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《数列的概念与简单表示法》教案8(新人教A版必修5)




题:3.1

数列的一般概念(一)

教学目的: ⒈理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系. ⒉了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项 ⒊对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式 教学重点:数列及其有关概念,通项公式及其应用,前 n 项和与 an 的关系 教学难点:根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节主要介绍数列的概念、分类,以及给出数列的两种方法关于数列的概念,先给出 了一个描述性定义, 尔后又在此基础上, 给出了一个在映射、 函数观点下的定义, 指出: “从 映射、 函数的观点看, 数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自 变量从小到大依次取值时对应的一列函数值” 这样就可以将数列与函数联系起来, 不仅可以 加深对数列概念的理解,而且有助于运用函数的观点去研究数列关于给出数列的两种方法, 其中数列的通项公式, 教材已明确指出它就是相应函数的解析式点破了这一点, 数列与函数 的内在联系揭示得就更加清楚此外, 正如并非每一函数均有解析表达式一样, 也并非每一数 列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数) 教学过程: 一、复习引入: 1.函数的定义. 如果 A、B 都是非空擞 集,那么 A 到 B 的映射 f : A ? B 就叫做 A 到 B 的函数,记 作: y ? f ( x) ,其中 x ? A, y ? B. 2.在学习第二章函数的基础上,今天我们来学习第三章数列的有关知识,首先我们来 看一些例子: 4,5,6,7,8,9,10. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥

1 1 1 1 1, , , , ,?. 2 3 4 5
1,0.1,0.01,0.001,0.0001,?. 1,1.4,1.41,1.414,?. -1,1,-1,1,-1,1,?. 2,2,2,2,2,?.

观察这些例子,看它们有何共同特点?(启发学生发现数列定义) 上述例子的共同特点是:⑴均是一列数;⑵有一定次序. 从而引出数列及有关定义 二、讲解新课: ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序 不同,那么它们就是不同的数列;

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) ,第 2 项,?,第 n 项,?. 例如,上述例子均是数列,其中①中, “4”是这个数列的第 1 项(或首项) , “9”是这 个数列中的第 6 项. ⒊数列的一般形式: a1 , a 2 , a3 ,?, a n ,? ,或简记为 ?a n ?,其中 a n 是数列的第 n 项 结合上述例子, 帮助学生理解数列及项的定义. ②中, 这是一个数列, 它的首项是 “1” , “

1 ” 3

是这个数列的第“3”项,等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关 系可否用一个公式表示? (引导学生进一步理解数列与项的定义, 从而发现数列的通项公式) 对于上面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对应关系: 1 1 1 1 项 1 2 3 4 5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式: a n ?

1 来表示其对应关系 n

即:只要依次用 1,2,3?代替公式中的 n,就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子,练习找其对应关系 如:数列①: a n =n+3(1≤n≤7);数列③: a n ? 数列⑤: a n ? ( ?1) (n≥1)
n

1 ; ( n ≥ 1) 10 n?1

⒋ 数列的通项公式: 如果数列 ?a n ?的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,?它的通项公式 可以是 a n ?

1 ? (?1) n ?1 n ?1 ,也可以是 a n ?| cos ? |. 2 2

⑶数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. * 从映射、函数的观点来看,数列也可以看作是一个定义域为正整数集 N (或它的有限子 集{1,2,3,?,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,数列的通 项公式就是相应函数的解析式. 对于函数,我们可以根据其函数解析式画出其对应图象,看来,数列也可根据其通项公 式画出其对应图象,下面同学们练习画数列①,②的图象,并总结其特点. 在画图时,为方便起见,直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同. 数列①、②的 图象分别如图 1,图 2 所示. 5 .数列的图像都是一群孤立的 点. 6.数列有三种表示形式:

列举法,通项公式法和图象法. 7. 有穷数列:项数有限的数列.例如,数列①是有穷数列. 8.无穷数列:项数无限的数列. 例如,数列②、③、④、⑤、⑥都是无穷数列. 三、讲解范例: 例 1 根据下面数列 ?a n ?的通项公式,写出前 5 项: (1) a n ?

