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高二数学寒假作业五——综合训练(1) 参考答案


高二数学寒假作业五——综合训练(1) 参考答案
一、填空题
1. ?n∈ N,2n≤1000 2. 充分而不必要 3. y ? ? 2 x 4.

x2 9 y2 ? ?1 5 20
5. 0.03 9. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

6. 5 : 4

7. 2 11. 4 3

8. -1 12. 4

25 2

10. 64

13. ( , )

1 2 2 3

b2 1 1 1 2 提示:由 ? a ? 可解得 ? e ? . 3 a?c 2 2 3

14. (-∞, -3)∪(0,3) 提示: 构造函数 h( x) ? f ( x) g ( x) , 由已知条件知 x ? 0 时,h?( x) ? 0 , 则当 x ? (??,0) 时, h( x) 单调递增. 又 h(? x) ? f (? x) g (? x) ? ? f ( x) g ( x) ? h( x) ,∴ h( x) 是奇
) ( 0 ,( ?3 ) 0 h? ) ( 0? , 函数, ∴ h( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 又 g (?3) ? 0 , 则 g3 ∴ h3 ? . 结合 h( x)

的草图可知 f ( x) g ( x) ? 0 的解集为 (??, ?3)

(0,3) .

二、解答题
15. 解: f ?( x) ? x2 ? ax ? 4
2 p 真: ? ? a ? 4 ? 4 ? 0 ∴ ?4 ? a ? 4 . q 真: ?

a ? 3 ? a ? ?12 . 4

由“ p 或 q”是真命题, “ p 且 q ”是假命题得: p 、 q 两命题一真一假. 当 p 真 q 假时: a ? ? ;当 p 假 q 真时: ?12 ? a ? ?4 或 a ? 4 . 综上, a 的取值范围为. ?12 ? a ? ?4 或 a ? 4 . 16. 解: (1)由茎叶图知,分数在 ?50 , 60? 之间的频数为 2 ,频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 , 全班人数为

2 ? 25 . 0.08

所以分数在 ?80 , 90? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 . (2)分数在 ?50 , 60? 之间的总分为 56 ? 58 ? 114 ; 分数在 ?60 , 70 ? 之间的总分为 60 ? 7 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 6 ? 8 ? 9 ? 456 ; 分数在 ?70 , 80? 之间的总分数为 70 ? 10 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 747 ; 分数在 ?80 , 90? 之间的总分约为 85 ? 4 ? 340 ; 分数在 [90 , 100] 之间的总分数为 95 ? 98 ? 193 ;

114 ? 456 ? 747 ? 340 ? 193 ? 74 . 25 估计平均分时,也可用下述方法:
所以,该班的平均分数为
1

2 7 ? 0.08 ;分数在 ?60 , 70 ? 之间的频率为 ? 0.28 ; 25 25 10 4 分数在 ?70 , 80? 之间的频率为 ? 0.40 ;分数在 ?80 , 90? 之间的频率为 ? 0.16 ; 25 25 2 分数在 [90,100] 之间的频率为 ? 0.08 ; 25 所以,该班的平均分约为 55 ? 0.08 ? 65 ? 0.28 ? 75 ? 0.40 ? 85 ? 0.16 ? 95 ? 0.08 ? 73.8
分数在 ?50 , 60? 之间的频率为 频率分布直方图中 ?80 , 90? 间的矩形的高为 (3) 将 ?8 0,9 0

4 ? 10 ? 0.016 . 25

? 之间的 4 个分数编号为 1 , 2 , 3 , 4 ,?90 , 100? 之间的 2 个分数编号为 5 , 6 ,

在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份的基本事件为:

?1 , 2 ? , ?1 , 3? , ?1 , 4 ? , ?1 , 5? , ?1 , 6 ? ? 2 , 3? , ? 2 , 4? , ? 2 , 5? , ? 2 , 6? , ? 3 , 4 ? , ? 3 , 5? , ? 3 , 6 ? ? 4 , 5? , ? 4 , 6 ? ?5 , 6? 共 15 个, 其中,至少有一个在 ?90 , 100? 之间的基本事件有 9 个,
故至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的概率是

9 ? 0.6 . 15

17. 解: (1)设圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
? ?1 ? 9 ? D ? 3E ? F ? 0 ? D ? ?4 ? ? 由条件,得 ? 4 ? 36 ? 2 D ? 6 E ? F ? 0 ,解得 ? E ? ?2 , ? D ? F ? ?20 E ? ?( ? ) ? 2 ? ( ? ) ? 4 ? 0 ? 2 2
? 圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 20 ? 0 .

