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北京市第四中学2017届高三上学期期中考试数学(理)题目

北京市第四中学 2017 届高三上学期期中考试数学(理)题目

北京四中 2016~2017 学年度第一学期期中测试

高三数学 期中试卷(理)

(试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟) 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.)

1.已知全集U ? ?1, 2,3, 4?,集合 A ? {1, 2},则 ?U A ?

A.{4}

B.{3, 4}

C.{3}

D.{1,3, 4}

2.设命题 p : ?n ? N, n2 ? 2n ,则 ?p 为

A. ?n ? N, n2 ? 2n

B. ?n ? N, n2 ≤ 2n

C. ?n ? N, n2 ≤ 2n

D. ?n ? N, n2 ? 2n

3.为了得到函数 y ? lg x ? 3 的图象,只需把函数 y ? lg x 的图象上所有的点 10
A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

?x ? y≤0,

4.若

x



y

满足

? ?

x

?

y



1,



z

?

x

?

2

y

的最大值为

??x ≥ 0 ,

A.0

B.1

C. 3
2

D.2

5.等比数列?an? 满足 a1 ? 3, a1 ? a3 ? a5 ? 21, 则 a3 ? a5 ? a7 ?

A.21

B.42

C.63

D.84

6.已知 x ?R ,则“? ? ? ”是“ sin(x ??) ? ?sin x ”的

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A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x ?1) ? ? f (x) ,且在区间[?1, 0]上单调递增,

设 a ? f (3) , b ? f ( 2) , c ? f (2) ,则 a,b, c 大小关系是

A. a > b > c

B. a > c > b

C. b > c > a

D. c > b > a

8.已知函数

f

(x)

?

??x2 ?

?

2x,

x ≤ 0 ,若 f (x) ≥ ax ,则实数 a 的取值范围是

? ln(x ?1), x ? 0

A. (??, 0]

B. (??,1]

C. [?2,1]

D. [?2, 0]

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)

9.设 i 是虚数单位,则 1 ? i ?

.

1? i

10.执行如图所示的框图,输出值 x ?

.

11.若等差数列{an}满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 ,a7 ? a10 ? 0 ,

则当 n ? ________时,{an}的前 n 项和最大.

12.已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时,

f (x) ? x2 ? 4x ,则不等式 x f (x) ? 0 的解集为______. 13.要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方 体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 200 元, 侧面造价是每平方米 100 元,则该容器的最低总造 价是________元. 14.已知函数 y ? f (x) ,任取 t ?R ,定义集合:
At ? {y | y ? f (x) ,点 P(t, f (t)) , Q(x, f (x)) 满足 | PQ |≤ 2} .
设 Mt ,mt 分别表示集合 At 中元素的最大值和最小值,记 h(t) ? Mt ? mt .则 (1) 若函数 f (x) ? x ,则 h(1) =______;

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(2)若函数

f

(x)

?

sin

? ??

π 2

x

? ??

,则

h(t

)

的最小正周期为______.

三、解答题(共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.) 15.(本题满分 13 分)
集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0},B ? {x | 1 ? 2x?1 ? 8} ,C ? {x | (x ? 2)(x ? m) ? 0} , 2
其中 m?R . (Ⅰ)求 A B ;
(Ⅱ)若 (A B) ? C ,求实数 m 的取值范围.

16.(本题满分 13 分)
已知?an? 是等差数列,满足 a1 ? 3, a4 ? 12 ,数列?bn? 满足 b1 ? 4 , b4 ? 20 , 且?bn ? an? 是等比数列. (Ⅰ)求数列?an? 和?bn?的通项公式; (Ⅱ)求数列?bn?的前 n 项和 Sn .

17.(本题满分 13 分)

已知函数

f

(x)

?

4 sin

x

cos

? ??

x

?

? 6

? ??

,

x?R

.

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调减区间;

(Ⅱ)求函数

f

(x)



???0,

? 2

? ??

上的最大值与最小值.

18.(本题满分 13 分)
已知函数 f (x) ? ln(ax ?1) ? 1? x ? x ≥ 0? ,其中 a ? 0 .
1? x (Ⅰ)若 a ?1,求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f (x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围.
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19.(本题满分 14 分)

设函数

f

(x)

?

? ??

a

ln

x?

b x

? ??

e

x

,曲线

y

?

f

(x) 在点 P?1,

f

?1? ? 处的切线方程为

y ? e(x ?1) ? 2 .

(Ⅰ)求 a, b ;
(Ⅱ)设 g(x) ? xe?x ? 2 ? x ? 0? ,求 g(x) 的最大值;
e (Ⅲ)证明函数 f (x) 的图象与直线 y ? 1没有公共点.

