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2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科数学试题及答案(WORD版)

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(文史类)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
2 1. 集合 P ? x | x ? 16 ? 0 , Q ? ? x | x ? 2 n, n ? Z ? ,则 P ? Q ?

?

?

A.{-2,2}

B.{-2,2,-4,4}

C.{-2,0,2} D.{-2,2,0,-4,4}

2. 已知非零向量 a、b,若 a+2b 与 a-2b 互相垂直,则

a b



A.

1 4

B.4

C.

1 2

D.2

3. 已知 sin2 ? =

2 3

, ? ? (0, ? ) ,则 sin ? +cos ? =

A.

15 3

B.-

15 3

C.

5 3

D.-

5 3

4.在等比数列{ a n }中, a1 =1, a10 =3,则 a2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 = A.81 B.27 5 27 C. 3 D.243

5.甲: A1 、 A2 是互斥事件;乙: A1 、 A2 是对立事件. 那么 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 6.关于直线 m、n 与平面 a、 ? , 有下列四个命题: ① ② ③ ④ 若 m // ? , n // ? 且 a // ? ,则 m // n ; 若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; 若 m ? ? , n // ? 且 a // ? ,则 m ? n ; 若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n .

其中真命题的序号是 A.①、② B.③、④ 7.设 f ? x ? ? lg

C.①、④

D.②、③

2? x 2? x

,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为

x

2 x

2

A. ( ?4, 0) ? (0, 4) C. ( ?2, ?1) ? (1, 2) 8.在 ( x ? A.3 项

B. ( ?4, ?1) ? (1, 4) D. ( ?4, ?2) ? (2, 4)

1
3

x

) 24 的展开式中, x 的幂的指数是整数的项共有
C.5 项 D.6 项

B.4 项

9.设过点 P ? x , y ? 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA, 且 OQ ?AB ? 1 ,则 P 点的轨迹方程是 A.3 x ?
2

??? ?

????

???? ??? ?

3 2

y 2 ? 1( x ﹥0,y﹥0 ) B. 3 x 2 ? 3 2

3 2

y 2 ? 1( x ﹥0,y﹥0 )

C.

3 2

x 2 ? 3 y 2 ? 1 ( x﹥0,y﹥0 ) D.
2 2 2

x 2 ? 3 y 2 ? 1 (x﹥0,y﹥0 )

10.关于 x 的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题: ① 存在实数 k,使得方程恰有 2 个不同的实根; ② 存在实数 k,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③ 存在实数 k,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④ 存在实数 k,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是 . A.0 B.1 C.2 D.3

第Ⅱ卷(非选择题
11.在△ABC 中,已知 a=

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相应位置上。

4? 3 3

, b=4, A= 30 ,则 sin B =

?



12.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为 0.80,现有 5 人接种疫苗,至少有 3 人出现发热 反应的概率为 。 (精确到 0.01) 13.若直线 y=kx+2 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围为
2 2



14.安排 5 名歌手的演出顺序时, 要求某名歌手不第一个出场, 另一名歌手不最后一个出场, 不同排法的种数是 。 (用数字作答) 15.半径为 r 的圆的面积 S ? r ? ? ? r ,周长 C ? r ? ? 2? r ,若将 r 看作(0,+ ? )上的变量,
2

则 (? r ) ? 2? r
2 '



①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+ ? )上的变量,请你写出类似于①的式子: _____________________ ② ②式可用语言叙述为 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 设向量 a= (sin x, cos x ) ,b= (cos x, cos x ) ,x ? R,函数 f ? x ? ? a ?( a ? b ) 。 (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f ? x ? ?

3 2

成立的 x 的取值集合。

17.(本小题满分 12 分) 某单位最近组织了一次健身活动, 活动分为登山组和游泳组, 且每个职工至多参加了其中一 组,在参加活动的职工中,青年人占 42.5%,中年人占 47.5%,老年人占 10%。登山组的 职工占参加活动总人数的

1 4

,且该组中,青年人占 50%,中年人占 40%,老年人占 10%。

为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度, 现用分层抽样方法从参加活动的 全体职工中抽取一个容量为 200 的样本,试确定 (Ⅰ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (Ⅱ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长和底面边长为 1, M 是底面 BC 边上的中点,

N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN=2C1 N 。
(Ⅰ)求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值; (Ⅱ)求点 B1 到平面 AMN 的距离。

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 处取得极值 ?2 。试用 c 表示 a 和 b ,并求 f ? x ? 的
3 2

单调区间。

20. (本小题满分 13 分) 设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,点 ? n,

? ?

