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2013新课标高考专家预测试卷理科数学(含详解答案)(3)

绝密★启用前

2013 年高考命题预测卷(1 年仅此 1 卷)

理科 数 学 ( 必 修 +选 修 Ⅱ、 IV)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1-2 页;第Ⅱ卷 3-6 页。 考试时间:2013 年 4 月 21 日,下午 15:00-17:00,共 120 分钟,满分 150 分。考试结束后, 将本试卷和答题纸一并交回。

注意事项:答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在
条形码区域内.

第Ⅰ卷
回答本卷时请注意: 1.选择题必须用 2B 铅笔填涂; 2.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) 1.设复数 ? A. ? ? 2.设集合 M
x0 y0

? ?

1 2

?

3 2

i

,则 1 ? ? 等于
2

B. ?
?

C. ?

1

?

D.

1

?

2

?x

x ? 3 n ? 1, n ? Z ? , N ?

?y

y ? 3 n ? 1, n ? Z ? ,若 x 0 ? M , y 0 ? N

,则

与M

,N
? M

的关系是 B. x 0 y 0
? N

A. x 0 y 0

C. x 0 y 0
?b

? M ? N

D. x 0 y 0
?
2

? M ? N

3.已知非零向量 a 、 b 满足向量 a 一定成立的是 A. a
? b

与向量 a

?b

的夹角为

,那么下列结论中

B. | a

|? | b |

C. a

? b

D. a

? b

4.已知一个几何体是由上下两部分构成 的组合体,其三视图如下,若图中圆的 半径为 1 ,等腰三角形的腰长为 5 ,则该几何体的体积是

A.

4? 3

B. 2 ?

C.

8? 3

D.

1 0? 3

5.已知实数 x ? [ 0 , 8 ] ,执行如右图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 5 4 的概 率为

第 1 页 共 1 页

A.

1 4

B.
? 9 ? ? x ? 5?
2

1 2

C.

3 4

D.

4 5

6. 函数 y
3 4

的图象上存在不同的三点到原点的距离构

成等比数列,则以下不可能成为该等比数列的公比的数是 A. B.
2

C.
s in ? ? c o s ?
2

3

D.
?

5

7.若 2 sin ? ? c o s ? ? 0 ,则 A. ?
2 5 2 5

2 c o s ? ? s in 2 ?
5

B. ?

4 5

C. ?
a x

5 2

D. ?

5 4

8.设 a

?

? 0 (1 ? 3 x
2 2 2 2

2

)dx ? 4

,则二项式 ( x 2

?

)

6

展开式中不含 x 3 项的系数和是 D. ? 1 6 1
? kx

A. ? 1 6 0 9.椭圆
x a + y b

B. 1 6 1
? 1( a ? b ? 0 )

C. 1 6 0
3 3

的离心率为

,若直线 y

与其一个交点的横坐

标为 b ,则 k 的值为 A. ? 1 10.已知函数 B. ?
f ( x ) ? cos x ? 1 2
2

C. ?
?
2 , π 2 ] , s in x 0 ?

3 3

D. , x0 ? [?
?
2 , π 2

?

3

x, x ? [?

1 2

] ,那么下面

四个命题中真命题的序号是
p1

:

f (x)

的最大值为
?
2

f ( x0 )

p2 p4

: :

f (x)

的最小值为
π 2

f ( x0 )

p 3 : f ( x ) 在[ ?

, x 0 ] 上是增函数

f ( x ) 在[ x0 ,

] 上是增函数

A. p 1 ; p 3

B. p 1 ; p 4

C. p 2 ; p 3

D. p 2 ; p 4

11.如图,当参数 λ 分别取 λ1,λ2 时,函数 y=

x (x≥0)的部分图像分 1+λx

别对应曲线 C1 和 C2,则 A.λ1<λ2<0 B.0<λ2<λ1 C.0<λ1<λ2 D.λ2<λ1<0 12.某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD 的顶点 A 处, 然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的 单位,如果掷出的点数为 i ( i
? 1, 2 , ? 6

) ,则棋子就按逆时针方向行走 i 个

D

C

单位,一直循环下去.小明抛掷了三次骰子后,棋子都恰好又回到点 A 处。 则当正方形边长分别为 2 个单位和 3 个单位时,所有不同的走法分别共有 A A.21 种、25 种 B.24 种、28 种 C.21 种、28 种 D.24 种、25 种

