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2013云南省部分名校第一次统考 理科数学(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中)

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考试时间:2013 年 1 月 24 日 15:00—17:00

云南省部分名校高 2013 届第一次统一考试 (楚雄一中、玉溪一中、昆明三中)


一项是符合题目要求的.







命题:玉溪一中高 2013 届数学备课组 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

1.复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是(

1 i



(, ) A. 1 1

( 1) B. ? 1,

( ) C. ? 1,?1

( ) D. 1,?1


2.已知幂函数 f (x ) 的图像经过点(9,3) ,则 f (2) ? f (1) =( A.3 B. 1? 2 C. 2 ? 1 D.1

3.已知 k <4,则曲线 A. 相同的准线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1和 ? ? 1 有( 9?k 4?k 9 4
B. 相同的焦点 C. 相同的离心率

) D. 相同的长轴 )

2 n 4.若 ( x ? ) 展开式中的所有二项式系数和为 512,则该展开式中的常数项为 (

1 x

A. ? 84

B. 84

C. ? 36

D. 36 )

5.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 4 sin 3 x cos x( x ? R) 的最小正周期为 ( A.

?
8

B.

? 4

C.

? 2

D. ?

l 6. a, b 是平面 ? 内两条不同的直线, 是平面 ? 外的一条直线, “l ? a, l ? b” “l ? ?” 设 则 是
的( ) B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充要条件

7.函数 f ?x ? ? loga ?6 ? ax? 在 ?0,2? 上为减函数,则 a 的取值范围是( A. ?0,1? B. ?1,3? C. ?1,3? D. ?3,???

8.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切,则 2 a b


该双曲线离心率等于(

A.

3 5 5

B.

6 2

C.

3 2

D.

5 5

9.已知数列 ?an ? 若利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项, 中,a1 ? 1, an?1 ? an ? n , 则判断框内的条件是( A. n ? 8 ? ) C. n ? 10 ? D. n ? 11 ?

B. n ? 9 ?

(第 9 题图象)

(第 10 题图象)

? 10. 函数 f ?x ? ? A sin ??x ? ? ? ? b 的图象如上,则 S ? f ?0? ? f ?1? ? ? ? ? ? f ?2013 等于
A.0 B.503 C.2013 D.2014.5 )

11.已知 a, b ? (0,??),且2a ? b ? 1, 则s ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 的最大值为(

A.

2 ?1 2

B. 2 ? 1

C. 2 ? 1

D.

2 ?1 2

12.已知点 O 为 ?ABC 内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0, 则 ?AOB, ?AOC, ?BOC 的面积之 比等于( A.9:4:1 ) B.1:4:9 C.3:2:1 D.1:2:3

??? ?

??? ?

??? ?

?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.在正项等比数列 ?an ? 中, a1和a19 为方程 x ? 10x ? 16 ? 0 的两根,则 a8 ? a10 ? a12 等于
2

.

ln x , ,在区间 ?2,3? 上任取一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 的概率为 x y 2 2 15. 已知实数 x, y 满足 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 ,则 的最大值为 . x
14.已知 f ( x ) ?

.

?2 x ? 16.设函数 f ? x ? ? ? ?log 2 x ?

? x ? 0? ,函数 y ? ? x ? 0?

f ? f ? x ? ? ? 1 的零点个数为__________. ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 在△ ABC 中 ,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且满足 (2c ? a)cosB ? b cos A ? 0. (1)若 b ? 7, a ? c ? 13 ,求此三角形的面积; (2)求 3 sin A ? sin(C ?

?
6

) 的取值范围。

18. 在一个盒子中,放有标号分别为 1 , 2 , 3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后 ... 抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y ) ,记

? ? OP .(1)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率;
(2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

??? 2 ?

19. 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥面 ABC , BC ? AC, BC ? AC ? 2 ,

AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点.
(1)求证: AB1 // 面BDC1 ; (2)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值; B1 (3)在侧棱 AA1 上是否存在点 P ,使得 B

CP ? 面BDC1 ?请证明你的结论.
C C1 D A1 20. 已知椭圆 A

x

2

a2

?

y

2

b2

4) ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点为 B(0, ,离心率 e ?

5 ,直线 l 交椭圆 5

于 M 、 N 两点. (1)若直线 l 的方程为 y ? x ? 4 ,求弦 MN 的长; (2)如果 ?BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ,求直线 l 方程的一般式.

21. 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, 其中a 为常数. (1) 当 a ? ?1 时,求 f ( x ) 的最大值; (2) 若 f ( x ) 在区间(0,e]上的最大值为 ? 3 ,求 a 的值; (3)当 a ? ?1 时,试推断方程 | f ( x) |?

ln x 1 ? 是否有实数解。 x 2

22.选修 4—4:极坐标和参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ( t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 cos2? ? 1 y ? 3t ?

(1)求曲线 C 的普通方程;(2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.?

23.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 (| x ? 1| ? | x ? 2 | ?m . ) (1)当 m ? 7 时,求函数 f (x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

高三联考试卷答案(理科数学)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1 D 2 C 3 B 4 B 5 C 6 C 7 B 8 A 9 B 10 D 11 A 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.64 14. e ? 2 15. 3 16. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解(1)由正弦定理得:

(2 sin C ? sin A) cos B ? sin B cos A ? 0, 即 2 sin C cos B ? sin(A ? B) ? 0 ,
在三角形中,得: sin C (2 cos B ? 1) ? 0 ,? sin C ? 0,? cos B ?
2 2 2 由 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 ac ? 40, ? S ?

1 ? ,? B ? 2 3

(2)? 3 sin A ? sin( C ?

