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武安市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

武安市第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案 班级__________ 一、选择题
1.
2

座号_____

姓名__________
) )

分数__________

+(a﹣4)0 有意义,则 a 的取值范围是( C.a≠2 D.a≠4
2 2 2

A.a≥2 B.2≤a<4 或 a>4 A.两个点 B.四个点

2. 方程(x ﹣4) +(y ﹣4) =0 表示的图形是( C.两条直线 D.四条直线

3. 已知函数 f(x)= x3+(1﹣b)x2﹣a(b﹣3)x+b﹣2 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是﹣3,则不 等式组 A. B.
2 2 所确定的平面区域在 x +y =4 内的面积为(



C.π

D.2π )

4. 线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 与平面 α 的位置关系是( A.AB?α B.AB?α D.以上都不对
2

C.由线段 AB 的长短而定

5. 方程 x ? 1 ? 1 ? ? y ? 1? 表示的曲线是( A.一个圆 A. a ? 0 6. f ? x ? ? 2 ? a

) C.两个圆 ) D.以上都不对 ) D.半圆

?

2

?x?a

B. 两个半圆 在区间 ?0,1? 上恒正,则的取值范围为( B. 0 ? a ?

C. 0 ? a ? 2 2 7. 已知集合 A ? {?2, ?1,0,1, 2,3} , B ? { y | y ?| x | ?3, x ? A} ,则 A B ? ( A. {?2, ?1, 0} B. {?1, 0,1, 2} C. {?2, ?1, 0} 【命题意图】本题考查集合的交集运算,意在考查计算能力. 8. 若变量 x,y 满足: A.﹣2<t<﹣ B.﹣2<t≤﹣

D. {?1,, 0,1}

,且满足(t+1)x+(t+2)y+t=0,则参数 t 的取值范围为( C.﹣2≤t≤﹣ D.﹣2≤t<﹣ )



9. 函数 f ( x) = ln x + A. (0,??)

1 2 x + ax 存在与直线 3x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( 2 B. (??,2) C. (2,??) D. (??,1]

【命题意图】 本题考查导数的几何意义、 基本不等式等基础知识, 意在考查转化与化归的思想和基本运算能力.

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10.给出下列各函数值:①sin100°;②cos(﹣100°);③tan(﹣100°);④ 负的是( A.① 11.已知 ) B.② C.③ D.④ ) ,则方程 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是(

.其中符号为

?2 x ( x ? 0) f ( x) ? ? ?| log 2 x | ( x ? 0)
B.4 个 B. D.

A .3 个 12.设命题 p: A. C.

C.5 个 ,则 p 为(

D.6 个 )

二、填空题
13.已知定义域为(0,+∞)的函数 f(x)满足:(1)对任意 x∈(0,+∞),恒有 f(2x)=2f(x)成立; (2)当 x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.给出如下结论: ①对任意 m∈Z,有 f(2m)=0;②函数 f(x)的值域为[0,+∞);③存在 n∈Z,使得 f(2n+1)=9;④“函 数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Z,使得(a,b)?(2 ,2 结论的序号是 . .
k k+1

)”;其中所有正确

14.已知数列{an}满足 an+1=e+an(n∈N*,e=2.71828)且 a3=4e,则 a2015=

15.一个总体分为 A,B,C 三层,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 15 的样本,若 B 层中每个个体被 抽到的概率都为 16.函数 y=1﹣ ,则总体的个数为 .

(x∈R)的最大值与最小值的和为 2 .

17.如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由

块木块堆成.

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18.调查某公司的四名推销员,其工作年限与年推销金额如表 1 2 3 4 推销员编号 工作年限 x/(年) 3 5 3 = x+ 10 7 14 12 年推销金额 y/(万元)2 由表中数据算出线性回归方程为 推销金额为 万元.

.若该公司第五名推销员的工作年限为 8 年,则估计他(她)的年

三、解答题
19.设圆 C 满足三个条件①过原点;②圆心在 y=x 上;③截 y 轴所得的弦长为 4,求圆 C 的方程.

20.(本小题满分 13 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是梯形, AB / / DC ,?ABD ? 为 PA 的中点. (Ⅰ)在棱 PB 上确定一点 E ,使得 CE / / 平面 PAD ; (Ⅱ)若 PA ? PB ? PD ? 6 ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.