(2)由 ? k ? 1? x ? 2 y ? 5 ? 3k ? 0 ,得 k ? x ? 3? ? ? x ? 2 y ? 5? ? 0 ,
?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 令? ,得 ? ,即直线 l 过定点 ? 3, ?1? , ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? y ? ?1

由 32 ? ? ?1? ? 4 ? 3 ? 2 ? ? ?1? ? 20 ? 0 ,知点 ? 3, ?1? 在圆内,? 直线 l 与圆 C 恒相交.
2

(3)圆心 C ? 2,1? ,半径为 5,由题意知,
2 2 直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 52 ? ?? 2 ? 3? ? ?1 ? 1? ? ? 4 5 . ? ?

18.解: (1)对于曲线 C1 ,因为曲线 AOD 的解析式为 y ? cos x ? 1 ,所以点 D 的坐标为

(t ,cos t ?1)
2

所以点 O 到 AD 的距离为 1 ? cos t ,而 AB ? DC ? 3 ? t , 则 h1 (t ) ? (3 ? t ) ? (1 ? cos t ) ? ?t ? cos t ? 4(1 ? t ? 对于 曲线 C 2 , 因 为抛物线的方程 为 x ? ?
2

3 ) 2

9 4 y , 即 y ? ? x 2 , 所以 点 D 的坐标 为 4 9

4 (t , ? t 2 ) 9 4 2 4 3 t ,而 AB ? DC ? 3 ? t ,所以 h2 (t ) ? t 2 ? t ? 3(1 ? t ? ) 9 2 9 3 (2) 因为 h1? (t ) ? ?1 ? sin t ? 0 ,所以 h1 (t ) 在 [1, ] 上单调递减,所以当 t ? 1 时, h1 (t ) 取得最 2 4 9 2 39 3 3 大值为 3 ? cos1 . 又 h2 (t ) ? (t ? ) ? , 而 1 ? t ? , 所以当 t ? 时 , h2 (t ) 取得最 9 8 16 2 2 5 大值为 2 ? 1 1 5 因为 cos1 ? cos ? ,所以 3 ? cos1 ? 3 ? ? , 3 2 2 2 3 5 故选用曲线 C 2 ,当 t ? 时,点 E 到 BC 边的距离最大,最大值为 分米. 2 2
所以点 O 到 AD 的距离为
2 2 2 19. 解: (1) a ? 2, b ? c, a ? b ? c ,? b ? 2 ,? 椭圆方程为
2

x2 y2 ? ? 1. 4 2

(2) C (?2,0), D(2,0) ,设 M (2, y0 ), P( x1 , y1 ) ,则 OP ? ( x1 , y1 ), OM ? (2, y 0 ) . 直线 CM :

?

?

y 1 x ? 2 y ? y0 ,即 y ? 0 x ? y 0 , ? 4 2 4 y0
2 2
2 y0 1 2 1 2 ) x 2 ? y0 x ? y0 ? 4 ? 0. 8 2 2

代入椭圆 x ? 2 y ? 4 得 (1 ?

? x1 (?2) ?
?

2 2 8y 4( y0 ? 8) 2( y0 ? 8) ,? y1 ? 2 0 . , ? x ? ? 1 2 2 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8

2 2( y0 ? 8) 8 y0 ? OP ? (? 2 , 2 ), y0 ? 8 y0 ?8 2 2 2 4( y0 ? 8) 8 y0 4 y0 ? 32 . ? OP? OM ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 (定值) y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8 ? ?

