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阜城县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

阜城县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ) A. B. C.﹣6 D.6 ) ,(k 为常数) ,若 z=3x+y 的最大值为 8,则 k 的值为(

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 设集合 A ?

?? x, y ? | x, y,1 ? x ? y 是三角形的三边长 ? ,则 A 所表示的平面区域是(

A. A.? 可.

B.

C. )

D.

3. 已知集合 M={x|x2<1},N={x|x>0},则 M∩N=( B.{x|x>0} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}

4. 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=﹣1,其导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1,则下列结论中一 定错误的是( A. ) B. C. D.

  5. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为 ( )

A.

B.

C.

D. )

6. 下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是(

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A. y ? x

3

B. y ? ? x ? 1
2

C. y ?| x | ?1

D. y ? 2 )

?x

7. 设 a=sin145°,b=cos52°,c=tan47°,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.a<c<b

→ =2 → ,则| → |为( 8. 已知点 A(0,1),B(3,2),C(2,0),若AD DB CD A.1 B.4 3 D.2



C.5 3 9. 函数 f(x)=3x+x 的零点所在的一个区间是( A.(﹣3,﹣2) B.(﹣2,﹣1)



C.(﹣1,0) D.(0,1) =1(a>b>0)上的一点,且 ) =0,

10.若 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 tan∠PF1F2= A. ,则此椭圆的离心率为( B. C. D.

11.极坐标系中,点 P,Q 分别是曲线 C1:ρ=1 与曲线 C2:ρ=2 上任意两点,则|PQ|的最小值为( A.1 B. C. D.2 )   12.下列图象中,不能作为函数 y=f(x)的图象的是(



A.

B.

C.

D.

 

二、填空题

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13.复数 z=  

(i 虚数单位)在复平面上对应的点到原点的距离为      .

14.(x﹣ )6 的展开式的常数项是      (应用数字作答).   15.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)的统计资料如表: x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 根据上表数据可得 y 与 x 之间的线性回归方程 费用约为      万元.   16.函数 y=1﹣ (x∈R)的最大值与最小值的和为 2 . =0.7x+ ,据此模型估计,该机器使用年限为 14 年时的维修

17.设函数

,若用表示不超过实数 m 的最大整数,则函数 的值域为      .

18.定义:[x](x∈R)表示不超过 x 的最大整数.例如[1.5]=1,[﹣0.5]=﹣1.给出下列结论: ①函数 y=[sinx]是奇函数; ②函数 y=[sinx]是周期为 2π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点; ④函数 y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2,﹣1,0,1}. 其中正确的是      .(填上所有正确命题的编号)    

三、解答题
19.等差数列{an} 中,a1=1,前 n 项和 Sn 满足条件 (Ⅰ)求数列{an} 的通项公式和 Sn; (Ⅱ)记 bn=an2n﹣1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ,

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20.(本小题满分 10 分) 已知曲线 C 的极坐标方程为 2 ? sin ? ? ? cos ? ? 10 ,将曲线 C1 : ?

? x ? cos ? ,( ? 为参数),经过伸缩变 ? y ? sin ?

换?

? x? ? 3 x 后得到曲线 C2 . ? y? ? 2 y

(1)求曲线 C2 的参数方程; (2)若点 M 的在曲线 C2 上运动,试求出 M 到曲线 C 的距离的最小值.

21. (本小题满分 12 分) 已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) , 点 P 在以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 C 上, 且 PF1 、 F1 F2 、

PF2 构成等差数列.
(I)求椭圆 C 的方程; (II)设经过 F2 的直线 m 与曲线 C 交于 P、Q 两点,若 PQ = F1 P + F1Q ,求直线 m 的方程.
2 2 2

22.如图,在四棱锥 的中点, 为 的中点,且

中,等边

所在的平面与正方形

所在的平面互相垂直,



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(Ⅰ)求证: 平面 ; (Ⅱ)求二面角 的余弦值; (Ⅲ)在线段 上是否存在点 ,使线段 求出 的长,若不存在,请说明理由.



所在平面成

角.若存在,

23.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sinA﹣sinC(cosB+ (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2,且△ABC 的面积为 ,求 a,b 的值.

sinB)=0.

