列为周期数性,属于中档题. 14.【答案】 6

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【解析】解:过 A 作 AO⊥BD 于 O,AO 是棱锥的高,所以 AO= 所以四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 V= 故答案为:6. 15.【答案】 = . =6.

=



【解析】解:在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, ∵已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1,
2 ∴sinAsinB+sinBsinC=2sin B. 2 再由正弦定理可得 ab+bc=2b ,即 a+c=2b,故 a,b,c 成等差数列.

C=

,由 a,b,c 成等差数列可得 c=2b﹣a,

2 2 2 2 2 由余弦定理可得 (2b﹣a) =a +b ﹣2abcosC=a +b +ab. 2 化简可得 5ab=3b ,∴

= .

故答案为: . 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,二倍角公式、余弦定理的应用,属于中档题. 16.【答案】 【解析】解:作 易知可行域为一个三角形, 验证知在点 A(1,2)时, z1=2x+y+4 取得最大值 8, ∴z=log4(2x+y+4)最大是 , 故答案为: . 的可行域如图:

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【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 17.【答案】 ? 【解析】 如图所示, 函数 y ? 4 ? x 2 的图象是一个半圆, 4 ? x 2 和 y ? k ? x ? 2? ? 3 的图象, 3? 0 3 ? ,当直线 直线 y ? k ? x ? 2? ? 3 的图象恒过定点 ? 2,3? ,结合图象,可知,当过点 ? ?2,0 ? 时, k ? 2?2 4 k (0 ? 2) ? 3 ? 0 5 ? 5 3? ? 2 ,解得 k ? ,所以实数的取值范围是 ? , ? .111] y ? k ? x ? 2? ? 3 与圆相切时,即 2 12 ? 12 4 ? 1? k 试题分析: 作出函数 y ?

? 5 3? , ? ? 12 4 ?

考点:直线与圆的位置关系的应用. 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的 斜率公式, 以及函数的图像的应用等知识点的综合考查, 着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答 问题的能力,属于中档试题,本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键. 18.【答案】 a ? ? 【解析】

7 ,b ? 3 2

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考 点:一元二次不等式的解法;集合的运算. 【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题,其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和 集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用,试题有一定的难度,属于中档试题,着重考查了学 生分析问题和解答问题的能力, 同时考查了转化与化归思想的应用, 其中一元二次不等式的求解是解答的关键.

三、解答题
19.【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50 个作为样本,称出 它们的重量(单位:克),重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的重 量频率分布直方图(如图), (1)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值; (2)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为 X,求 X 的分布列和数学期望.(以直 方图中的频率作为概率)

【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】概率与统计. 【分析】(1)求解得 a=0.03,由最高矩形中点的横坐标为 20,可估计盒子中小球重量的众数约为 20 根据平均数值公式求解即可. (2)X~B(3, ),根据二项分布求解 P(X=0),P(X=1),P(X=2)= 求解数学期望即可. 【解析】解:(1)由题意得,(0.02+0.032+a+0.018)×10=1 ,P(X=3),列出分布列,

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解得 a=0.03; 又由最高矩形中点的横坐标为 20, 可估计盒子中小球重量的众数约为 20, 而 50 个样本小球重量的平均值为: =0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克) 故估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6 克. (2)利用样本估计总体,该盒子中小球的重量在[5,15]内的 0.2; 则 X~B(3, ), X=0,1,2,3; P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= ×( )3= ×( )2× = ; ; ;

×( )×( )2= ×( )3= ,

∴X 的分布列为: X 0 P 即 E(X)=0×

1

2

3

= .

【点评】 本题考查了离散型的随机变量及概率分布列, 数学期望的求解, 注意阅读题意, 得出随机变量的数值, 准确求解概率,难度不大,需要很好的计算能力 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)=4 +3=2 ∵x∈[0, ∴2x+ ∈[ ], , ], sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3=2 sin2x+2cos2x=4sin(2x+ ). sin2x﹣

∴f(x)∈[﹣2,4]. (Ⅱ)由条件得 sin(2A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C), ∴sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C), 化简得 sinC=2sinA,

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由正弦定理得:c=2a, 又 b= , a2cosA,解得:cosA= ,

由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4 故解得:A= ∴f(B)=f( ,B= ,C= ,

)=4sin

=2.

【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理,考查了推 理能力和计算能力,属于中档题. 21.【答案】 22.【答案】解:(Ⅰ)由正弦定理及已知条件有 b 2 ? a 2 ?

3bc ? c 2 , 即 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc . ? b2 ? c2 ? a2 3 6分 由余弦定理得: cos A ? ,又 A ? (0, ? ) ,故 A ? . ? 6 2bc 2 1 8分 (Ⅱ) ? ?ABC 的面积为 3 ,? bc sin A ? 3 ,? bc ? 4 3 ①, 2 10 分 又由(Ⅰ) b 2 ? a 2 ? 3bc ? c 2 及 a ? 2, 得 b 2 ? c 2 ? 16 ,②
由 ①②解得 b ? 2, c ? 2 3 或 b ? 2 3, c ? 2 . 12 分

3分

23.【答案】(1)当 a ? (0, 点;(2)证明见解析. 【解析】

e2 e2 e2 ) 时,有个公共点,当 a ? 时,有个公共点,当 a ? ( , ??) 时,有个公共 4 4 4

试题分析: (1)零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得 a ?

ex ex h ( x ) ? , 构造函数 ,利用 h( x) ' 求出 x2 x2

e2 单调性可知 h( x) 在 (0, ??) 的最小值 h(2) ? ,根据原函数的单调性可讨论得零点个数;(2)构造函数 4 h( x) ? ex ? x2 ? x ?1 ,利用导数可判断 h( x) 的单调性和极值情况,可证明 f ( x) ? 1 .1
试题解析:

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当 a ? (0, 当a ?

e2 ) 时,有 0 个公共点; 4

e2 ,有 1 个公共点; 4 e2 当 a ? ( , ?? ) 有 2 个公共点. 4 x 2 ' x (2)证明:设 h( x) ? e ? x ? x ?1 ,则 h ( x) ? e ? 2 x ? 1 ,
令 m( x) ? h ( x) ? e ? 2 x ?1,则 m ( x) ? e ? 2 ,
' x ' x

1 1 2 2 ' 当 x ? (ln 2,1) 时, m ( x) ? 0 , m( x) 在 (ln 2,1) 上是增函数,

' 因为 x ? ( ,1] ,所以,当 x ? [ , ln 2) 时, m ( x) ? 0 ; m( x) 在 [ , ln 2) 上是减函数,

1 2

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考点:1.函数的极值;2.函数的单调性与导数的关系;3.不等式;4.函数的零点. 【方法点睛】本题主要考查函数的极值,函数的单调性与导数的关系,不等式,函数的零点.有关零点问题一 类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法,若方程易求解时 用此法;(2)零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识;(3)数形结合法.在研究函数零点, 方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝 对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 24.【答案】 【解析】解:(1)根据题意,可得 故 ,解得 ; , ,

所以矩阵 M=

(2)矩阵 N 所对应的变换为

故 N=



MN= ∵det(MN)= ∴ ,



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=



【点评】本题考查矩阵与变换、矩阵的特征值、特征向量等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程的 思想.

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