B

第 2 页 共 2 页

2013 年高考命题预测卷(1 年仅此 1 卷)

理 科 数 学 ( 必 修 +选 修 Ⅱ、 IV)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必 须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答.
回答本卷时请注意: 1.非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚; 2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在 草稿纸、试题卷上答题无效; 3.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中 的横线上). 13. 随着人民生活的水平的提高,人们逐渐把艺术作为生活中不可或缺的精神物 质。近年来全国高考艺术考生数量逐年增高。据悉 2013 年某大学艺术系表 演专业的报考人数 10 年来连创新高,为此,报名刚结束,某考生就想知道 这次报考该专业的人数。已知该专业考生的考号是从 0001,0002,…这样 从 小到大顺序依次排列的,他随机了解了 50 个考生的考号,经计算,这 50 个考号的和是 25025,估计 2010 年报考这所大学艺术表演专业的考生大约 为_________.
?x ? y ?1? 0 ? 14.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ?ax ? y ? 1 ? 0 ?

( a 为常数)所表示的平面

区域内的面 积等于 2 ,则 a

?

________.

1-x 1 1 1 1 15.已知函数 f (x)=-x+log2 ,则 f (-2007)+f (-2008)+f (2007)+f (2008) 1+x 的值为________. b a 16.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若a+b=6cosC,则 tanC tanC tanA+ tanB的值是 .

第 3 页 共 3 页

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) . 17.(本小题满分 12 分) 设 ?a n ? 是首项为 1 的正项数列,且 ( n ? 1 ) a n2 ? 1 ? na n2 ? a n ? 1 ? a n ? 0 ( n ? N * ) 。 (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?
? an ? ? ? n ? 1?

的前 n 和 S n .

18.(本小题满分 12 分) 近年空气质量逐步恶化, 雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.2012 年冬季,北京市仅有 5 天没有出现雾霾天气!一时间,大气污染成为人们的又一 大恐慌。大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否 与性别有关, 在某医院随机的对入院 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表: 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 5 女 10 合计 50 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为 .
5 3

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 9 9 .5 % 的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ)已知在患心肺疾病的 10 位女性中,有 3 位又患胃病.现在从患心肺疾 病的 10 位女性中, 选出 3 名进行其他方面的排查, 记选出患胃病的女性人数为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望;大气污染会引起各种疾病,试谈谈日常生活中如何减 少大气污染. 下面的临界值表供参考:
P(K
2

? k)

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

第 4 页 共 4 页

19. (本小题满分 12 分) 如图, 平行四边形 A B C D 中,A B 折起,使二面角 A ? 影为 O . (Ⅱ)当 A D
BD ? C

? BD

,A B

? 2

,B D

?

2

, BD 将?BCD 沿

是大小为锐角 ? 的二面角,设 C 在平面 A B D 上的射
? OAD

(Ⅰ)当 ? 为何值时,三棱锥 C
? BC

的体积最大?最大值为多少?
C

时,求 ? 的大小.

D C O A B A B D

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线的顶点是坐标原点 O ,焦点 F 在 x 轴正半轴上,过 F 的直线 l 与 ??? ??? ? ? 抛物线交于 A 、 B 两点,且满足 O A ? O B ? ? 3 (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)在 x 轴负半轴上一点 M ( m , 0 ) ,使得 ? A M B 是锐角,求 m 的取值范围; (Ⅲ)若 P 在抛物线准线上运动,其纵坐标的取值范围是 [?2, 2] ,且
??? ??? ? ? PA ? PB ? 16

,点 Q 是以 A B 为直径的圆与准线的一个公共点,求点 Q 的纵坐标

的取值范围

21. (本小题满分 12 分) 已知函数
? ? x ? a x ? b x ,?? ( x ? 1) f (x) ? ? ? c ln x ,?? ( x ≥ 1)
3 2

的图像在点 ( ? 2 ,

f ( ? 2 ))

处的切线方程

为1 6 x ? y ? 2 0 ? 0 (Ⅰ)求实数 a 、 b 的值; (Ⅱ)当 c
? e

时,讨论关于 x 的方程

f ( x ) ? kx (k ? R )

的实根个数

第 5 页 共 5 页

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第 1 题计分。 .... 作答时请写清题号。
A

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在△ A B C 中, C D 是 ? A C B 的平分线,△ 外接圆交 B C 于点 E , A B ? 2 A C . (Ⅰ)求证: B E ? 2 A D ; (Ⅱ)当 A C ? 1 , E C ? 2 时,求 A D 的长.