24.(本小题满分 12 分) 已知圆 M 与圆 N : ( x ? ) ? ( y ? ) ? r 关于直线 y ? x 对称,且点 D( ? , ) 在圆 M 上.
2 2 2

5 3

5 3

1 5 3 3

(1)判断圆 M 与圆 N 的位置关系; (2)设 P 为圆 M 上任意一点, A( ?1, ) , B (1, ) , P、A、B 三点不共线, PG 为 ?APB 的平分线,且交

5 3

5 3

AB 于 G . 求证: ?PBG 与 ?APG 的面积之比为定值.

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阜城县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】 B 【解析】解:画出 x,y 满足的可行域如下图:z=3x+y 的最大值为 8, 由 ( ,解得 y=0,x= , ,0)代入 2x+y+k=0,∴k=﹣ ,

故选 B.

【点评】如果约束条件中含有参数,可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪 两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组),代入另一条直线方程,消去 x,y 后,即可求出参数 的值.   2. 【答案】A 【解析】

考 点:二元一次不等式所表示的平面区域. 3. 【答案】D 【解析】解:由已知 M={x|﹣1<x<1},

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N={x|x>0},则 M∩N={x|0<x<1}, 故选 D. 【点评】此题是基础题.本题属于以不等式为依托,求集合的交集的基础题,   4. 【答案】C 【解析】解;∵f′(x)= f′(x)>k>1, ∴ 即 当 x= 即 f( 故 f( 所以 f( 故选:C.   5. 【答案】C 【解析】解 : 由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向,从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧 , 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项. 故选:C. 【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系,要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义.   6. 【答案】C 【解析】 试题分析:函数 y ? x 为奇函数,不合题意;函数 y ? ? x ? 1 是偶函数,但是在区间 ? 0, ?? ? 上单调递减,不
3 2

>k>1, >k>1, 时,f( ) )> )< , ,一定出错, )+1> ﹣1= ×k= ,

合题意;函数 y ? 2 为非奇非偶函数。故选 C。 考点:1.函数的单调性;2.函数的奇偶性。 7. 【答案】A

?x

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【解析】解:∵a=sin145°=sin35°,b=cos52°=sin38°,c=tan47°>tan45°=1, ∴y=sinx 在(0,90°)单调递增, ∴sin35°<sin38°<sin90°=1, ∴a<b<c 故选:A 【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用,正弦函数的单调性,难度不大,属于基础题.   8. 【答案】 【解析】解析:选 C.设 D 点的坐标为 D(x,y), → =2 → , ∵A(0,1),B(3,2),AD DB ∴(x,y-1)=2(3-x,2-y)=(6-2x,4-2y), =6-2x, ∴x 即 x=2,y=5, - = - 1 4 2 y y 3 5 → ∴CD=(2, )-(2,0)=(0,5), 3 3 5 5 → ∴|CD|= 02+( )2= ,故选 C. 3 3 9. 【答案】C

{

)

【解析】解:由函数 f(x)=3x+x 可知函数 f(x)在 R 上单调递增, 又 f(﹣1)= ﹣1<0,f(0)=30+0=1>0,

∴f(﹣1)f(0)<0, 可知:函数 f(x)的零点所在的区间是(﹣1,0). 故选:C. 【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性,属于基础题.   10.【答案】A 【解析】解:∵ ∴ ∵Rt△PF1F2 中, ∴ ∴ 又∵根据椭圆的定义,得 2a=PF1+PF2=3t = ,设 PF2=t,则 PF1=2t =2c, ,即△PF1F2 是 P 为直角顶点的直角三角形. ,

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∴此椭圆的离心率为 e= 故选 A

=

=

=

【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形,根据一个内角的正切值,求椭圆的离心率,着重考查 了椭圆的基本概念和简单几何性质,属于基础题.   11.【答案】A 【解析】解:极坐标系中,点 P,Q 分别是曲线 C1:ρ=1 与曲线 C2:ρ=2 上任意两点, 可知两条曲线是同心圆,如图,|PQ|的最小值为:1. 故选:A.

