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2 数学-2013-2014学年高二下学期期中考试数学(文)试题


2013-2014 学年高二下学期期中考试数学试题(文科)
总分:160 分 时间:120 分钟

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程, 请把答案直接填写在答题纸相应位置上.)
1、命题“ ?x ? R, x2 ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为 2、复数 z ? ▲ .

1 的虚部为 5 ? 2i





3、已知集合 A ? ? 5, log2 ?a ? 3??, B ? ?a, b?,若 A ? B ? ?2?,则 A ? B ? 4、函数 f ( x) ? 1 ? log4 ( x ? 1) 的定义域为 ▲ .





5、在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B,若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是
a b



. ▲ .

6、若 2 ? 5 ? m, 且 7、 f ( x) ?

1 1 ? ? 1 ,则 m= a b

k ? 2x 在定义域上为奇函数,则实数 k ? 1 ? k ? 2x





8 、已知定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 在 (0,??) 上单调递增,且 f (1) ? 0 ,则不等式

f (2 x ? 1) ? 0 的解集为
9、已知





p : 1 ≤ x ≤ 1 , q : ( x ? a)( x ? a ? 1) ? 0 ,若 p 是 ? q 的充分不必要条件,则实
2
▲ .

数 a 的取值范围是

3 x 10、已知 a , b 为正实数,函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2 在 ?0,1? 上的最大值为 4 ,则 f ( x) 在

??1,0? 上的最小值为
11、若函数 f ( x) ?



. ▲ .

ax ? 1 在 x ? (?2, ??) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 x?2

x2 y2 12、已知椭圆具有性质:若 A, B 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0 且 a , b 为常数 ) 上关于原 a b
点对称的两点, 点 P 是椭圆上的任意一点, 若直线 PA 和 PB 的斜率都存在, 并分别记为 k PA ,

k PB , 那么 k PA ? k PB ? ?

b2 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0 且 a , b 为常数 ) 中, . 类比双曲线 若 A, B a2 a 2 b2

1

是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0 且 a , b 为常数 ) 上关于原点对称的两点,点 P 是双曲线上 a 2 b2
▲ .

的任意一点,若直线 PA 和 PB 的斜率都存在,并分别记为 k PA , k PB ,那么 13、 已知函数 f ( x) ? ? m 的取值范围为 14 、已知 f ( x ) ? 3 ?

?| lg( x ? 2) |, x ? 2 , 方程 f 2 ( x) ? mf ( x) ? 0 有五个不同的实数解时, x ? 2 ?1 , x ? 2
▲ .

1 1 ,若存在区间 [ a, b] ? ( ,?? ) ,使得 { y | y ? f ( x), x ? [a, b]} = x 2
▲ .

[m a, m b] ,则实数 m 的取值范围是

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题纸相应的区域内作答,解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本题满分 14 分) 已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 3≤0}, B ? {x | x2 ? 2mx ? m2 ? 9≤0}, m ? R . (1)若 m = 3,求 A B. ; (2)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) 已知复数 z1 ? a ? 4i , z 2 ? 8 ? 6i ,

z1 为纯虚数. z2

(Ⅰ )求实数 a 的值; (Ⅱ )求复数 z 1 的平方根

17、 (本题满分 14 分) 1)求证:当 a ? 2 时, a ? 2 ? a ? 2 ? 2 a 2)证明:

2, 3,5 不可能是同一个等差数列中的三项
2

18、 (本题满分 16 分) 已知命题:“ ?x ? ?x | ?1 ? x ? 1? ,使等式 x ? x ? m ? 0 成立”是真命题.
2

(1)求实数 m 的取值集合 M; (2)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N,若 x ? N 是 x ? M 的必要条件,求 a 的 取值范围.

19、 (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4 ( a ? R ).
3 2

⑴ 若函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 1, f ?1? 处的切线的倾斜角为 最小值; ⑵ 若存在 x0 ? (0,??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

?

?

? ,求 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上的 4

3

20、 (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a≠0)满足 f (0) ? ?4 , f ( x ? 1) 为偶函数,且 x=-2 是 函数 f ( x) ? 4 的一个零点.又 g ( x) ? m x ? 4 (m>0) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) 在 x ? (1,5) 上有解,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)令 h( x) ? f ( x)? | g ( x) | ,求 h( x) 的单调区间.

4

2013—2014 学年第二学期期中考试 高二数学(文科)答案及评分标准
1. ?x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0 ;
2

2、 ? ;

2 9

3、 {1, 2,5} ;

4、 (1,5] ;

5、 2 ? 4i ;

6、10; 7、 ?1; 8、 (0, ) ? (1,?? ) ;

1 2

9、 0 ? a ?

1 ; 2

10、 ?

3 ; 2

11、

a?

