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高中数学选修1-1(北师版)第四章导数的应用4.1(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修1-1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第四章 导数应用 4.1 利用导数研究函数的图像与性质(补充)

一、知识清单
利用导数研究函数的图象与性 质

二、知识讲解
1.利用导数研究函数的图象与性质 描述: 例题: 利用导数来处理两个函数的位置关系、交点个数及函数的零点等问题. 设 L 为曲线 C :y =

(1)求 L 的方程; (2)证明:除切点 (1, 0) 之外,曲线 C 在直线 L 下方. 解:(1)设

ln x 在点 (1, 0) 处的切线. x

f (x) =


ln x , x

f ′ (x) =

1 ? ln x . x2

所以 f ′ (1) = 1,所以 L 的方程为 y = x ? 1 . (2)证明:法一:令 f (x) = x(x ? 1) ? ln x,(x > 0). 曲线 C 在直线 L 的下方,即

f (x) = x(x ? 1) ? ln x > 0,


f ′ (x) = 2x ? 1 ?

(2x + 1)(x ? 1) 1 = , x x

所以 f (x) 在 (0, 1) 上单调递减,在 (1, +∞) 上单调递增,又 f (1) = 0 ,所以 x ∈ (0, 1)

ln x ln x < x ? 1 ;x ∈ (1, + ∞) 时,f (x) > 0 ,即 < x ? 1. x x 即除切点 (1, 0) 之外,曲线 C 在直线 L 的下方.
时,f (x) > 0 ,即 法二:

g(x) = x ? 1 ? f (x),

则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于

g(x) > 0(?x > 0, x ≠ 1). g(x) 满足 g(1) = 0 ,且 g ′ (x) = 1 ? f ′ (x) = x2 ? 1 + ln x . x2
单调递减;当 x > 1

当 0 < x < 1 时,x 2 ? 1 < 0,ln x < 0,所以 g ′ (x) < 0,故 g(x) 时,x2 ? 1 > 0,ln x > 0,所以

g ′ (x) > 0,
故 g(x) 单调递增.所以

g(x) > g(1) = 0(?x > 0, x ≠ 1).
所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 设函数 f (x) = x 3 ? 6x + 5 (x ∈ R). (1)求函数 f (x) 的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f (x) = a 有三个不同实根,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f ′ (x) = 3x 2 ? 6,令

f ′ (x) = 0,
解得

x1 = ?√2 , x2 = √2 .
因为当 x > √2 或 x < ?√2 时,f ′ (x) > 0 ;当 ?√2 < x < √2 时,f ′ (x) < 0 ,所以 f (x) 的单调递增区间为 (?∞, ?√2 ),(√2 , +∞) ;单调递减区间为 (?√2 , √2 ). 当 x = ?√2 时,f (x) 有极大值 5 + 4√2 ;当 x = √2 时,f (x) 有极小值 5 ? 4√2 . (2)由(1)知 y = f (x) 的图象的大致形状及走向如图所示,当 5 ? 4√2 < a < 5 + 4√2 时,直线 y = a 与 y = f (x) 的图象有三个不同交点,即方程 f (x) = a 有三个不同的解.

求方程 2x 3 ? 6x 2 + 7 = 0 在区间 (0, 2) 上的根的个数. 解:设

f (x) = 2x3 ? 6x2 + 7, x ∈ (0, 2),


f ′ (x) = 6x2 ? 12x = 6x(x ? 2) < 0(x ∈ (0, 2)),

所以 f (x) = 2x 3 ? 6x 2 + 7 在 (0, 2) 上单调递减,又

f (0) = 7 > 0, f (2) = ?1 < 0,
所以在区间 (0, 2) 上f (x) 的图象与 x 轴只有 1 个交点,即方程 2x3 ? 6x2 + 7 = 0 在区间 (0, 2) 上只有 1 个根.

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