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弥勒市2015届高三市统测模拟考(一)文科数学含答案解析


弥勒市 2014—2015 学年高三年级模拟测试(一) 数学学科 文科试题卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.复数 z ? 1 ? i ,则 A.第一象限

1 ? z 对应的点所在的象限为( z
B.第二象限

) D.第四象限

C.第三象限

x?2 2 2.若集合 A ? x ? Z | 2 ? 2 ? 8 , B ? x ? R | x ? 2 x ? 0 ,则 A (CR B) 所含的元素

?

?

?

?

个数为( A.0

) B .1 C.2 D.3 )

3.若 a ? R, 则“ a ? 3 ”是“方程 y 2 ? (a 2 ? 9) x 表示开口向右的抛物线”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4 . 已 知 双 曲 线 的 一 个 焦 点 与 抛 物 线 x 2 ? 20 y 的 焦 点 重 合 , 且 其 渐 近 线 的 方 程 为

3x ? 4y ? 0,则该双曲线的标准方程为(

)

x2 y 2 ? ?1 A. 9 16

x2 y 2 ? ?1 B. 16 9

y 2 x2 ? ?1 C. 9 16

y 2 x2 ? ?1 D. 16 9
)

5.执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为( 输入 x

开始

y ? 2x ? 1

x ? y ? 8?




输出 y

结束

x? y
A.2 B.5

C.11

D.23 )

6.已知等比数列 ?an ? ,且 a4 ? a8 ? 2, 则 a6 (a2 ? 2a6 ? a10 ) 的值为(

A.4 B.6 C.8 D.10 7.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0,1 表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标, 以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.75

)

?x ? 1 ? 8.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 , ?y ? a x ?3 ? ? ?
则 a ?( A. ) B.

1 2

1 3

C. 1

D.2

9.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? x ? 3, 则 f ( x ) 的零点 个数为( ) A.1

B.2

C.3

D .4

10.已知直线 m, l ,平面 ? , ? , 且 m ? ? , l ? ? , 给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m ? l ; ②若 ? ? ? ,则 m ∥ l ; ③若 m ? l ,则 ? ? ? ; ④若 m ∥ l ,则 ? ? ? 。 其中正确的命题的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

11.三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC, AC ? BC ? 1, PA ? 3 ,则该三 棱锥外接球的表面积为( A. 5? B. 2? ) C. 20? D. 4?

12. ?ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O ,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ? AB 的值 为( A. ? )

1 5

B.

1 5

C. ?

6 5

D.

6 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.某高中共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人, 高三年级 400 人,现采用分层抽样抽取容量为 45 的样本,那么高 三年级应抽取的人数为 人 14.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

15. 如图, 在 ?ABC 中,?B ? 45 , D 是 BC 边上一点,AD ? 5, AC ? 7, DC ? 3 , 则 AB 的长为

A

B

D

C

16.已知函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, 集合 M ? ?( x, y) | f ( x) ? f ( y) ? 0? ,集合

N ? ?( x, y) | f ( x) ? f ( y) ? 0? ,则集合 M

N 的面积为

三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分,解答题应写出必要的文字证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? , Sn 为其前 n 项和, a5 ? 10, S7 ? 56. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? an ? ( 3) n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。
a

18. (本小题满分 12 分)某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百 分制,均为整数)分成 [40,50) , [50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] 六组后, 得到频率分布直方图(如图) ,观察图形中的信息,回答下列问题.

(1)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数; (2)若从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人,求所抽取 2 人成绩之差的绝对 值大于 10 的概率.

19. (本小题满分 12 分)如图,矩形 ABCD 中, AD ? 平面ABE , AE ? EB ? BC ? 2 ,

G 是 AC 中点, F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面ACE . (1)求证: AE ? 平面BCE ; (2)求三棱锥 C ? BGF 的体积.
D G F A E B C

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆的短轴 2 2 a b

y2 ? x 2 ? 1的焦点重合,过点 P(4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相 端点与双曲线 2
交于 A, B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e sin x
x

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) ? kx ,求实数 k 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1,几何证明选讲 如图所示,圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E , EF ∥ CB , EF 交 AD 的延长线于点 F , FG 切圆 O 于点 G . (1)求证:△ DEF ∽△ EFA ; (2)如果 FG ? 1 ,求 EF 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? (? 为参数) ,在同一平面直角坐标系中,将曲线 C 上 ? y ? 2sin ?