(3)设存在 Q(m,0) 满足条件,则 MQ ? DP .

MQ ? (m ? 2,? y0 ) , DP ? (?

?

?

2 4 y0 8y , 2 0 ), 2 y0 ? 8 y0 ? 8

3

则由 MQ? DP ? 0 得

?

?

?

2 2 4 y0 8 y0 ( m ? 2 ) ? ? 0 ,从而得 m ? 0 . 2 2 y0 ?8 y0 ?8

? 存在 Q(0,0) 满足条件.
20.解: (1) f ?( x) ? ?3x2 ? 2 x .

2 2 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? . 3 3 2 2 ∴ f ( x) 的单调增区间为 (0, ) ,单调减区间为 (??,0),( , ??) . 3 3
令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? (2)由 f ? x ? ? ? x3 ? x2 ? b ,得 f ? ? x ? ? ?3x2 ? 2x ? ? x ? 3x ? 2? , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 或 列表如下:
x

2 . 3 1 2
? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?
?

?

0 0

? 2? ? 0, ? ? 3?

2 3

?2 ? ? ,1 ? ?3 ?
?

f ?? x?

?

0 极大值

1 f (? ) 极小值 2 1 3 2 4 1 2 由 f (? ) ? ? b , f ( ) ? ? b , ? f (? ) ? f ( ) , 2 8 3 27 2 3 1 3 3 即最大值为 f (? ) ? ? b ? ,? b ? 0 . 2 8 8

f ? x?

(3)由 g ? x ? ? ?x 2 ? ?a ? 2? x ,得 ? x ? ln x ? a ? x2 ? 2x .

x ? ?1, e? ,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,? ln x ? x,即x ? ln x ? 0 ,

?a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x 恒成立,即 a ? ( )min . x ? ln x x ? ln x

令 t ? x? ?

? x ? 1?? x ? 2 ? ln x ? x2 ? 2 x , , x ??1, e?? ,求导得, t? ? x ? ? 2 x ? ln x ? x ? ln x ?

当 x ??1, e? 时, x ? 1 ? 0,ln x ? 1, x ? 2 ? ln x ? 0 ,从而 t? ? x ? ? 0 ,

?t ? x ? 在 ?1, e? 上为增函数,?tmin ? x ? ? t ?1? ? ?1 ,? a ? ?1 .

扬大附中高二数学寒假作业(六)——综合训练(二)参考答案
一、填空题 1. ?x ? R , x ? 3x ? 3 ? 0
2

2.充分不必要 9.

3.

1 3

4. ?1

5. 21

6.50

7. x ? y ? 0

8. y ? 2 x
2

5 5 或 3 4

10. x ? y ? 1 ? 0

4

11.

(提示:不妨取点 C 在第一象限,由 OA ? a , BC // ? OA ,设 C ? x , y ? ,则 B ?x ?a ,y ? , 由 B、C 都在椭圆上,代入易得 C ? 则 a ? 3b ) 12. (1,2)

2 2 3

?a 3 ? yC 3 ? 2 , 2 b? ? ,由 ?COx ? ?OAB ? 30? ,即 x ? 3 , C ? ?

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1(m ? 0, n ? 0) ,双曲线: a2 b2 m2 n2 由椭圆定义: PF1 ? 2a ? 2c ,由双曲线定义: 2m ? PF1 ? PF2 ,得 m ? a ? 2c ,故双 c c 1 ? ? ? (1,2) 曲线离心率 e2 ? m a ? 2c 1 ?2 e1 ( ? 1, 0) 3、 提示:对 a 的正负分类讨论,依题意 f ' ( x) 在 x ? a 处左正右负.
提示:设椭圆: 14.