n ; (2)a n ? (?1) n ? n n ?1

分析:由通项公式定义可知,只要将通项公式中 n 依次取 1,2,3,4,5,即可得到数 列的前 5 项 解: (1) n ? 1,2,3,4,5.a1 ? (2)

1 2 3 4 5 ; a 2 ? ; a3 ? ; a 4 ? ; a5 ? ; 2 3 4 5 6 1 n ? 1,2,3,4,5.a1 ? ; a 2 ? 2; a3 ? ?3; a 4 ? 4; a5 ? ?5; 2
2 2 ? 1 32 ? 1 4 2 ? 1 5 2 ? 1 ; , ; ; 2 3 4 5

例 2 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: (1)1,3,5,7; (2)

(3)-

1 1 1 1 , ,, . 1? 2 2 ? 3 3? 4 4? 5

解: (1)项 1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1 ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 即这个数列的前 4 项都是序号的 2 倍减去 1, ∴它的一个通项公式是: a n ? 2n ? 1 ; (2)序号:1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母:2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓ 2 2 2 项分子: 2 -1 3 -1 4 -1 52-1 即这个数列的前 4 项的分母都是序号加上 1,分子都是分母的平方减去 1,∴它的一个 通项公式是: a n ?

(n ? 1) 2 n ; n ?1
3 ? ? 1 2?3


1
(3)序号

3 ? ? 1 3? 4


4 ? ? 1 4?5


? ? 1 1? 2



(?1)1

1 1 1 (?1) 3 (?1) 2 1 ? (1 ? 1) 3 ? (3 ? 1) 2 ? (2 ? 1)

(?1) 2

1 2 ? (2 ? 1)

这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数, 且奇数项为负, 偶数项 为正,所以它的一个通项公式是: a n ? (?1)
n

1 n(n ? 1)

四、课堂练习: 课本 P112 练习:1—4. 学生板演 1,2;教师提问评析 3,4. 答案:⒈⑴1,4,9,16,25;⑵10,20,30,40,50; ⑶5,-5,5,-5,5;⑷3/2,1,7/10,9/17,11/26. ⒉⑴a7=1/343,a10=1/1000;⑵a7=63,a10=120; ⑶a7=1/7,a10=-1/10;⑷a7=-125,a10=-1021. ⒊⑴ a n =2n;⑵ a n =1/5n;⑶ a n =(-1) /2 ;⑷ a n =(1/n)-[1/(n+1)]. ⒋⑴8,64, a n =2 ;⑵1,36, a n =n ;⑶-1/3,-1/7, a n =(-1) /n; ⑷ 3 , 6 ,an= n . 五、小结 本节课学习了以下内容:数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并 会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式 六、课后作业:课本 P114 习题 3.1:1,2. 答案:⒈ ⑴ a n =3n;⑵ a n =-2(n-1);⑶ a n =(n+1)/n;⑷ a n =(-1) /2n; ⑸ a n =1/n ;⑹ a n =(-1)
2 n+1 n n 2 n n n

3

n.

⒉ ⑴a10=110,a31=992,a48=2352;⑵求 n(n+1)=420 的正整数解得 n=20. 补充作业:根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1) 3, 5, 9, 17, 33,??; (2)

2 4 6 8 10 , , , , , ??; 3 15 35 63 99

(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,??; (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ??; (5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,??. 解:(1) a n = 2 ? 1 ;
n

(2) a n =

2n 1 ? (?1) n ; (3) a n = ; (2n ? 1)( 2n ? 1) 2

(4) 将数列变形为 1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, ??, ∴ a n =n+

1 ? (?1) n ; 2

(5) 将数列变形为 1×2, -2×3, 3×4, -4×5, 5×6,??,
n ?1 ∴ a n =(-1) n(n+1).

七、板书设计(略) 八、课后记:


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