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河北省邢台市威县高二数学下学期强化训练试题文

2015-2016 高二第二学期数学测试题(文)
时间:120 分钟 满分:150 分
一、选择题(本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( ) ^ ^ A.y=-10x+200 B.y=10x+200 ^ ^ C.y=-10x-200 D.y=10x-200 10i 2.在复平面内,复数 对应的点的坐标为( ) 3+i A.(1,3) B.(3,1) C.(-1,3) D.(3,-1) 3.复数引入后,数系的结构图为( )

4.数列 2,5,11,20,x,47,…中的 x 等于( ) A.28 B.32 C.33 D.27 5.用反证法证明命题:“若(a-1)(b-1)(c-1)>0,则 a,b,c 中至少有一个大于 1” 时,下列假设中正确的是( ) A.假设 a,b,c 都大于 1 B.假设 a,b,c 都不大于 1 C.假设 a,b,c 至多有一个大于 1 D.假设 a,b,c 至多有两个大于 1 ^ 6.已知线性回归方程y=1+bx,若 x =2, y =9,则 b=( ) A.4 B.-4 C.18 D.0 7.已知 z1=a+bi,z 2=c+di,若 z1-z2 是纯虚数,则( ) A.a-c=0,且 b-d≠0 B.a-c=0,且 b+d≠0 C.a+c=0,且 b-d≠0 D.a+c=0,且 b+d≠0 8.甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A,B 两变量的线性相关性做试验,并由回归分析法分 别求得相关指数 R 与残差平方和 m 如下表: 甲 乙 丙 丁 R 0.82 0.78 0.69 0.85

m

115

106

124

103

则哪位同学的试验结果体现 A,B 两变量更强的线性相关性( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 9.把正整数按下图所示的规律排序,则从 2 011 到 2 013 的箭头方向依次为(

)

10 .设△ ABC 的三边长分别为 a , b , c ,△ ABC 的面积为 S ,内切圆半径为 r ,则 r = 2S ,类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面 的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球半 a+b+c 径为 R,四 面体 S-ABC 的体积为 V,则 R=( ) V 2V A. B. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 3V 4V C. D. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 11.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计 成绩,得到如下所示的列联表: 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 总计 105 2 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人,成绩优秀的概率为 ,则下列说法正确的是( ) 7 n ad-bc 2 2 参考公式:K = a+b c+d a+c b +d 附表: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828

A.列联表中 c 的值为 30,b 的值为 35 B.列联表中 c 的值为 15,b 的值为 50 C.根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系” D.根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” x1+x2? 1 12 .函数 f(x) 在 [a , b] 上有定 义,若对任意 x1 , x2 ∈ [a , b] ,有 f ? ≤ [f(x1) + ? 2 ? 2 f(x2)],则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x)在[1,3]上具 有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的; ②f(x )在[1, 3]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3]有 x1+x2+x3+x4? 1 f? ≤ [ f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].其中真命题的序号是( 4 ? ? 4
2

)

A.①② C.②④

B.①③ D.③④

二、填空题(本大题共 4 小题,把正确的答案填在题中横线上) 13.复数 z1=cos θ +i,z2=sin θ -i,则|z1-z2|的最大值为________. 14.若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P,Q 的大小关系为________. 15.完成下面的三段论: 大前提:互为共轭复数的乘积是实数, 小前提:x+yi 与 x-yi 是互为共轭复数, 结论:________________. 16.为研究大气污染与人的呼吸系统疾病是否有关,对重污染地区和轻污染地区做跟踪调 查,得出如下资料: 患呼吸系 未患呼吸 总计 统疾病 系统疾病 重污染地区 103 1 397 1 500 轻污染地区 13 1 487 1 500 总计 116 2 884 3 000

根据列联表,求得 K 的值为________. 三 、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知复数 z=cos θ +isin θ (0≤θ ≤2π ),求 θ 为何值时,|1 -i+z|取得最值.并求出它的最值.

2

18.(本小题满分 12 分)已知 sin α +cos α =1,求证:sin α +cos α =1.

6

6

^ 19.(本小题满分 12 分)设三组实验数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的回归直线方程是:y ^ ^ ^ ^ 2 2 2 =bx+a,使代数式[y1-(bx1+a)] +[y2-(bx2+a)] +[y3-(bx3+a)] 的值最小时,a= y -b

x , b=

^

x1y1+x2y2+x3y3-3 x y
2 2 x2 1+x2+x3-3 x 2

,( x , y 分别是这三组数据的横、纵坐标的平均数 ) 若有 7

组数据,列表如下:

x y

2 4

3 6

4 5

5 6.2

6 8

7 7.1

8 8.6

(1)求上表中前三组数据的回归直线方程; ^ ^ (2) 若| yi-(b xi+a )|≤0.2,即称(xi,yi) 为(1) 中回归直线的拟和“好点”,求后四组数 据中拟合“好点”的概率.