?
2

, AD ? 2 2 , AB ? 2 DC ? 2 , F

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P

F D

C

A

B

21. CE=1, CE 为边向 Rt△ BEC 外作正△ EBA ∠EBC=30°, ∠BEC=90°, 如图, 在 Rt△ ABC 中, 现在分别以 BE, 和正△ CED. (Ⅰ)求线段 AD 的长; (Ⅱ)比较∠ADC 和∠ABC 的大小.

22. [50, 60][60, 70][70, 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示, 其中成绩分组区间是: 80][80,90][90,100]. (1)求图中 a 的值;

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(2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分.

23. 在直接坐标系

中, 直线 的方程为

, 曲线 的参数方程为

( 为参数) 。

(1)已知在极坐标(与直角坐标系

取相同的长度单位,且以原点 为极点,以 轴正半轴为

极轴)中,点 的极坐标为(4, ),判断点 与直线 的位置关系; (2)设点 是曲线 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值。

24.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线 l 的极坐
2 标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 2 p cos? ( p ? 0) .

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2 t ,求直线 l 的参数方程; 2 (2)已知直线 l 与曲线 C 交于 P, Q ,设 M (?2, ?4) ,且 | PQ |2 ?| MP | ? | MQ | ,求实数 p 的值.
(1)设 t 为参数,若 x ? ?2 ?

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武安市第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵ ∴ , +(a﹣4)0 有意义,

解得 2≤a<4 或 a>4. 故选:B. 2. 【答案】B
2 2 2 2 【解析】解:方程(x ﹣4) +(y ﹣4) =0

则 x ﹣4=0 并且 y ﹣4=0, 即 解得: , , , , ,

2

2

得到 4 个点. 故选:B. 【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件,方程的应用,考查计算能力. 3. 【答案】 B 【解析】解:因为函数 f(x)的图象过原点,所以 f(0)=0,即 b=2. 则 f(x)= x3﹣x2+ax,

2 函数的导数 f′(x)=x ﹣2x+a,

因为原点处的切线斜率是﹣3, 即 f′(0)=﹣3, 所以 f′(0)=a=﹣3, 故 a=﹣3,b=2, 所以不等式组 则不等式组 如图阴影部分表示, 所以圆内的阴影部分扇形即为所求. 为
2 2 确定的平面区域在圆 x +y =4 内的面积,

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∵kOB=﹣

,kOA=



∴tan∠BOA=

=1, , ,扇形的面积是圆的面积的八分之一, ×4×π = ,

∴∠BOA=

∴扇形的圆心角为

2 2 ∴圆 x +y =4 在区域 D 内的面积为

故选:B

【点评】本题主要考查导数的应用,以及线性规划的应用,根据条件求出参数 a,b 的是值,然后借助不等式 区域求解面积是解决本题的关键. 4. 【答案】A 【解析】解:∵线段 AB 在平面 α 内, ∴直线 AB 上所有的点都在平面 α 内, ∴直线 AB 与平面 α 的位置关系: 直线在平面 α 内,用符号表示为:AB?α 故选 A. 【点评】 本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一, 主要根据定义进行判断, 考查了空间想象能力. 公 理一:如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上. 5. 【答案】A 【解析】 试题分析:由方程 x ? 1 ? 1 ? ? y ? 1? ,两边平方得 x ? 1 ? ( 1 ? ? y ? 1? ) ,即 ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 1 ,所
2 2 2 2

2

2

以方程表示的轨迹为一个圆,故选 A. 考点:曲线的方程. 6. 【答案】C 【解析】
2 试题分析:由题意得,根据一次函数的单调性可知,函数 f ? x ? ? 2 ? a x ? a 在区间 ?0,1? 上恒正,则

?

?

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?a ? 0 ? f (0) ? 0 ,即 ? ,解得 0 ? a ? 2 ,故选 C. ? 2 ? f (1) ? 0 ?2 ? a ? a ? 0
考点:函数的单调性的应用. 7. 【答案】C 【解析】当 x ?{?2, ?1, 0,1, 2,3} 时, y ?| x | ?3 ?{?3, ?2, ?1,0} ,所以 A 8. 【答案】C 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分). 由(t+1)x+(t+2)y+t=0 得 t(x+y+1)+x+2y=0, 由 ,得 ,即(t+1)x+(t+2)y+t=0 过定点 M(﹣2,1),

B ? {?2, ?1, 0} ,故选 C.