ACD


B

D E

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 x O y 中, 曲线 C 1 的参数方程为 ?
? x ? cos ? ? y ? 1 ? s in ?

( ? 为参数) 以 O .

为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线 C 2 的极坐标方程为 ? (c o s ? ? sin ? ) ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求曲线 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C 1 上的点到曲线 C 2 的最远距离.

22.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式: 2 x ? m ? 1 的整数解有且仅有一个值为 2. (Ⅰ)求整数 m 的值; (Ⅱ)在(I)的条件下,解不等式:
x ?1 ? x ? 3 ? m



第 6 页 共 6 页

2013 年高考命题预测卷(1 年仅此 1 卷)
理科数学参考答案
一.选择题: 题号 答案 1 C 详解:
?1 3 ?? 1 3 ? i?? ? i? ? ? 2 ?? 2 2 ? ? 2 1 2 ? 3 2 i

2 B

3 B

4 A

5 A

6 D

7 D

8 B

9 C

10 A

11 C

12 D

1、 1 ? ? ?

1 2

?

3 2

i ?

? ? ? 1 2

1 ? 3 2 i

? ?

1

?



2、设 x 0 ? 3 n ? 1, y 0 ? 3 k ? 1 , n , k ? Z ,则 x 0 y 0 ? ? 3 n ? 1 ? ? 3 k ? 1 ? ? 3 ? 3 n k ? n ? k ? ? 1 , 故 x0 y0 ? N . 3、因为向量 a?b 与向量 a?b 的夹角为
2 2

?
2

, 所 以 (a ? b) ? (a ? b) , 即

( a ? b ) ? ( a ? b ) ? 0 ,所以 a

? b

? 0 ,即 a ? b

4、 这个几何体是一个底面半径为 1 ,高为 2 的圆锥和一个半径为 1 的半球组 成的组合体, 故其体积为 ? ? 1 ? 2 ?
2

1

1 2

?

4 3

? ?1 ?
3

4? 3

. 第二次为 x ? 2 ( 2 x ? 1 ) ? 1 ? 4 x ? 3 ,n=3 输出 8 x ? 7 ,又 8 x ? 7 ? 55 ,解得 x ? 6 ,
? 1 4

3

5、第一次运行: x ? 2 x ? 1 ,n=2

第三次为 x ? 2 ( 4 x ? 3 ) ? 1 ? 8 x ? 7 ,n=4 所以输出的 x 不小于 5 4 的概率为 6、函数等价为 ( x ? 5 ) ? y
2 2

8? 6 8

?

2 8

? 9 , y ? 0 ,表示为圆心在 ( 5 , 0 ) 半径为 3 的上半圆,圆上点到
2

原点的最短距离为 2, 最大距离为 8, 若存在三点成等比数列, 则最大的公比 q 应有 8 ? 2 q , 即q
2

? 4, q ? 2 , 最小的公比应满足 2 ? 8 q ,所以 q
2

2

?
1

1 4

,q ?

1 2

, 公比 q 满足

1 2

? q ? 2

7、

s in ? ? c o s ? 2 c o s ? ? s in 2 ?
2

?

s in ? ? c o s ? 2 c o s ? (c o s ? ? s in ? )

?

2 cos ?

。 由 2 s i?n ?

c o? s ?

得 0

ta n ? ? ?

1 2

得 cos ? ? ?

2 5

,故

1 2 cos ?

? ?

5 4

2 8、 ? (1 ? 3 x ) dx ? ( x ? x ) 0 ? ? 6 ,所以 a ? ? 6 ? 4 ? ? 2 ,二项式为 ( x ?
2 3 2 0

2

2 x

) ,展开式
6

第 7 页 共 7 页

的 通 项 为 T k ?1 ? C 6 ( x )
k 2
3 3 3

6?k

(?

2 x

)

k

? C6 x
k
3

12 ? 3 k

(?2)

k

, 令 12 ? 3 k ? 3 , 即 k ? 3 , 所 以

T 4 ? C 6 x ( ? 2 ) ,所以 x 的系数为 ? 2 C 6 ? ? 160 ,令 x ? 1 ,得所有项的系数和为 1 ,
3
3

所以不含 x 项的系数和为 1 ? ( ? 160 ) ? 161
3

9、因为椭圆的离心率为
2

3 3

,所以有

c a

?