【点评】本题考查极坐标方程的应用,两点距离的求法,基本知识的考查.   12.【答案】B 【解析】解:根据函数的定义可知,对应定义域内的任意变量 x 只能有唯一的 y 与 x 对应,选项 B 中,当 x> 0 时,有两个不同的 y 和 x 对应,所以不满足 y 值的唯一性. 所以 B 不能作为函数图象. 故选 B. 【点评】本题主要考查函数图象的识别,利用函数的定义是解决本题的关键,注意函数的三个条件 : 非空数集 ,定义域内 x 的任意性,x 对应 y 值的唯一性.  

二、填空题
13.【答案】   . =﹣i(1+i)=1﹣i, .

【解析】解:复数 z= 复数 z=

(i 虚数单位)在复平面上对应的点(1,﹣1)到原点的距离为:

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故答案为:



【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,考查计算能力.   14.【答案】 ﹣160 

【解析】解:由于(x﹣ )6 展开式的通项公式为 Tr+1= 令 6﹣2r=0,求得 r=3,可得(x﹣ )6 展开式的常数项为﹣8 故答案为:﹣160.

?(﹣2)r?x6﹣2r, =﹣160,

【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的 系数,属于基础题.   15.【答案】 7.5 

【解析】解:∵由表格可知 =9, 根据样本中心点在线性回归直线 ∴4=0.7×9+ ∴ =﹣2.3, ,

=4, =0.7x+ 上,

∴这组数据的样本中心点是(9,4),

∴这组数据对应的线性回归方程是 ∵x=14, ∴ =7.5,

=0.7x﹣2.3,

故答案为:7.5 【点评】本题考查线性回归方程,考查样本中心点,做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程 的系数的过程省掉,只要求 a 的值,这样使得题目简化,注意运算不要出错.   16.【答案】2 【解析】解:设 f(x)=﹣ 即 f(x)的最大值与最小值之和为 0. 将函数 f(x)向上平移一个单位得到函数 y=1﹣ 的最大值与最小值的和为 2. 的图象,所以此时函数 y=1﹣ (x∈R) ,则 f(x)为奇函数,所以函数 f(x)的最大值与最小值互为相反数,

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故答案为:2. 【点评】 本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系, 奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决 本题的关键.   17.【答案】 {0,1} . 【解析】解: =[ =[ ﹣ ∵0< ﹣ ]+[ ]+[ <1, < , < < 时, < , < + <1, + < , + ] + ],

∴﹣ < ﹣ ①当 0< 0< ﹣ 故 y=0; ②当 ﹣ 故 y=1; ③ < ﹣ < ﹣ 故 y=﹣1+1=0; 故函数 = 时, =0,

+ =1,

<1 时, <0,1< + < ,

的值域为{0,1}.

故答案为:{0,1}. 【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用.   18.【答案】 ②③④ 

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【解析】解:①函数 y=[sinx]是非奇非偶函数; ②函数 y=[sinx]的周期与 y=sinx 的周期相同,故是周期为 2π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]的取值是﹣1,0,1,故 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点; ④函数数 y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1,0,1,故 y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2,﹣1,0,1}. 故答案为:②③④. 【点评】本题考查命题的真假判断,考查新定义,正确理解新定义是关键.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)设等差数列的公差为 d, 由 =4 得 =4,

所以 a2=3a1=3 且 d=a2﹣a1=2, 所以 an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1, = (Ⅱ)由 bn=an2n﹣1,得 bn=(2n﹣1)2n﹣1. 所以 Tn=1+321+522+…+(2n﹣1)2n﹣1 2Tn=2+322+523+…+(2n﹣3)2n﹣1+(2n﹣1)2n ①﹣②得:﹣Tn =1+22+222+…+22n﹣1 ﹣(2n﹣1) 2n =2(1+2+22+…+2n﹣1)﹣(2n﹣1)2n﹣1 =2× =2n(3﹣2n)﹣3. ∴Tn=(2n﹣3)2n+3. 【点评】 本题主要考查数列求和的错位相减, 错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列 .此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点.   20.【答案】(1) ? 【解析】 ﹣(2n﹣1)2n﹣1 ① ②

? x ? 3cos ? (为参数);(2) 5 . ? y ? 2sin ?

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试 题解析: (1)将曲线 C1 : ?

? x ? cos ? ( ? 为参数),化为 ? y ? sin ?