则由图象知 A,B 两点在直线两侧和在直线上即可, 即[2(t+2)+t][﹣2(t+1)+3(t+2)+t]≤0, 即(3t+4)(2t+4)≤0, 解得﹣2≤t≤﹣ , 即实数 t 的取值范围为是[﹣2,﹣ ], 故选:C.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强,属于中档题. 9. 【答案】D 【解析】因为 f ?( x) ? 因为 x +

1 1 ? x ? a ,直线的 3x ? y ? 0 的斜率为 3 ,由题意知方程 ? x ? a ? 3 ( x > 0 )有解, x x

1 ? 2 ,所以 a ? 1 ,故选 D. x

10.【答案】B

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【解析】解::①sin100°>0,②cos(﹣100°)=cos100°<0,③tan(﹣100°)=﹣tan100>0, ④∵sin >0,cosπ =﹣1,tan <0,



>0,

其中符号为负的是②, 故选:B. 【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断,判断角所在的象限是解决本题的关键,比较基础.

11.【答案】C 【解析】由 f [ f ( x)] ? 2 ,设 f(A)=2,则 f(x)=A,则 log2 x ? 2 ,则 A=4 或 A= 数型结合,当 A= 12.【答案】A 【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题, 故答案为:A p 为: 。

1 ,作出 f(x)的图像,由 4

1 时 3 个根,A=4 时有两个交点,所以 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是 5 个。 4

二、填空题
13.【答案】 ①②④ . 【解析】解:∵x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x. ∴f(2)=0.f(1)= f(2)=0. ∵f(2x)=2f(x),
k k ∴f(2 x)=2 f(x).

①f(2m)=f(2?2m﹣1)=2f(2m﹣1)=…=2m﹣1f(2)=0,故正确; ②设 x∈(2,4]时,则 x∈(1,2],∴f(x)=2f( )=4﹣x≥0. 若 x∈(4,8]时,则 x∈(2,4],∴f(x)=2f( )=8﹣x≥0. …
m m+1 一般地当 x∈(2 ,2 ), m+1



∈(1,2],f(x)=2

﹣x≥0,

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从而 f(x)∈[0,+∞),故正确; ③由②知当 x∈(2m,2m+1),f(x)=2m+1﹣x≥0,
n n+1 n n n ∴f(2 +1)=2 ﹣2 ﹣1=2 ﹣1,假设存在 n 使 f(2 +1)=9, n n 即 2 ﹣1=9,∴2 =10,

∵n∈Z,
n ∴2 =10 不成立,故错误;

④由②知当 x∈(2k,2k+1)时,f(x)=2k+1﹣x 单调递减,为减函数, ∴若(a,b)?(2 ,2 故答案为:①②④. 14.【答案】 2016 . 【解析】解:由 an+1=e+an,得 an+1﹣an=e, ∴数列{an}是以 e 为公差的等差数列, 则 a1=a3﹣2e=4e﹣2e=2e, ∴a2015=a1+2014e=2e+2014e=2016e. 故答案为:2016e. 【点评】本题考查了数列递推式,考查了等差数列的通项公式,是基础题. 15.【答案】 300 . 【解析】解:根据分层抽样的特征,每个个体被抽到的概率都相等, 所以总体中的个体的个数为 15÷ 故答案为:300. 【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题,是基础题目. 16.【答案】2 【解析】解:设 f(x)=﹣ 即 f(x)的最大值与最小值之和为 0. 将函数 f(x)向上平移一个单位得到函数 y=1﹣ 的最大值与最小值的和为 2. 故答案为:2. 的图象,所以此时函数 y=1﹣ (x∈R) ,则 f(x)为奇函数,所以函数 f(x)的最大值与最小值互为相反数, =300.
k k+1

)”,则“函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”,故正确.

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【点评】 本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系, 奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决 本题的关键. 17.【答案】 4 【解析】解:由三视图可以看出此几何体由两排两列,前排有一个方块,后排左面一列有两个木块右面一列有 一个, 故后排有三个,故此几何体共有 4 个木块组成. 故答案为:4.

18.【答案】

. = (2+3+7+12)=6,

【解析】解:由条件可知 = (3+5+10+14)=8, 代入回归方程,可得 a=﹣ 当 x=8 时,y= , 万元. ,所以 = x﹣ ,

估计他的年推销金额为 故答案为: .