20.(本题满分 14 分)

对于集合

M

,定义函数

fM

(x)

?

??1, x ? M ??1, x ? M

, .

对于两个集合

M,

N

,定义集合

M?N ?{x fM (x)? fN (x) ? ?1}. 已知 A = {2, 4,6,8,10}, B = {1, 2, 4,8,16}.

(Ⅰ)写出 f A (1) 和 fB (1) 的值,并用列举法写出集合 A?B ;

(Ⅱ)用 Card(M ) 表示有限集合 M 所含元素的个数,求 Card(X ?A) ? Card(X ?B) 的最小值;
(Ⅲ)有多少个集合对 ?P,Q? ,满足 P,Q ? A B ,且 (P?A)?(Q?B) ? A?B ?

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参考答案

一.选择题(每小题 5 分,共 40 分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B C C D B A D D

二.选择题(每小题 5 分,共 30 分)

9

?i

10

12

11

8

12

???,?4? ?4,???

13

1600

14

2

2

15. 解:(Ⅰ) A ?{x | x2 ?3x ? 2 ? 0} ? ?1, 2? ; B ? {x | 1 ? 2x?1 ? 8} ? ?0, 4? ;
2

所以 A B ? ?1, 2? ;

(Ⅱ) A B ? ?0, 4? ,

若 m ? ?2,则 C ? ??2, m? ,若 A B ? ?0, 4? ? C ,则 m ? 4;

若 m ? ?2 ,则 C ? ? ,不满足 A B ? ?0, 4? ? C ,舍;

若 m ? ?2 ,则 C ? ?m, ?2? ,不满足 A B ? ?0, 4? ? C ,舍;

综上 m??4,??? .

16. 解:(Ⅰ)设等差数列?an? 的公差为 d ,由题意得

d ? a4 ? a1 ? 12 ? 3 ? 3.

3

3

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 3n, n ? N? .
设等比数列?bn ? an? 的公比为 q ,由题意得

q3 ? b4 ? a4 ? 20 ?12 ? 8 ,解得 q ? 2 . b1 ? a1 4 ? 3
? ? 所以 bn ? an ? b1 ? a1 qn?1 ? 2n?1.
从而 bn ? an ? 2n?1 ? 3n ? 2n?1, n ? N? .

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 3n ? 2n?1, n ? N? . Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn
? (3 ? 20 ) ? (6 ? 21) ? (9 ? 22 ) ? ? (3n ? 2n?1)2n?1

? (3 ? 6 ? 9 ? ? 3n) ? (20 ? 21 ? 22 ? ? 2n?1)

n(3 ? 3n) 1? 2n

?

?

2

1? 2

? 3 n2 ? 3 n ? 2n ?1 22

所以,数列 ?bn ? 的前

n

项和为

3 2

n2

?

3 2

n

?

2n

?1

.

17.

解:

f

(x)

?

4 sin

x

cos

? ??

x

?

? 6

? ??

?

4sin

? x ???

3 2

cos

x

?

1 2

sin

x

? ???

?

2

3 sin x cos x ? 2sin2 x

? 3 sin 2x ? cos 2x ?1 ? 2( 3 sin 2x ? 1 cos 2x) ?1 ? 2sin(2x ? π ) ?1.

2

2

6

(Ⅰ)令 ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 3? ? 2k? , k ? Z ,解得 ? ? k? ? x ? 2? ? k? ,

2

62

6

3

所以函数 f (x) 的单调减区间为[k? + ? , k? ? 2? ], k ? Z .

6

3

(Ⅱ)因为 0 ? x ? ? ,所以 ? ? 2x ? ? ? 7? ,所以 ? 1 ? sin(2x ? ? ) ? 1 ,

2

6

66

2

6

于是 ?1 ? 2sin(2x ? ? ) ? 2 ,所以 ?2 ? f (x) ? 1. 6

当且仅当 x ? ? 时 2

f (x) 取最小值

f

( x)min

?

f

(? ) ? ?2 ; 2

当且仅当 2x ? ? 6

?

? 2

,即 x

?

? 6

时最大值

f

( x)max

?

f

(? ) 6

?1.

18.

解:定义域为?0, ??? .

f ?(x) ?

a ax ?

1

?

(1

2 ? x)2

?

ax2 ? a ? (ax ?1)(1?

2 x)2

.

(Ⅰ)若 a

? 1 ,则

f

?( x)

?

(x

x2 ?1 ? 1)(1 ?

x)2

,令

f

?(x)

?