20.(本小题满分 12 分)请阅读下列不等式的证法:已知 a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:|a1

2

2

+a2|≤ 2. 2 2 证明:构造函数 f(x)=(x-a1) +(x-a2) , 2 2 2 2 则 f(x)=2x -2(a1+a2)x+a1+a2=2x -2(a1+a2)x+1. 因为对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0, 所以 Δ =4(a1+a2) -8≤0,从而得|a1+a2|≤ 2. 请回答下面的问题: 2 2 2 若 a1 ,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述结论的推广形式,并进行证明.
2

21.(本小题满分 12 分)已知 x∈R,a=x -1,b=2x+2,求证 a,b 中至少有一个不小于 0.

2

22.(本小题满分 12 分)设 f(x)=3ax +2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)f(1)>0, 求证:(1)方程 f(x)=0 有实根; (2)-2< <-1; (3)设 x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,则 3 2 ≤|x1-x2|< . 3 3

2

b a

2015-2016 高二第二学期数学测试题(文)答案
1、解析:选 A.由题意知选项 B、D 为正相关,选项 C 不符合实际意义. 10i - 2、解析:选 A.∵ = =i(3-i)=1+3i. 3+i + - 又复数 1+3i 对应复平面内的点(1,3),故选 A. 3、解析:选 A.复数引入后,数系扩充为实数和虚数两部分,故选 A. 4、解析:选 B.由题中数字可发现:2+3=5,5+6=11,11+9=20,故 20+12=32. 5、解析:选 B.a,b,c 至少有一个大于 1 的否定为 a,b,c 都不大于 1. ^ 6、解析:选 A.因为y=1+bx,且 x =2, y =9,所以 9=1+2b,所以 b=4. 7、解析:选 A.∵z1-z2=a+bi-(c+di) =(a-c)+(b-d)i 为纯虚数, ∴?
? ?a-c=0 ?b-d≠0 ?

.

8、解析:选 D.相关指数 R 越接近 1,试验中两变量线性关系越强;残差平方和越小,线性 关系越强. 9、解析:选 B.由图形的变化趋势可知,箭头的变化方向以 4 为周期,2 011÷4=502×4 +3,2 012÷4=502×4+4,2 013=502×4+5,故 2 011→2 013 的箭头方向同 3→5 的箭头方 向. 10、解析:选 C.

设四面体的内切球的球心为 O,则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶 点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为 1 VS-ABC= (S1+S2+S3+S4)R, 3 3V ∴R= ,故选 C. S1+S2+S3+S4 11、解析:选 C.由题意知,成绩优秀的学生数是 30,成绩非优秀的学生数是 75,所以 c= 2 - 2 20 , b = 45 ,选项 A 、 B 错误.根据列联表中的数据,得到 K = 55×50×30×75 ≈6.109>3.841,因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”,选项 C 正确. 12、解析:选 D.通过构造某些特殊函数,排除不合适的选项,利用反证法证明③正确,再 两次应用定义式证明④正确. 1,x=1, ? ? 令 f(x)=?0,1<x<3, ? ?1,x=3, 都有 f?
2

可知对? x1,x2∈[1,3],

≤ [f(x1)+f(x2)],但 f(x)在[1,3]上的图象不连续,故①不正确; ? 2 ? 2
2

x1+x2? 1

令 f(x)=-x,则 f(x)在[1,3]上具有性质 P, 但 f(x )=-x 在[1, 3]上不具有性质 P, 2 2 2 2 x1+x2?2 x1 +x2+2x1x2 x1 +x2 因为-? =- ≥- 4 4 ? 2 ? 1 1 2 2 2 2 = (-x1-x2)= [f(x1)+f(x2)],故②不 2 2

正确; 对于选项③,假设存在 x0∈[1,3],使得 f(x0)≠1, 因为 f(x)max=f(2)=1,x∈[1,3],所以 f(x0)<1. 又当 1≤x0≤3 时,有 1≤4-x0≤3, 由 f(x)在[1,3]上具有性质 P,得 x0+4-x0? 1 f(2) =f? ≤ [f(x0)+f(4-x0)], ? 2 ? 2 由于 f(x0)<1,f(4-x0)≤1,故上式矛盾. 即对? x∈[1,3],有 f(x)=1,故选项③正确. 对? x1,x2 ,x3,x4∈[1,3], x1+x2 x3+x4? x1+x2+x3+x4? ? + 2 ?≤ f? =f ? 2 4 ? ? ? ? 2 ? ? x + x 1? ?x1+x2? 3 4 1 1 ??≤ { [f(x1)+f(x2)]+1[f(x3)+f(x4)]}=1[f(x1)+f(x2)+f(x3)+ f +f? 2 2? ? 2 ? 2 4 ? ?? 2 2 f(x4)],即选项④正确. 13、解析:|z1-z2|=|(cos θ -sin θ )+2i| = θ -sin θ
2