? 3e

1 m x?m ? ? 2 x x2 x ① m ? e ? 0 , m ? ?e 时, f '( x) ? 0 恒成立, 函数 f ( x) 单调减, f (e) ? 4 , m ? ?3e ② m ? 1 ? 0 , m ? ?1 时, f '( x) ? 0 恒成立, 函数 f ( x) 单调增, f (1) ? 4 , m ? ?4 (舍去) ③ ?e ? m ? ?1 时,函数 f ( x) 在 (1, ? m) 上单调递减,在 ( ? m, e) 单调增,
提示: f '( x) ?

f (?m) ? 4 , m ? ?e3 (舍去)
二、解答题 15、解:命题 p :∵方程 (1 ? 2m) x ? (m ? 2) y ? 1表示双曲线,∴ (1 ? 2m)(m ? 2) ? 0 ,
2 2

即 m ? ?2 或 m ?

1 . 2
3

命题 q :? 函数 f ( x) ? x ? mx 在 [0, 2] 上是单调增函数,

? 在 [0,2] 上恒有 f ' ( x) ? 0 ,又 f ' ( x) ? 3x 2 ? m , 故 m ? 0 1 (1)求 {m | m ? ?2 或 m ? } {m | m ? 0} , 2 ?m 的取值范围为 (??, ?2) ; 1 (2)求 {m | m ? ?2 或 m ? } {m | m ? 0} , 2 1 ?m 的取值范围为 (??, 0] ( , ??) . 2
5

16. 解: (1) 当 m, n 是实数 ,且 | m |? 3,| n |? 2 时 , 所有形如 (m, n) 的点覆盖的图形面积是

24 ,椭圆围成的区域在其内部,且面积为 6? ,故点 P(m, n) 落在椭圆内的概率是
(2)当 m, n 是整数,且 | m |? 3,| n |? 2 时,点 P(m, n) 共有 7 ? 5 ? 35 个. 当 m ? 0, n ? 0 时,点 (1, 2),(2, 2),(3,1),(3, 2) 共 4 点落在椭圆外,

6? ? ? 24 4

由对称性知 , 当 m, n 是整数 , 且 | m |? 3,| n |? 2 时 , 共有 4 ? 4 ? 16 个点落在椭圆外 , 故点

16 . 35 其次落在椭圆上的有四点: (?3,0),(3,0),(0, ?2),(0, 2) , 16 4 3 ? ? 故点 P(m, n) 落在椭圆内的概率是 1 ? 35 35 7 17、证明: (1)设 M (4, m) ,由题意知 OP ? PM , OQ ? QM ,故 O, P, M , Q 四点共圆,

P( m, n) 落在椭圆外的概率是

且以 OM 为直径,记为圆 K ,方程为 ( x ? 2) ? ( y ?
2

联立消去 x , y 得 PQ 的方程 4 x ? my ? 8 ? 0
2 2

m 2 m2 2 2 ) ? 4? ,与圆 O : x ? y ? 8 2 4 ,过定点 E (2,0)

(1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则直线 OA : y1 x ? x1 y ? 0 ,故圆 O 在点 A 处的切线可设为 x1 x ? y1 y ? C ? 0 ,将点 A 代
2 2 入,又由 x1 ? y1 ? 8 ,得 C ? ?8 ,故切线 AM : x1 x ? y1 y ? 8,

同理可得切线 BM : x2 x ? y2 y ? 8 ,联立两直线方程得 xM ?

8( y2 ? y1 ) ※ x1 y2 ? x2 y1

? A, B, N 三点共线,即 NA与NB 共线, NA ? ( x1 ?1, y1 ), NB ? ( x2 ?1, y2 ) ?( x1 ? 1) y2 ? ( x2 ? 1) y1 ? 0 ,? x1 y2 ? x2 y1 ? y2 ? y1 代入※得 xM ? 8 故点 M 在定直线 l : x ? 8 上. 18. 解:设正四棱锥底面的边长为 x 厘米,则正四棱锥的侧棱 1 2 长 为 2 5? ( x ) 厘 米 . 所 以 , 如 图 , 正 四 棱 锥 的 高 为 2