Sn ? * ? ( n ? N ) 均在函数 y ? 3 x ? 2 的图像上。 n ?

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

3 a n a n ?1

,Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求使得 Tn ?

m 20

对所有 n ? N 都成立的
*

最小正整数 m 。

21. (本小题满分 14 分) 设 A 、 分别为椭圆 B

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a , b ? 0) 的左、 右顶点, 椭圆长半轴的长等于焦距, x ? 4 且 ...

是它的右准线。 (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设 P 为右准线上不同于点 (4, 0) 的任意一点,若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于异于 (此题不要求在答题卡上画图) A, B 的 M 、 N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(文史类)参考答案

一、选择题:本题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.A 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分,满分 25 分。 11.

3 2

12.0.94

13. (0,

4 3



14.78

15. ( ? R 3 ) ' ? 4? R 2 .球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

4 3

三、解答题 16.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的基本知识,以及运 用三角函数的图像和性质的能力。

f ? x ? ? a ?? a ? b ? ? a ?a ? a ?b ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin x cos x ? cos 2 x
解: (Ⅰ)∵

? 1?

1

1 3 2 ? sin 2 x ? ( cos 2 x ? 1)= ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 4

∴ f ? x ? 的最大值为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知

3 2

?

2 2

,最小正周期是

2? 2

?? 。

)?0 4 ? ? 3? ? 2 k? ? 2 x ? ? 2 k? ? ? ? k? ? ? x ? k? ? ,k ? Z 4 8 8 2 2 2 4 2
即 f ? x? ?

f ? x? ?

3

?

3

?

2

sin(2 x ?

?

)?

3

? sin(2 x ?

?

3 2

成立的 x 的取值集合是 ? x | k ? ?

? ?

3? 8

? x ? k? ?

?

? ,k ? Z ?. 8 ?

17.本小题主要考查分层抽样的概念和运算,以及运用统计知识解决实际问题的能力。 解: (Ⅰ)设登山组人数为 x ,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 a、b、 c,则有

x ?40% ? 3 xb 4x

? 47.5%,

x? 10% ? 3 xc 4x

? 10% ,解得 b=50%,c=10%.

故 a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40%、 50%、10%。 (Ⅱ)游泳组中,抽取的青年人数为 200 ?

3 4

;抽取的中年人数为 ? 40% ? 60 (人)

3 3 ;抽取的老年人数为 200 ? ? 10%=15(人) 。 200 ? ? 50%=75(人) 4 4
18. 本小题主要考查线面关系、 二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运 算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法 1: (Ⅰ)因为 M 是底面 BC 边上的中点,所以 AM ? BC,又 AM ? C C1 ,所以 AM ? 面 BC C1 B1 ,从而 AM ? B1 M, AM ? NM,所以 ? B1 MN 为二面角, B1 —AM—N 的平面角。

又 B1 M= B1 B ? BM
2

2

? 1?

1 4

?

5 2

,MN= MC ? CN ?
2 2

1 4

?

4 9

?

5 6

,

连 B1 N,得 B1 N= 中 , 由

B1C12 ? C1 N 2 ? 1 ?
余 弦

1 9

?


10 3

,在 ? B1 MN 理 得

cos B1 MN ?

B 1 M 2 ? MN 2 ? B 1 N 2 2?B 1 M ?MN

5 25 10 ? ? 4 36 9 ? 5 。 故所求 ? 5 5 5 2? ? 2 6
5 5


二面角 B1 —AM—N 的平面角的余弦值为

(Ⅱ)过 B1 在面 BCC1 B1 内作直线 B1 H ? MN , H 为垂足。又 AM ? 平面 BCC1 B1 ,所以 AM ? B1 H。于是 B1 H ? 平面 AMN,故 B1 H 即为 B1 到平面 AMN 的距离。在 R1?B1 HM 中,

B1 H= B1 M sin B1 MH ?

5 2

? 1?

1 5

? 1 。故点 B1 到平面 AMN 的距离为 1。

解法 2: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则 B1 (0,0,1) ,M(0,

1 2

,0),

C(0,1,0), N (0,1,

2 3

) ,A(?