3 3

,即 c ?

3 3

a ,c

2

?

1 3

a

2

? a

2

? b ,所以
2

b

?

2 3

a
2

2

。 当 x ? b 时 ,交点 的纵 坐标为 y ? kb , 即 交点为 ( b , kb ) , 代 入椭圆 方程
2

b a

2 2

?

k b b
2

? 1 ,即
1 2

2 3

? k

2

? 1, k

2

?

1 3

,所以 k ? ?
?
6

3 3

10、因为 sin x 0 ?
f '(x) ? 1 2

,x0 ? [?

?
2

,

?
2

] ,所以 x 0 ?
1 2

。函数的导数为 f ' ( x ) ?
?
2
1 2

1 2

? sin x ,由

? sin x ? 0 ,解得 sin x ? 1 2

,又因为 x ? [ ?

,

?
2

] ,所以 ?

?
2

? x ?

?
6

,此时函
] ,所以

数单调递增,由 f '( x) ?
?
6 ? x ?

? sin x ? 0 , 解 得 s in x ?

,又因为 x ? [?

?
2

,

?
2

?
2

,此时函数单调递减,所以 p 1 ; p 3 正确 x x ≥ (x≥0),则 1+λ1x≤1+λ2x, 1+λ1x 1+λ2x

11、由图可知,λ 显然不为 0.当 λ 分别取 λ1、λ2 时,
x

因为 λ1≠λ2,所以 λ1<λ2.又1+λ x≥0(x≥0),则 1+λ1x>0,即 λ1>0,故 0<λ1<λ2
1

12、 设在第一次投掷后逆时针方向行走 i1 个单位; 在第二次投掷后逆时针方向行走 i 2 个单位; 在第三次投掷后逆时针方向行走 i 3 个单位。 则当正方形边长为 2 个单位长度时; 当循环一圈时,有 i1 + i 2 + i 3 =8,所包含情况( i1 , i 2 , i 3 )有(1,1,6)(1,2,5)(1,3,4)(2,2,4) 、 、 、 、 (2,3,3)5 种,包含事件 3+6+3+3+3=18 种; 当循环两圈时,有 i1 + i 2 + i 3 =16,所包含情况( i1 , i 2 , i 3 )有(4,6,6)(5,6,6)2 种,包含事件 、 3+3=6 种;共 24 种。 则当正方形边长为 3 个单位长度时; 只可能循环一圈, i1 + i 2 + i 3 =12, 有 所包含情况 i1 , i 2 , i 3 ) (1,5,6) ( 有 、 (2,4,6) 、 (2,5,5) 、 (3,3,6) 、 (3,4,5)(4,4,4)6 种,包含事件 6+6+3+3+6+1;共 25 种 、 二.填空题:13.1000 14.3 15.0 16.4 详解: 14、当 a ? 0 时,不等式组所表示的平面区域,如图中的 M ,一个无限的角形区域,面积 第 8 页 共 8 页

不可能为 2 ,故只能 a ? 0 ,此时不等式组所表示的平面区域如图中的 N ,区域为三角形区 域,若这个三角形的面积为 2 ,则 A B ? 4 ,即点 B 的坐标为 (1, 4 ) 代入 y ? a x ? 1 得 a ? 3 。

1-x 1+x 15、由 >0 得函数的定义域是(-1,1),又 f(-x)+f(x)=log2 1+x 1-x 1-x +log2 =log21=0, 1+x 1 1 1 1 ∴f(-x)=-f(x)成立,∴函数 f(x)是奇函数,∴f(- )+f( )=0,f(- )+f( )= 2007 2007 2008 2008 0,∴f(- 1 1 1 1 )+f(- )+f( )+f( )=0 2007 2008 2007 2008

b a 1 16、解法一:取 a=b=1,由 + =6cosC 得 cosC= ,由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC a b 3 4 2 3 2 2 = , ∴c= .在如图所示的等腰三角形 ABC 中, 可得 tanA=tanB= 2, sinC= 又 , tanC 3 3 3 tanC tanC =2 2,∴ + =4. tanA tanB a2+b2 a2+b2-c2 b a 3 解法二:由 + =6cosC,得 =6· ,即 a2+b2= c2, a b ab 2ab 2 2 2 cosA cosB? tanC tanC sin C 2c ∴ + =tanC? sinA + sinB ?= = =4. ? tanA tanB cosCsinAsinB a2+b2-c2 三.解答题:
2 17.解:解: (Ⅰ)解法一:由 ( n ? 1 ) a n ? 1 ? na 2 n

? a n ? 1 ? a n ? 0 得,

( n ? 1 )(

a n ?1 an

)

2

?

a n ?1 an

? n ? 0 ? an ? 0
a2 a1



a n ?1 an

?

n n ?1
? 1 n

…………4 分



an?

an a n ?1

?

a n ?1 a n?2
2 n

??