1 2 2 1 EO ? AE 2 ? AO2 ? (25 ? x 2 ) ? ( x) ? 25 ? x 2 , 4 2 4 1 2 1 2 ∴ 容积 V ? x 25 ? x , 3 4 1 4 1 2 2 2 由于 V 与 V ? x (25 ? x ) 同时取最大值,故只要求使 V 9 4 取最大值的 x 值即可 1 4 1 2 1 3 x (3 x 2 ? 200) , 设 f ( x ) ? x (25 ? x ) ,则 f '( x ) ? ? 9 4 18 10 6 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? , 3
6

10 6 10 6 时, f '( x) ? 0 ;当 10 ? x ? 时, f '( x) ? 0 , 3 3 9 2 10 6 V 也最大. ∴ 当x? 时, 函数 f ( x) 有极大值, 也是最大值, 此时 V 取得最大值, 所 64 3 10 6 以,等腰三角形底边长为 厘米时,这个容器的容积最大. 3 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 相似 19.解:设椭圆 C 的方程为: 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) ,? 椭圆 C 与椭圆 12 9 a b 12 9 ? 2 ? 2 ① a b 3 6 2 (1)? 椭圆 C 经过点 ( 2, ) ,? 2 ? 2 ? 1 ②,联立①②得 a 2 ? 4, b2 ? 3 2 2 a b 2 2 x y ? 1. ? 椭圆 C 的方程为: ? 4 3 1 b2 3 (2)由①知 2 ? ,故 e ? ,设 M ( x0 , y0 ) 2 a 4 a2 ? x0 ) ? a ? ex0 ,当圆心 M 到 y 轴的距离 d ?| x0 |? r 时 则圆 M 的半径 r ? MF2 ? e( c 圆 M 与 y 轴有两个交点,?ex0 ? a ? x0 ? a ? ex0 x ?a a a 1 2 ? ? x0 ? ? ,又? ?a ? x0 ? a ,? ? a ? x0 ? 即 ?1 ? 0 ? 1? e 1? e 1? e a 1? e 3 MF1 a ? ex0 2a 2 1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?[ , 2) x0 a ? ex0 3 故 MF2 a ? ex0 1? e a 2 ( x ? 2)( x ? 1) F ?( x) ? 20.解:(1) ① F ( x) ? x ? ? ln x x x2 (0,1) ? , (1, ??) ? 值域是 [3, ??) ; a ②函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? ? ln x 的定义域为 ? 0, ?? ? . x a 1 x2 ? x ? a ' ? 0 恒成立 ∴ F ? x? ? 1 ? 2 ? ? x x x2 1 1 ? a ? x 2 ? x ? ( x ? ) 2 ? , ( x ? 0) 恒成立 2 4 ?a ? 0 g ? x? ln x a ln x ? x 2 ? 2ex ? a . (2)解: 由 2 ? f ? x ? ? 2e ,得 2 ? x ? ? 2e , 化为 x x x x ln x 1 ? ln x ' 令 h ? x? ? , 则 h ? x? ? . x x2
当0 ? x ?
7

令 h' ? x ? ? 0 , 得 x ? e .当 0 ? x ? e 时, h' ? x ? ? 0 ; 当 x ? e 时, h' ? x ? ? 0 . ∴函数 h ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递增, 在区间 ? e, ?? ? 上单调递减. ∴当 x ? e 时, 函数 h ? x ? 取得最大值, 其值为 h ? e ? ?
2 2 而函数 m ? x ? ? x ? 2ex ? a ? ? x ? e ? ? a ? e , 2

1 . e

当 x ? e 时, 函数 m ? x ? 取得最小值, 其值为 m ? e? ? a ? e2 . ∴ 当a ? e ?
2

函数 G ? x ? 的零点的个数为 1 个.

g ? x? 1 1 2 , 即 a ? e ? 时,方程 2 ? f ? x ? ? 2e 只有一个根, e e x

1 a ? e 2 ? 时, 函数 G ? x ? 的零点的个数为 0 个. e 1 a ? e 2 ? 时, 函数 G ? x ? 的零点的个数为 2 个. e

8


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