【点评】本题考查线性回归方程的意义,线性回归方程一定过样本中心点,本题解题的关键是正确求出样本中 心点,题目的运算量比较小,是一个基础题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:根据题意画出图形,如图所示:

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当圆心 C1 在第一象限时,过 C1 作 C1D 垂直于 x 轴,C1B 垂直于 y 轴,连接 AC1, 由 C1 在直线 y=x 上,得到 C1B=C1D,则四边形 OBC1D 为正方形, ∵与 y 轴截取的弦 OA=4,∴OB=C1D=OD=C1B=2,即圆心 C1(2,2), 在直角三角形 ABC1 中,根据勾股定理得:AC1=2 则圆 C1 方程为:(x﹣2) +(y﹣2) =8; 当圆心 C2 在第三象限时,过 C2 作 C2D 垂直于 x 轴,C2B 垂直于 y 轴,连接 AC2, 由 C2 在直线 y=x 上,得到 C2B=C2D,则四边形 OB′C2D′为正方形,∵与 y 轴截取的弦 OA′=4,∴OB′=C2D′, =OD′=C2B′=2,即圆心 C2(﹣2,﹣2), 在直角三角形 A′B′C2 中,根据勾股定理得:A′C2=2 则圆 C1 方程为:(x+2) +(y+2) =8,
2 2 2 2 ∴圆 C 的方程为:(x﹣2) +(y﹣2) =8 或(x+2) +(y+2) =8. 2 2 2 2





【点评】本题考查了角平分线定理,垂径定理,正方形的性质及直角三角形的性质,做题时注意分两种情况, 利用数形结合的思想,分别求出圆心坐标和半径,写出所有满足题意的圆的标准方程,是中档题.

20.【答案】(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)当 E 为 PB 的中点时, CE / / 平面 PAD . (1 分) 连结 EF 、 EC ,那么 EF / / AB , EF ? ∵ DC / / AB , DC ?

1 AB . 2

1 AB ,∴ EF / / DC , EF ? DC ,∴ EC / / FD . (3 分) 2 又∵ CE ? 平面 PAD , FD ? 平面 PAD ,∴ CE / / 平面 PAD . (5 分)
(Ⅱ)设 O 为 AD 的中点,连结 OP 、 OB ,∵ PA ? PD ,∴ OP ? AD , 在直角三角形 ABD 中, OB ?

1 AD ? OA , 又∵ PA ? PB ,∴ ?PAO ? ?PBO ,∴ ?POA ? ?POB ,∴ 2

OP ? OB ,
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∴ OP ? 平面 ABD . (10 分)

PO ? PA2 ? AO 2 ? ( 6)2 ? ( 2) 2 ? 2 , BD ? AD2 ? AB2 ? 2 1 1 1 2 ∴三棱锥 P ? BDF 的体积 VP ? BDF ? VP ? ABD ? ? ? 2 ? 2 ? . (13 分) 2 2 3 3 P

F

E D

C

O
A B

21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)在 Rt△BEC 中,CE=1,∠EBC=30°,∴BE= 在△ADE 中,AE=BE= 由余弦定理可得 AD= (Ⅱ)∵∠ADC=∠ADE+60°,∠ABC=∠EBC+60°, ∴问题转化为比较∠ADE 与∠EBC 的大小. 在△ADE 中,由正弦定理可得 ∴sin∠ADE= ∴∠ADE<30° ∴∠ADC<∠ABC. 【点评】本题考查余弦定理的运用,考查正弦定理,考查学生分析解决问题的能力,正确运用正弦、余弦定理 是关键. 22.【答案】 【解析】解:(1)依题意, 根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于 1 得, 10(2a+0.02+0.03+0.04)=1, 解得 a=0.005. ∴图中 a 的值 0.005. (2)这 100 名学生语文成绩的平均分为: < =sin30°, , ,DE=CE=1,∠AED=150°, = ; ,

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55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05 =73(分),

【点评】本题考查频率分布估计总体分布,解题的关键是理解频率分布直方图,熟练掌握频率分布直方图的性 质,且能根据所给的数据建立恰当的方程求解 23.【答案】(1)点 P 在直线 上 (2) 【解析】(1)把极坐标系下的点 所以点 P 在直线 上, (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 从而点 Q 到直线 的距离为 , 化为直角坐标,得 P(0,4)。 ,

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 的方程

, 24.【答案】 【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程 的几何意义的应用,意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力,以及方程思想、转化思想的应 用.

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