3 1 , , 0 ),所以, 2 2

???? ? ???? ? ???? ? 3 1 1 2 AM ? ( , 0, 0) , MB1 ? (0, ? ,1) , MN ? (0, , ) 。 2 2 2 3
因为

???? ???? ? ? MB1 ?AM ?
? M ? ?B ?

1 ? 0 ? 0 ? (? ) ? 0 ? 1 ? 0 2 2
A M ,同法可得 MN ? AM 。 ? ?? ???? ? ???? ? ? ?

3





?

?

1

故﹤ MB1 , MN ﹥为二面角 B1 —AM—N 的平面角

???? ???? ? ?

???? ???? ? ? ???? ???? ? ? MB1 ? MN ∴ cos ﹤ MB1 , MN ﹥= ???? ???? ? ? ? MB1 ? MN

5 12 ? 5 . 5 5 5 ? 2 6

故所求二面角 B1 —AM—N 的平面角的余弦值为

5 5



(Ⅱ)设 n=(x,y,z)为平面 AMN 的一个法向量,则由 n ? AM , n ? MN 得

???? ?

???? ?

? 3 x?0 ? ? 2 ? ? 1 2 ? y? z ?0 ?2 3 ?

?x ? 0 3 ? 4 故可取 n ? (0, ? ,1) ? 4 ?y ? ? 3 z ?

???? ? ???? ? MB1 ? n 设 MB1 与 n 的夹角为 a,则 cos a ? ???? ? ? MB1 ? n

5 2 5 3 。 ? 3 5 5 ? 2 3
5 ? 2 5 5 ?1。

所以 B1 到平面 AMN 的距离为 MB1 ? cos a ?

???? ?

2

19.本小题主要考查层数的概念和计算,考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能 力。 解:依题意有 f (1) ? ?2, f (1) ? 0, 而 f (1) ? 3 x ? 2 ax ? b,
' ' 2

故?

?1 ? a ? b ? c ? ? 2 ?3 ? 2 a ? b ? 0

解得 ?

?a ? c ?b ? ?2c ? 3

从而

f ' ( x ) ? 3 x 2 ? 2cx ? (2c ? 3) ? (3 x ? 2c ? 3)( x ? 1) 。
令 f ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ?
'

2c ? 3 3



由于 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,故 ? (1) 若 ?

2c ? 3 3

? 1 ,即 c ? ?3 。

2c ? 3 3

2c ? 3 ? ? ' ? 1 ,即 c ? ?3 ,则当 x ? ? ?? , ? ? 时, f ( x ) ? 0 ; 3 ? ?

当 x???

? 2c ? 3 ? ,1 ? 时, f ' ( x ) ? 0 ;当 x ? (1, ?? ) 时, f ' ( x ) ? 0 ; 3 ? ?
? ? 2c ? 3 ? ? 2c ? 3 ? ? ? , ?1, ?? ? ;单调减区间为 ? ? 3 ,1? 3 ? ? ?

从而 f ( x ) 的单调增区间为 ? ?? , ? (2) 若 ?

2c ? 3 3

? 1 ,即 c ? ?3 ,同上可得,

? ? 2c ? 3 2c ? 3 ? ? ? , ?? ? ;单调减区间为 ?1, ? f ( x ) 的单调增区间为 ? ?? ,1? , ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ?

20.本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分 析问题能力和推理能力。 解: (I)依题意得,

S
n
n

n

? 3n ? 2, 即 S n ? 3n 2 ? 2 n 。
2 ? (3n 2 ? 2n) ? ?3 ? n ? 1? ? 2( n ? 1) ? ? 6n ? 5 ; ? ?

当 n≥2 时,a

a ? s ?s
n

n ?1

当 n=1 时, a 1 ?

s

1

? 3 × 12 -2×1-1-6×1-5

所以 a n ? 6 n ? 5( n ? N ?) 。 (II)由(I)得 bn ?

3 an an ?1

?

1 (6 n ? 5) ?6( n ? 1) ? 5 ?

?

1? 1 1 ? ? ? ?, 2 ? 6 n ? 5 6 n ?1 ?

故T n ? ? b ?
1?1

n

1 ?? 1? ?1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ?。 ? ? 1 ? 7 ? ? ? 7 ? 13 ? ? ... ? ? 6 n ? 5 ? 6 n ? 1 ? ? = ? 1 ? 2 ?? 6n ? 1 ? ? ? ? ? ?? 2 ?