?a1

= ( n - 1 ) ? ( n - 2 ) ? ? ( 1 )a 1
n n -1 2

……………6 分

2 解法二:由 ( n ? 1 ) a n ? 1 ? na

? a n ?1 ? a n ? 0
n

得, ………………2 分 …………4 分

[( n ? 1 ) a n ? 1 ? na

] ? ( a n ?1 ? a n ) ? 0

? an ? 0 ,

∴ ( n ? 1 ) a n ? 1 ? na

n



na

n

? ( n ? 1) a n ?1 ? ? ? 1 ? a 1 ? 1

∴an ?

1 n

………………6 分

第 9 页 共 9 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

an n ?1

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n

?

1 n ?1

………………8 分

? Sn ?

a1 2

?

a2 3

?? ?

an n ?1

? (1 ?

1 2

)? (

1 2

?

1 3

)?? ? (

1 n

?

1 n ?1

) ?

n n ?1

18.解: (Ⅰ)列联表补充如下 患心肺疾病 男 女 合计 (Ⅱ)因为 K
2

………12 分 ………2 分 不患心肺疾病 5 15 20
2

合计 25 25 50

20 10 30
? n(ad ? bc) ( a ? b )(c ? d )( a ? c )(b ? d )

,所以 K

2

? 8 .3 3 3

又 P ( k ? 7 .7 8 9 ) ? 0 .0 0 5 ? 0 .5 % .
2

故有 9 9 .5 % 的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的 (Ⅲ)依题意 ? 的所有可能取值:0,1,2,3
P (? ? 0 ) ? C7
3 3

………4 分

?
1

35 120 ?

? 21 120

7 24 ?


7 40

P ( ? ? 1) ?

C3 ?C7
1

2

C 10
2

C 10

3

? 1

63 120

?

21 40



P (? ? 2 ) ?

C3 ?C7 C 10
3



P (? ? 3 ) ?

C3
3

3

?

; ………7 分

C 10

120

分布列如下:
?
P
24 40 40

………8 分 1
21

0
7

2
7

3
1 120

则 E? ? 0 ?

7 24

? 1?

21 40

? 2?

7 40

? 3?
9 10

1 120

?

9 10

? 的数学期望及方差分别为 E ? ?

………10 分

低碳生活,节能减排,控制污染源,控制排放. (合理得分) ………12 分 19.解: (Ⅰ)由题知 O D 为 C D 在平面 A B D 上的射影, ∵ B D ? C D , C O ? 平面 A B D ,∴ B D ? O D , ∴?ODC ? ? , …………………2 分
VC ?
A O D

?

1 3

S?
2 6

A O D

? O C ?

1 3

?

1 ? 2
2 6

O ?D

B D ?

O C

? 2 3

?OD ?OC ? 2 3

? C D ? s in ? ? C D ? c o s ?

?

?s i n ? ≤ 2



…………………5 分

当且仅当 s in 2 ? ? 1 ,即 ? ? 4 5 ? 时取等号, ∴当 ? ? 4 5 ? 时,三棱锥 O ? A C D 的体积最大,最大值为
2 3

…………6 分

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(Ⅱ)过 O 作 O E ? A B 于 E ,则 O E B D 为矩形,以 O 为原 点, O E , O D , O C 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 O ( 0 , 0 , 0 ), D ( 0 , 2 cos ? , 0 ), A ( 2 , 2 cos ? ? 2 , 0 ) , O
B( 2 , 2 cos ? , 0 ), C ( 0 , 0 , 2 s i n? ) , ………9 分

z C

D y

于是 AD ? ( ? 2 , 2 , 0 ) , BC ? ( ? 2 , ? 2 cos ? , 2 sin ? ) , ……………10 分 由 A D ? B C ,得 AD ? BC ? 0 , ∴ ( ? 2 ) ? ( ? 2 ) ? 2 ? ( ? 2 cos ? ) ? 0 ? 2 sin ? ? 0 , 得 cos ? ?
1 2

A x

E

B

,又 ? 为锐角,∴ ? ? 6 0 ?
2

………………………12 分
p 2

20.解: (Ⅰ)设抛物线方程 y ? 2 p x ( p ? 0 ) ,直线 l 方程 x ? ty ? 联立消去 x 得 y ? 2 p ( ty ?
2



p 2

) ,即 y ? 2 p ty ? p
2

2

? 0.