1 ; 2

9 b2 ; 13、[-3,0) ; 14、 2 ? m ? . 2 4 a 15、解: (1) A?x | ?1 ? x ? 3? B?x | m ? 3 ? x ? m ? 3?
12、 k PA ? k PB ? ————4 分 ————7 分 (2) A ? B ? ? ———14 分 当 m=3 时 B ? ?x | 0 ? x ? 6? ? A

————————— —————————

B ? [0,3]

?m ? 3 ? ?1 ?0 ? m ? 2 ?m ? 3 ? 3

—————————

解得 ?

? x ? 2 ? x ? ?2 或? ? y ? ?1 ? y ? 1
——————————

∴所求的平方根为 2-i 或-2+i ———14 分

5

17、1)

( a ? 2 ? a ? 2)2 ? 2a ? 2 a ? 2 ? a ? 2

18、(1) 由题意知,方程 x ? x ? m ? 0 在 ?? 1,1? 上有解,
2

即 m 的取值范围就为函数 y ? x ? x 在 ?? 1,1? 上的值域,易得 M ? ?m ?
2

? ?

1 ? ? m ? 2? 4 ?


———————— — — —

1 ? 1 ?a ? ? 则? 4 ,? a ? ? 4 ? ?2 ? a ? 2
———15 分 综上 a ?

—————————

9 1 或a ? ? 4 4

—————————

———16 分 19、 (1) f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax.
6

—————————

———1 分 根据题意, f ?(1) ? tan ———3 分

? ? 1,??3 ? 2a ? 1, 即a ? 2. 4

—————————

①若 a ≤ 0,当x ? 0时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(0, ??) 上单调递减. 又 f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.

?当a ≤ 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0.
———11 分 ②若 a ? 0, 则当0 ? x ?

—————————

2a 2a 时, f ?( x) ? 0;当x ? 时, f ?( x) ? 0. 3 3 2a 2a 从而 f ( x ) 在(0, ) 上单调递增,在( ,+ ?) 上单调递减. 3 3

?当x ? (0,??)时, f ( x) max ? f (
————14 分 根据题意,

2a 8a 3 4a 3 4a 3 )?? ? ?4? ? 4. 3 27 9 27

——————

4a 3 ? 4 ? 0,即a 3 ? 27.? a ? 3. 27

————————

————15 分 综上, a 的取值范围是 (3, ??) . ————16 分 20、 (Ⅰ)由 ————————

f (0) ? ?4 得

c=-4
7

————————

————1 分 ∵ f ( x ? 1) ? a( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c 即 f ( x ? 1) ? ax2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? c 又∵ f ( x ? 1) 为偶函数 ————2 分 ∵x=-2 是函数 f ( x) ? 4 的一个零点 解①②得 a=1,b=-2 ∴ f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 ———4 分 (Ⅱ) f ( x) ? g ( x) 在 x ? (1,5) 上有解,即 x ? 2 x ? 4 ? mx ? 4 在 x ? (1,5) 上有解.
2

∴ 2a ? b ? 0



————————

∴ f (?2) ? 4 ? 0

∴ 4a ? 2b ? 8 ? 0



—————————

8 x 8 ∵ m ? x ? 2 ? 在 (1,5) 上单调递增 x 7 ∴实数 m 的取值范围为 ( ?9, ) 5
∴m ? x ? 2? ——8 分

——————————

4 ? 2 x ? (m ? 2) x ? 8 , x ? ? ? m (Ⅲ) h( x) ? x 2 ? 2x ? 4? | mx ? 4 | 即 h( x) ? ? 4 2 ? x ? (m ? 2) x , x?? m ?
————————— ———9 分

4 m?2 2 时, h( x) ? x ? (m ? 2) x ? 8 的对称轴为 x ? m 2 m?2 4 ? ? 总成立 ∵m>0 ∴ 2 m 4 m?2 m?2 ) 单调递减,在 ( ,?? ) 上单调递增. ∴ h( x ) 在 ( ? , m 2 2
①当 x ? ? ———11 分

—————————

4 2?m 2 时, h( x) ? x ? (m ? 2) x 的对称轴为 x ? m 2 2?m 4 4 ? ? 即 0 ? m ? 4 , h( x) 在 (?? ,? ) 单调递减 若 2 m m
②当 x ? ? ———13 分 若

—————————

2?m 4 2?m 2?m 4 ? ? 即 m ? 4 , h( x) 在 ( ?? , ) 单调递减,在 ( ,? ) 上单调递增. 2 m 2 2 m
—————————

———15 分 综上,

8

m?2 m?2 ) ,单调递增区间为 ( ,?? ) ; 2 2 2?m 4 m?2 ) 和 (? , ) ;单 调递增 区间为 当 m ? 4 时 , h( x) 的 单调递 减区间为 ( ?? , 2 m 2 2?m 4 m?2 ( ,? ) 和 ( ,?? ) . —— 2 m 2
当 0 ? m ? 4 时, h( x) 的单调递减区间为 ( ?? , ——————————16 分

9


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