?
6

) ? 3 sin A ? sin(

?
2

1 ac sin B ? 10 3 2 ? A) ? 3 sin A ? cos A ? 2 sin( A ?

?
6

)

? A ? (0,

2? ? ? 5? ? ) ? A ? ? ( , ) ? 2 sin( A ? ) ? ?1,2? 3 6 6 6 6

18. 解:(Ⅰ)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,? x ? 2 ? 1 , y ? x ? 2 ,

?? ? ( x ? 2)2 ? ( x ? y)2 ? 5 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 5 . 因此,随机变 量 ? 的最大值为 5 ??????????4 分 2 ? 有放回抽两张卡片的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种,? P(? ? 5) ? ???????6 分 9 (Ⅱ) ? 的所有取值为 0 , 1, 2 , 5 . ? ? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况. ? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况, ? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况. 1 4 2 ? P (? ? 0) ? , P (? ? 1) ? , P(? ? 2) ? ??????????8 分 9 9 9 则随机变量 ? 的分布列为:

?
P
??????10 分

0 1 9

1 4 9

2 2 9

5 2 9

因此,数学期望 E? ? 0 ?

1 4 2 2 ? 1? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 ??????12 分 9 9 9 9

19.(I)证明:连接 B1C,与 BC1 相交于 O,连接 OD. ∵BCC1B1 是矩形,∴O 是 B1C 的中点. 又 D 是 AC 的中点,∴OD//AB1. ∵AB1 ? 面 BDC1, OD ? 面 BDC1,∴AB1//面 BDC1. (II)解:如图,建立空间直角坐标系, 则 C1(0,0,0) ,B(0,3,2) , C(0,3,0) ,A(2,3,0) , D(1,3,0) ,
A1 C1 D C B1

z

B

y
A

x

???? ???? ? C1B ? (0,3, 2) , C1D ? (1,3,0) ,
设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是面 BDC1 的一个法向量,则

?

? ???? ?n ? 1 B ? 0, ?3 y ? 2 z ? 0, ? C 1 1 1 1 ? ? ? ? ???? 即? ,取 n ? (1, ? , ) . n ? 1 D ? 0 ? x1 ? 3 y1 ? 0 C ? ? 3 2 ???? ? 易知 C1C ? (0,3,0) 是面 ABC 的一个法向量. ? ? ???? ? 2 n ? 1C C 2 ? ???? cos n, C1C ? ? ???? ? ? ? 7 . ∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为 7 . n ? C1C
(III)假设侧棱 AA1 上存在一点 P 使得 CP⊥面 BDC1. 设 P(2,y,0) (0≤y≤3) ,则 CP ? (2, y ? 3,0) ,

??? ?

??? ???? ? ?CP? 1 B ? 0, C ? ? 3( y ? 3) ? 0, ? ? 则 ? ??? ???? ,即 ? . C ? CP? 1 D ? 0 ? ?2 ? 3( y ? 3) ? 0
∴侧棱 AA1 上不存在点 P,使 CP⊥面 BDC1. 20. 解答: (1)由已知 b ? 4 ,且

? y ? 3, ? 7 ? 解之 ? y ? ∴方程组无解. 3 ?

c2 1 c 5 ? ,即 2 ? , 5 a 5 a

a 2 ? b2 1 x2 y 2 ? ,解得 a 2 ? 20 ,∴椭圆方程为 ? ? 1 ; ????????2 分 ∴ 20 16 5 a2
由 4 x2 ? 5 y 2 ? 80 与 y ? x ? 4 联立,

2 消去 y 得 9 x ? 40 x ? 0 ,∴ x1 ? 0 , x2 ?

40 , 9
????????5 分

∴所求弦长 | MN |? 1 ? 1 | x2 ? x1 |?
2

40 2 ; 9

(2)椭圆右焦点 F 的坐标为 (2, 0) , 设线段 MN 的中点为 Q ( x0 , y0 ) , 由三角形重心的性质知 BF ? 2FQ ,又 B(0, 4) , ∴ (2. ? 4) ? 2( x0 ? 2, y0 ) ,故得 x0 ? 3, y0 ? ?2 , 求得 Q 的坐标为 (3, ?2) ; 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6, y1 ? y2 ? ?4 ,
2 x1 y2 x2 y 2 ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 , 20 16 20 16

??? ?

??? ?

????????7 分



以上两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0, 20 16

∴ kMN ?

y1 ? y2 4 x ?x 4 6 6 ? ? ? 1 2 ? ? ? ? ,????????10 分 x1 ? x2 5 y1 ? y2 5 ?4 5

故直线 MN 的方程为 y ? 2 ? ( x ? 3) ,即 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 . (注:直线方程没用一般式给出但结果正确的扣 1 分) 21.解: (1)当 a ? ?1时, f ( x) ? ? x ? ln x,? f ( x) ? ?1 ?


6 5

??????12 分

1 1? x ? x x

当0 ? x ? 1时,f , ( x) ? 0;当x ? 1时,f , ( x) ? 0,
? f (x)在(0,1)上递增,在(, ?)上递减, 1?

? f ( x) max ? f (1) ? 1
(2)? f ( x) ? a ?
,

1 1 ?1 ? , x ? ?0,e?, ? ? ,?? ?, x x ?e ?

1 若a ? ? , 则f , ( x) ? 0, f ( x)在?0, e?上递增, f ( x) max ? f (e) ? ae ? 1 ? 0 ? e

从而弦长为|t1-t2|= ? t1+t2? -4t1t2= 4 -4×? -6?

2

2

23. (Ⅰ)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
解得函数 f (x) 的定义域为 (??,?3) ? (4,??) ; (Ⅱ)不等式 f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 ,

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,
不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (??,-1]


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