2 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 y 1 ? y 2 ? 2 p t , y 1 y 2 ? ? p ,进而

x 1 x 2 ? ( ty 1 ? ? t ? (? p ) ?
2 2

p 2

) ( ty 2 ? pt

p 2

) ? t y1 y 2 ?
2

pt 2

( y1 ? y 2 ) ?

p 4

2

? 2 pt ?

p

2

?

p

2

2 4 4 2 ??? ??? ? ? p 3 2 2 ? p ? ? p ? ? 3 ,即 p ? 2 , 所以 O A ? O B ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 4 4
???? ???? (Ⅱ)因为 ? A M B 是锐角,所以 M A ? M B ? 0 恒成立,即 ( x 1 ? m ) ( x 2 ? m ) ? y 1 y 2 ? 0 ,
x1 x 2 ? m ( x1 ? x 2 ) ? m
2

所求抛物线方程为 y ? 4 x .
2

………… 4 分

? y1 y 2 ? 0 .

2 由(Ⅰ)得 x 1 x 2 ? 1 , y 1 y 2 ? ? 4 , y 1 ? y 2 ? 4 t , x 1 ? x 2 ? t ( y 1 ? y 2 ) ? p ? 4 t ? 2 .

所以 1 ? m ( 4 t ? 2 ) ? m ? 4 ? 0 ,而 m ? 0 ,所以 t ?
2 2

2

m

2

? 2m ? 3 4m

对于 ? t ? R 恒

成立,所以

m

2

? 2m ? 3 4m

?m ? 2m ? 3 ? 0 ? 0 .又 m ? 0 ,所以 ? , ?m ? 0
2

解得 m 的取值范围 m ? ? 1 . (Ⅲ)由条件可设 P 的坐标为 ( ? 1, a ) , ? 2 ≤ a ≤ 2 ,则

…………8 分

第 11 页 共 11 页

??? ??? ? ? P A ? P B ? ( x 1 ? 1)( x 2 ? 1) ? ( y 1? a )( y ? a ) 2 ? x 1 x 2 ? ( x 1? x )2? 1 ? y y 1 ? 2a ( y ? 1 ) ? 2a y ? 1 ? 4t ? 2 ? 1 ? 4 ? 4 at ? a
2 2 2

? 4t ? 4at ? a
2

2

? (2t ? a ) ? 16,
2

所以 2 t ? 4 ? a 或 2 t ? 4 ? a ,而 ? 2 ≤ a ≤ 2 ,所以 2 ≤ 2 t ≤ 6 或 ? 6 ≤ 2 t ≤ ? 2 . 根据抛物线定义可知, A B 为直径的圆与抛物线的准线相切, 以 所以点 Q 的纵坐标为
y1 ? y 2 2 ? 4t 2 ? 2 t ,从而点 Q 的纵坐标的取值范围是 [ ? 6 , ? 2 ] ? [ 2 , 6 ] ……… 12 分

2 21.解: (Ⅰ)当 x ? 1 时, f ? ( x ) ? ? 3 x ? 2 a x ? b .

因为函数图象在点 ( ? 2 , f ( ? 2 )) 处的切线方程为 1 6 x ? y ? 2 0 ? 0 . 所以切点坐标为 ( ? 2 ,1 2 ) ,并且 ? 解得 a ? 1, b ? 0 . (Ⅱ)方程 f ( x ) ? k x ,即 k x ? ?
? ? x ? x ,?? ( x ? 1)
3 2

? f (?2) ? 8 ? 4 a ? 2b ? 12, ? f ?( ? 2 ) ? ? 1 2 ? 4 a ? b ? ? 1 6 ,

………… 3 分
? e ln x ,?? ( x ≥ 1)

,可知 0 一定是方程的根………… 4 分
2

? ? x ? x ,?? ( x ? 1 且 x ? 0 ) ? 所以仅就 x ? 0 时进行研究:方程等价于 k ? ? e ln x . ,?? ( x ≥ 1) ? ? x
? ? x ? x ,?? ( x ? 1 且 x ? 0 ) ? 构造函数 k ( x ) ? ? e ln x ,?? ( x ≥ 1) ? ? x
2
2

