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2016高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第一讲 空间几何体课件 理_图文

随堂讲义
专题五 立体几何 第一讲 空间几何体

空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点,单 独考查三视图的逐渐减少,主要考查由三视图求原几何 体的面积、体积,常以选择题、填空题的形式考查,预 测2016年高考会出现给出几何体的三视图,求原几何体 的表面积或体积的选择题或填空题.

例 1 下图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( )

A.9π

B.10π

C.11π

D.12π

思路点拨:本题可根据三视图确定原几何体及其有关 数据,然后由公式求得表面积. 解析:由三视图可得该几何体是由一个底面半径为 1, 高为 3 的圆柱及其上面的一个半径为 1 的球组成的. 故其表面积为 4π×12+ 2×π ×12+ 2π×1× 3= 12 π. 答案:D 误区警示:不能正确想象出几何体的形状会导致计算 错误.

(1)解答此类问题,首先由三视图想象出几何体的 形状,并由相关数据得出几何体中的量,进而求得表 面积或体积. (2)掌握三视图是正确解决这类问题的关键,同时 也体现了知识间的内在联系,是高考的新动向.

1.(2015· 北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱 锥最长棱的棱长为(C)

A.1

B. 2

C. 3

D.2

解析:根据三视图,可知几何体的直观图为如图所示的 四棱锥 VABCD,其中 VB⊥平面 ABCD,且底面 ABCD 是 边长为 1 的正方形, VB=1.所以四棱锥中最长棱为 VD.连接 BD, 易知 BD= 2, 在 Rt△VBD 中, VD= VB2+BD2= 3.

例2 正六棱锥PABCDEF中,G为PB的中点,则三棱 锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为( ) A.11 B. 12 C. 21 D.32

解析:由于 G 是 PB 的中点,故三棱锥 PGAC 的体积 等于三棱锥 BGAC 的体积, 在底面正六边形 ABCDEF 中(如 3 右图),BH=ABtan 30°= AB,而 BD= 3AB,故 DH 3 =2BH,于是 VDGAC=2VBGAC=2VPGAC.

答案:C

(1)求几何体体积问题,可以多角度、多方位地考虑 问题.在求三棱锥体积的过程中,等体积转化法是常用的 方法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知 几何体的某一面上. (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想, 将不规则几何体变为规则几何体,易于求解.

2.设甲,乙两个圆柱的底面面积分别为 S1,S2,体积 S1 9 V1 3 为 V1,V2,若它们的侧面积相等且 = ,则 的值是 . S2 4 V2 2 解析:设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为 r1 、h1 ,
2 h1 r2 S1 πr1 9 r2、h2,则 2πr1h1=2πr2h2, = , 又 = 2= , h2 r1 S2 πr2 4 2 2 r1 3 V1 πr1h1 r2 h r r 2 r1 3 1 1 1 所以 = ,则 = 2 = 2· = 2· = = . r2 2 V2 πr2h2 r2 h2 r2 r1 r2 2

例 3 如图 1 所示,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3, 沿对角线 AC 把矩形折成二面角 DACB(如图 2 所示), 并且点 D 在平面 ABC 内的射影落在 AB 上.

(1)证明:AD⊥平面 DBC. (2)若在四面体 DABC 内有一球, 问: 当球的体积最大时, 球的半径是多少?

思路点拨:(1)由已知可得 AD⊥CD,因此,要证 AD⊥平 面 DBC,只需证明 AD⊥BC 或 AD⊥BD 即可. (2)要使球的体积最大,则该球与四面体 DABC 的各面都 相切. 解析:(1)证明:设 D 在平面 ABC 内的射影为 H,则 H 在 AB 上,连接 DH,如图,则 DH⊥平面 ABC.

得 DH⊥BC, 又 AB⊥BC,AB∩DH=H, 则 BC⊥平面 ADB, 故 AD⊥BC. 又 AD⊥DC,DC∩BC=C, 于是 AD⊥平面 DBC. (2)当球的体积最大时, 易知球与三棱锥 DABC 的各面相切,设球的半径为 R,球心为 O,

1 则 VDABC= R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB). 3 由已知可得 S△ABC=S△ADC=6. 过 D 作 DG⊥AC 于点 G,连接 GH(见上图),可知 HG⊥AC. 12 27 易得 DG= ,HG= , 5 20 3 7 DH= DG -HG = , 4
2 2

1 3 7 3 7 S△DAB= ×4× = . 2 4 2

在△DAB 和△DBC 中, 因为 AD=BC,AB=DC,DB=DB, 3 7 所以△DAB≌△BCD,故 S△DBC= , 2 1 3 7 3 7 VDABC= ×6× = . 3 4 2 3 3 ? R? ? ? 3 7 则 ?6+ 7+6+ 7?= . 2 ? 3? 2 2 3 于是(4+ 7)R= 7, 2 4 7- 7 3 7 所以 R= = . 6 2×(4+ 7)

(1)在折叠问题中,关键要弄清折叠前后线面关系 的变化和线段长度及角度的变化,抓住不变量解决问 题. (2)在折叠问题中,线段的长度是不变量,而平行 与垂直等是一个相对不变量,即它的不变性取决于折 叠的位置,如本题中沿对角线 AC 折叠,所以 AD 与 DC 以及 AB 与 BC 的垂直关系均保持不变.

3.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底 面, 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱 4 的高为 3,底面周长为 3,那么这个球的体积为 π . 3 分析: 本题可以根据已知条件及球与正六棱柱的关系 求出球的半径,进而求得体积.

1 解析:由已知可求得正六棱柱的底面边长为 ,而外 2 接球的直径恰好为最长的对角线长. 设球的半径为 R,则(2R)2=12+( 3)2=4. 4 4 3 ∴R=1.∴V 球= πR = π. 3 3

1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体 中的特殊点或线作截面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几 何知识寻找几何体中元素间的关系. 2.若球面四点 P,A,B,C 构成的线段 PA,PB,PC 两两垂直, 且 PA=a, PB=b, PC=c, 则 4R2=a2+b2+c2, 把有关元素“补形” 为一个球内接长方体(或其他图形),从而显示出球的数量特征,这种 方法是一种常用的好方法. 3.三视图题要求能画出简单几何体的三视图,并且能画出给出 三视图的几何体的直观图,这部分内容常作为对空间想象能力的考 查.

4.“空间问题平面化”是求解立体几何综合问题 的基本思路.转化法是处理立体几何综合问题的基本方 法,要善于将空间图形平面化,将复杂图形基本化. 5.分析法、反证法、割补法、等体积法是处理立 体几何综合问题的常用方法,要切实掌握并熟练运用. 6.切实提高处理空间图形的能力.综合运用平面 几何、三角、代数、解析几何的有关知识,灵活运用转 化、联想、类比等思想方法,是求解立体几何综合问题 的关键.


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