+4

= 5-2sin θ cos θ = 5-sin 2θ ≤ 6. 答案: 6 2 2 14 、 解 析 : 要 比 较 P 与 Q 的 大 小 , 只 需 比 较 P 与 Q 的 大 小 , 只 需 比 较 2a + 7 + 2 a a+ 与 2a+7+2 a+ a+ 的大小,只需比较 a +7a 与 a +7a+12 的大 小,即比较 0 与 12 的大小,而 0<12.故 P<Q. 答案:P<Q 15、(x+yi)·(x-yi)是实数 16、解析:由公式得 K 的观测值 2 - k= 116×2 884×1 500×1 500 ≈72.636 答案:72.636 三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17、解:|1-i+z|=|cos θ +isin θ +1-i| = = = 当θ = θ +
2 2 2 2

+ +3 π 4

θ -

2

θ -sin θ 2 2 θ +

+3 ,

7π 时,|1-i+z|max= 2+1; 4 3π 当θ = 时,|1-i+z|min= 2-1. 4 6 6 18、证明:要证 sin α +cos α =1, 2 2 4 2 2 4 只需证(sin α +cos α )(sin α -sin α cos α +cos α ) =1. 4 2 2 4 即证 sin α -sin α cos α +cos α =1, 2 2 2 2 2 只需证(sin α +cos α ) -3sin α cos α =1, 2 2 即证 1-3sin α cos α =1, 2 2 即证 sin α cos α =0, 由已知 sin α +cos α =1, 2 2 所以 sin α +cos α +2sin α cos α =1, 2 2 所以 sin α cos α =0,所以 sin α cos α =0, 6 6 故 sin α +cos α =1.

19、解:(1)前三组数的平均数: 1 x = ×(2+3+4)=3, 3 1 y = ×(4+6+5)=5, 3 根据公式: ^ 2×4+3×6+4×5-3×3×5 1 b= = , 2 2 2 2 2 +3 +4 -3×3 2 1 7 ^ ∴a=5- ×3= , 2 2 7 ^ 1 ∴回归直线方程是y= x+ . 2 2 (2)|6.2-3.5-0.5×5|=0.2≤0.2, |8-3.5-0.5×6|=1.5>0.2, |7.1-3.5-0.5×7|=0.1<0.2, |8.6-3.5-0.5×8|=1.1>0.2, 综上,拟合的“好点”有 2 组, 2 1 ∴“好点”的概率 P= = . 4 2 20、解:推广形式:若 a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,则|a1+a2+…+an|≤ n. 2 2 2 证明:构造函数 f(x)=(x-a1) +(x-a2) +…+(x-an) , 2 2 2 2 2 则 f(x)=nx -2(a1+a2+…+an)x+a1+a2+…+an=nx -2(a1+a2+…+an)x+1. 因为对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0, 2 所以 Δ =4(a1+a2+…+an) -4n≤0, 从而得|a1+a2+…+an|≤ n. 21、证明:假设 a,b 都小于 0,即 a<0,b<0, 所以 a+b<0,又 a+b=x -1+2x+2=x +2x+1=(x+1) ≥0, 这与假设所得结论矛盾,故假设不成立 所以 a,b 中至少有一个不小于 0. 22、证明: (1)若 a=0,则 b=-c, f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c2≤0,与已知矛盾,所以 a≠0. 2 2 方程 3ax +2bx+c=0 的判别式为 Δ =4(b -3ac). 由条件 a+b+c=0, 消去 b,得 1 2 3 2 2 2 Δ =4(a +c -ac)=4??a- c? + c ?>0, 2 ? 4 ? ?? 故方程 f(x)=0 有实根. (2)由 f(0)f(1)>0,得 c(3a+2b+c)>0, 由条件 a+b+c=0,消去 c,得(a+b)(2a+b)<0, ∵a >0,∴?1+
2 2 2 2 2 2 2

b?? b? b 2+ <0,故-2< <-1. a?? a? a 2b c a+b (3)由条件知 x1+x2=- ,x1x2= =- , 3a 3a 3a 4 b 3 2 1 2 2 ∴(x1-x2) =(x1+x2) -4x1x2= ? + ? + . 9?a 2? 3 b 1 4 2 ∵-2< <-1,∴ ≤(x1-x2) < , a 3 9

?



3 2 ≤|x1-x2|< . 3 3


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