因此,使得

1? 1 ? m 1 m ,即 m≥10,故满足要 ?1 ? ? ﹤ ? n ? N ?? 成立的 m 必须满足 ≤ 2? 6 n ? 1 ? 20 2 20

求的最小整数 m 为 10。 21.本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进 行推理运算的能力和解决问题的能力。

? a ? 2c ?a ? 2 ? 解: (I)依题意得 ? a 2 解得 ? ?c ?1 ? ?4 ?c
故椭圆方程为

从而 b= 3 ,

x2 4

?

y2 3

? 1。

(II)解法 1:由(I)得 A(-2,0) ,B(2,0) 。设 M ( x0, y0 ) 。
2 ? M 点在椭圆上,? yo ?

3 4

?4 ? x ? 。
2 0

又 M 点异于顶点 AB ,? ?2 ? x0 ? 2. 曲 P ? A ? M 三点共线可得 P ? 4,

? ? ?

6 y0 ? ?. ?2? x0 ? 6 y0 ? ?. x0 ? 2 ? ?

从面 BM ? ? x0 ? 2, y 0 ? , BP ? ? 2,

???? ?

??? ?

? ? ?

???? ??? ? ? 6 y0 2 ? BM ?BP ? 2 x0 ? 4 ? ? ? x02 ? 4 ? 3 y02 ? . x0 ? 2 x0 ? 2

将①式代入②式化简得 BM ?BP ?

???? ??? ? ?

5 2

? 2 ? x0 ?

???? ??? ? ? ? 2 ? x0 >0,? BM ?BP >0.于是 ?MBP 为锐角,从而 ?MBN 为钝角,故点 B 在以 MN 为
直径的圆内. 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 P(4, ? ) ? ? 0) ( ,M( x1 , y1 ) ,N( x 2 , ,则直线 AP 的方程为 y ? y2 )

?
6

( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y ?

?
2

( x ? 2) 。

?点 M、N 分别在直线 AP、BP 上, ? y1 =

?2 ? ? ( x1 +2) y 2 = ( x 2 -2).从而 y1 y 2 = , ( x1 +2) x 2 -2).③ ( 12 6 2

? ? ? y ? 6 ( x ? 2), ? 2 2 2 2 联立 ? 2 消去 y 得(27+ ? ) x +4 ? x+4( ? -27)=0. 2 ? x ? y ? 1. ? 3 ?4
. ? x1 ,-2 是方程得两根,?(-2) x1 ?

4 ?22 ( 7 ) ?

? 2 ? 27

,即 x1 =

2(27 ? ? 2 )

? 2 ? 27

.



又 BM . BN =( x1 -2, y1 ) x 2 -2, y 2 )=( x1 -2) x 2 -2)+ y1 y 2 . .( ( 于是由③、④式代入⑤式化简可得

???? ?

????



???? ???? ? 5? 2 ( x 2 -2). BM . BN = 2 ? ? 27

?N 点在椭圆上,且异于顶点 A、B,? x2 ? 2 <0.
又? ? ? 0 ,?

5? 2

? ? 27
2

> 0, 从而 BM . BN <0.

???? ?

????

故 ?MBN ?MBN 为钝角,即点 B 在以 MN 为直径的圆内. 解法 3:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M( x1 , y1 ) ,N( x 2 , y 2 ) ,则-2< x1 <2 , -2< x 2 <2.又 MN 的中点 Q 的坐标为(

? BQ ?

2

1 4
2

MN 1 4

2

x1 ? x2 y1 ? y2 ) , , 2 2 x ? x2 y ? y2 2 1 ?( 1 ? 2) 2 ? ( 1 ) ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 2 2 4?
2

化简得 B Q -

M N =( x1 -2) x 2 -2)+ y1 y 2 . (



直线 AP 的方程为

y?

y2 x1 ? 2

( x ? 2)

,直线 BP 的方程为 y ?

y2 x2 ? 2

( x ? 2) .

?点 P 在准线 x=4 上,
?
6 y1 x1 ? 2 ? 2 y2 x2 ? 2
,即 y 2 ?

3( x2 ? 2) y1 x1 ? 2

.



又?M 点在椭圆上,?

x12 4



y12 3
2

=1,即 y12 ?

3 4

(4 ? x12 ).
(2 ? x1 )( x2 ? 2) ? 0 .



于是将⑦、⑧式化简可得 B Q - 从而 B 在以 MN 为直径的圆内.

1 4

M N =

2

5 4


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