0 ,得

x

?1(舍 ?1).

x

(0,1)

1

(1, ??)

f ?(x) ?

0

?

f (x)

极小值

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所以 a ?1时, f (x) 的单调增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1) .

(Ⅱ)

f ?(x) ?

ax2 ? a ? 2 (ax ?1)(1? x)2

,∵ x ? 0, a

? 0,

∴ ax ?1? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '(x) ? 0, ∴ f (x) 在?1, ??? 单调递增,所以

f (x)的最小值为f (0) ? 1;

②当 0 ? a ? 2 时,由 f '(x) ? 0解得x ? 2 ? a ,由f '(x) ? 0解得x ? 2 ? a ,

a

a

∴ f (x)的单调减区间为(0,2-a ),单调增区间为( 2-a,? ?).所 以 f (x) 在

a

a

x ? 2 ? a 处取得最小值,注意到 f ( 2 ? a ) ? f (0) ? 1, ,所以不满足

a

a

综上可知,若 f (x) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是[2, ??).

19. 解:(I)函数f (x)的定义域为(0,+?),

? ? f

?(x)

?

? ??

a

ln

x

?

b x

?? ??

ex

?

? ??

a

ln

x

?

b x

? ??

ex

?

?

? ??

a x

?

b x2

?

a

ln

x

?

b x

? ??

e

x

.

由题意可得f (1) ? 2, f ?(1) ? e. 故a ? 1 ,b ? 2 . e
(Ⅱ) g(x) ? xe?x ? 2 ,则g '(x) ? e?x (1? x) . e

所以当x ? (0,1)时g?(x) ? 0;当x ? (1, ??)时,g?(x) ? 0.故g(x)在(0,1)单调递增, 在(1,+?)单调递减,从而g(x)在(0, ?)的最大值为g(1) ? ? 1 .
e

(Ⅲ)由(I)知f (x) ? ex ln x ? 2 ex?1, 又 f (1) ? e ln1? 2e0 =2 ? 1, 于是函数 f (x) 的 x
图象与直线 y ? 1没有公共点等价于 f (x) ? 1。 而f (x) ? 1等价于x ln x ? xe?x ? 2 . e

设函数h(x) ? x ln x,则h?(x) ? ln x ?1.

所以当x ?(0, 1)时,h?(x) ? 0;当x ?(1 , ??)时,h?(x) ? 0.

e

e

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故h(x)在(0,1)单调递减,在(1 , ??)单调递增,从而h(x)在(0,+?)的最小值为

e

e

h(1) ? ? 1 . ee

由(Ⅱ)知 综上,当x ? 0时,h(x) ? g(x),即f (x) ? 1.

20.解:(Ⅰ) fA (1)=1, fB (1)= -1 , A?B ? {1, 6,10,16}. (Ⅱ)根据题意可知:对于集合 C, X ,

① a ? C 且 a ? X ,则 Card(C?(X {a}) ? Card(C?X ) ?1;

②若 a ? C 且 a ? X ,则 Card(C?(X {a}) ? Card(C?X ) ?1.

所以 要使 Card(X ?A) ? Card(X ?B) 的值最小,2,4,8 一定属于集合 X ;1,6,

10,16 是否属于 X 不影响 Card(X ?A) ? Card(X ?B) 的值;集合 X 不能含有 A B
之外的元素. 所 以 当 X 为 集 合 {1,6,10,16} 的 子 集 与 集 合 {2,4,8} 的 并 集 时 ,
Card(X ?A) ? Card(X ?B) 取到最小值 4.

(Ⅲ)因为 A?B ?{x fA(x)? fB(x) ? ?1}, 所以 A?B ? B?A. 由定义可知: fA?B (x) ? fA (x) ? fB (x) . 所以 对任意元素 x , f( A?B)?C (x) ? f A?B (x) ? fC (x) ? f A (x) ? fB (x) ? fC (x) , f A?(B?C) (x) ? f A (x) ? fB?C (x) ? f A (x) ? fB (x) ? fC (x) . 所以 f( A?B)?C (x) ? f A?(B?C) (x) . 所以 (A?B)?C ? A?(B?C) .

由 (P?A)?(Q?B) ? A?B 知: (P?Q)?(A?B) ? A?B .

所以 (P?Q)?(A?B)?(A?B) ? (A?B)?(A?B) .

所以 P?Q?? ? ? .

所以 P?Q ? ? ,即 P = Q .

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因为 P,Q ? A B ,
所以 满足题意的集合对 ?P,Q? 的个数为 27 ?128 .
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