1 ? x ? x? ? ? x? ? 3 x ? 3 2 2 化为 ? , x ? y ? 1 ,由伸缩变换 ? 1 ? y? ? 2 y ? y ? y? ? ? 2
2 ? x? ? ? ? y ? ? ? 1 , ? 1 ?? ? 1 ?? 代入圆的方程 ? x ? ? ? y ? ? 1 ,得到 C2 : 9 4 ?3 ? ?2 ? ? x ? 3cos ? 可得参数方程为 ? ; ? y ? 2sin ?

2

2

考点:坐标系与参数方程. 21.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识,意在考 查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力.

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x2 y2 3 3 3 ? ? 1 得 y ? ? ,即 P(1 , ) , Q(1 , ? ) 4 3 2 2 2 25 2 2 2 2 直接计算知 PQ = 9 , | F1 P | 2 ? | F1Q | 2 ? , PQ ? F1 P + F1Q , x ? 1 不符合题意 ; 2 ②若直线 m 的斜率为 k ,直线 m 的方程为 y = k ( x - 1) ? x2 y2 ? 1 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ? 12) ? 0 ? ? 由? 4 得 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
(II)①若 m 为直线 x ? 1 ,代入

8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ???? ???? 2 2 2 F1Q =0 由 PQ = F1 P + F1Q 得, F1 P×
设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 即 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? 0 , ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) ? k ( x 2 ? 1) ? 0

(1 ? k 2 ) x1 x 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) ? (1 ? k 2 ) ? 0
4k 2 ? 12 8k 2 2 代入得 (1 ? k )( ? 1) ? (1 ? k ) ? ? 0 ,即 7 k 2 ? 9 ? 0 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 7 3 7 解得 k ? ? ,直线 m 的方程为 y ? ? ( x ? 1) 7 7
2

22.【答案】 【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直 【试题解析】(Ⅰ) 平面 平面 平面 . 是等边三角形, , 是交线, 为 平面 的中点,

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(Ⅱ)取 分别以 则

的中点



底面

是正方形,



两两垂直.

的方向为 轴、

轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系, ,





设平面

的法向量为





, 平面 的法向量即为平面

, 的法向量 .

由图形可知所求二面角为锐角, (Ⅲ)设在线段 使线段 平面 与 上存在点 所在平面成 , ,解得 在线段 上存在点 ,当线段 , 角, , ,适合 时,与 所在平 面成 角. ,

的法向量为

23.【答案】 【解析】(本题满分为 12 分) 解:(1)∵由题意得,sinA=sin(B+C), ∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣ 即 sinB(cosC﹣ ∵sinB≠0, ∴tanC= (2)∵ ,故 C= ab× = .…(6 分) , sinC)=0, sinBsinC=0,…(2 分)

∴ab=4,① 又 c=2,…(8 分)

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∴a2+b2﹣2ab× =4, ∴a2+b2=8.② ∴由①②,解得 a=2,b=2.…(12 分) 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用,三角形面积公式,余弦定理在解三角 形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题.   24.【答案】(1)圆与圆相离;(2)定值为 2. 【解析】 试题分析:(1)若两圆关于直线对称,则圆心关于直线对称,并且两圆的半径相等,可先求得圆 M 的圆心,

r ? DM ,然后根据圆心距 MN 与半径和比较大小, 从而判断圆与圆的位置关系 ; (2) 因为点 G 到 AP 和 BP
的距离相等,所以两个三角形的面积比值

PB S ?PBG ,根据点 P 在圆 M 上,代入两点间距离公式求 PB 和 ? S ?APG PA
5 5 3 3

PA ,最后得到其比值.
试题解析:(1) ∵圆 N 的圆心 N ( ,? ) 关于直线 y ? x 的对称点为 M ( ? , ) , ∴ r ?| MD | ? ( ? ) ?
2 2 2

5 3

5 3

4 3

16 , 9

5 2 5 2 16 . 3 3 9 10 2 10 2 10 2 8 ? 2r ? ,∴圆 M 与圆 N 相离. ∵ | MN |? ( ) ? ( ) ? 3 3 3 3
∴圆 M 的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?

考点:1.圆与圆的位置关系;2.点与圆的位置关系.1

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