………… 6 分

对于 x ? 1 且 x ? 0 部分,函数 k ( x ) ? ? x ? x 的图像是开口向下的抛物线的一部分 当x ?
1 2

时取得最大值

1 4

,其值域是 ( ? ? , 0 ) ? ( 0 , ] ;
4

1

对于 x ≥ 1 部分,函数 k ( x ) ?

e ln x x

,令 k ? ( x ) ?

e ? e ln x x
2

? 0 ,得 x ? e ,

所以函数 k ( x ) 在 (1, e ) 上单调递增,在 ( e , ? ? ) 上单调递减,所以 k ( x ) 在 x ? e 时取 得最大值 1,其值域是 [ 0 , 1] , k (1) ? 0 ,并且当 x 无限增大时,其图像在 x 轴上方 向右无限接近 x 轴但永远也达不到 x 轴. ………… 8 分 因此可画出函数 k ( x ) 的图像的示意图如下:
k(x)

1
k

1/4
O 1/2 1
e x

可得: ①当 k ? 1 时,方程 f ( x ) ? k x 只有唯一实根 0; ②当 k ? 1 时,方程 f ( x ) ? k x 有两个实根 0 和 e ;

第 12 页 共 12 页

③当

1 4

? k ? 1 时,方程 f ( x ) ? k x 有三个实根; 1 4

④当 k ?

时,方程 f ( x ) ? k x 有四个实根;
1 4

⑤当 0 ? k ?

时,方程 f ( x ) ? k x 有五个实根;

⑥当 k ? 0 时,方程 f ( x ) ? k x 有两个实根 0 和 1; ⑦当 k ? 0 时,方程 f ( x ) ? k x 有两个实根
BE BA DE CA

…………12 分 又

22.解: (Ⅰ)连结 D E ,因为 A C E D 是圆的内接四边形,所以 ? B D E ? ? B C A ,
? D B E ? ? C B A ,所以△ B D E ∽△ B C A ,即有
?

,而 A B ? 2 A C ,

所以 B E ? 2 D E .又 C D 是 ? A C B 的平分线,所以 A D ? D E ,从而 B E ? 2 A D . …………5 分 (Ⅱ)由条件得 A B ? 2 A C ? 2 ,设 A D ? t ,根据割线定理得 B D ? B A ? B E ? B C ,即 ( A B ? A D ) ? B A ? 2 A D ? ( 2 A D ? C E ) 所以 ( 2 ? t ) ? 2 ? 2 t ( 2 t ? 2 ) ,即 2 t ? 3 t ? 2 ? 0 ,解得 t ?
2

1 2

,即 A D ?

1 2

…………10 分 23.解: (Ⅰ)将 ?
? x ? cos ? ? y ? 1 ? s in ?

( ? 为参数)化为普通方程得 x 2 ? ? y ? 1 ? ? 1 ,
2

将 ? ? co s ? ? sin ? ? ? 1 ? 0 化为直角坐标方程得 x ? y ? 1 ? 0 .

…………5 分

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知曲线 C 1 表示圆心为 ( 0 ,1) , 半径为 1 的圆, 曲线 C 2 表示直线 x ? y ? 1 ? 0 , 并且过圆心 ( 0 ,1) ,所以曲线 C 1 上的点到曲线 C 2 上点的最远距离等于圆的半径 1. …………10 分 24.解: (I)由 | 2 x ? m |? 1 ,得
?

m ?1 2

? x ?

m ?1 2

不等式的整数解为 2,
m ?1 2 ? 2 ? m ?1 2

?

? 3 ? m ? 5

又不等式仅有一个整数解 2,? m ? 4 (II)即解不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? 4 ,. 当 1 ? x ? 3 时,不等式为 x ? 1 ? 3 ? x ? 4 ? x ? ? ,不等式解为 ? 当 x ? 3 时, x ? 1 ? x ? 3 ? 4 ? x ? 4 ,不等式解集为 { x | x ? 4 } 综上,不等式解为 ? ? ? , 0 ? ? ? 4 , ? ? ?

4分

当 x ? 1 时,不等式 ? 1 ? x ? 3 ? x ? 4 ? x ? 0 ,不等式解集为 { x | x ? 0 }

10 分

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