? ? 1 x ? x ? ? 3 的点按坐标变换 ? 得到曲线 C ? . (1)求曲线 C ? 的普通方程; (2)若点 A 在曲线 ? y? ? 1 y ? ? 2
C ? 上,点 B (3, 0) ,当点 A 在曲线 C ? 上运动时,求 AB 中点 P 的轨迹方程.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? x ?1 ? x ?1 ,不等式 f ( x) ? 4 的解集为 M . (1)求 M ; (2)当 a, b ? M 时,证明: 2 a ? b ? 4 ? ab .

弥勒市 2014—2015 高三年级模拟测试(一) 数学学科 文科试题卷参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1 D 2 C 3 A 4 C 5 D 6 A 7 D 8 A 9 C 10 B 11 A 12 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.20 14.10 15.

5 6 2

16. ?

三、解答是(本大题共 8 小题,共 70 分,解答题应写出必要的文字证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 12 分)解: (1)由 S7 ? 7a4 ? 56 ? a4 ? 8. 公差 d ? a5 ? a4 ? 2,

a1 ? a5 ? 4d ? 2, an ? 2n;
(2) bn ? 2n ? 3n , Tn ? (2 ? 31 ) ? (4 ? 32 ) ? (6 ? 33 ) ?

? (2n ? 3n )

Tn ? (2 ? 4 ?

? 2n) ? (3 ? 32 ?

? 3n ) ?

n(2 ? 2n) 3 ? (1 ? 3n ) ? 2 1? 3

3n ?1 ? 3 ? n ?n? 。 2
2

18(本小题满分 12 分)解: (1)由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为 0.1+0.15+0.15=0.4,∴中位数在第四组,设中位数为 70+x,则 0.4+0.030x=0.5?x= ∴数据的中位数为 70+ = , ,

(2)第 1 组: 60 ? 0.1 ? 6 人(设为 1,2,3,4,5,6) 第 6 组: 60 ? 0.1 ? 3 人(设为 A,B,C) 共有 36 个基本事件,满足条件的有 18 个,所以概率为

1 2

19(本小题满分 12 分) (I)证明:? AD ? 平面ABE , AD // BC

∴ BC ? 平面ABE ,则 AE ? BC ,又? BF ? 平面ACE ,则 AE ? BF BC BF ? B, ∴ AE ? 平面BCE

?BCE 为等腰三角形, 1 ? F 为 CE 的中点,? G 是 AC 中点 ∴ FG // AE 且 FG ? AE ? 1 2 AE ? 平面 BCE,? FG ? 平面 BCE , 1 ? ∴ Rt ?BCE 中, BF ? CF ? CE ? 2 2 1 ∴ S ?CFB ? ? 2 ? 2 ? 1 2 1 1 ∴ VC ? BFG ? VG ? BCF ? ? S ?CFB ? FG ? 3 3

(2)解:? BF ? 平面ACE , BF ? CE ,

c 1 c 2 a 2 ? b2 1 2 ? , 20(本小题满分 12 分) (1)由题意知 e ? ? ,? e ? 2 ? a 2 a a2 4
a2 ? 4 2 b 。又双曲线的焦点坐标为 (0, ? 3), b ? 3 ,? a2 ? 4, b2 ? 3 , 3

? 椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3

(2)若直线 l 的倾斜角为 0 ,则 A(?2,0), B(2,0), OA ? OB ? ?4 , 当直线 l 的倾斜角不为 0 时,直线 l 可设为 x ? my ? 4 ,

? x ? my ? 4 ? (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ,由 ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12
? ? 0 ? (24m)2 ? 4 ? (3m2 ? 4) ? 36 ? 0 ? m2 ? 4
设 A(my1 ? 4, y1 ), B(my2 ? 4, y2 ) , y1 ? y2 ? ?

24m 36 , y1 y2 ? , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

OA ? OB ? (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2 ? m2 y1 y2 ? 4my1 y2 ?16 ? y1 y2
? 116 13 13 ? 4 , m 2 ? 4,? OA ? OB ? (?4, ) ,综上所述:范围为 [?4, ) , 2 3m ? 4 4 4

21(本小题满分 12 分)解: (1) f ( x) ? e sin x ? e cos x ? e (sin x ? cos x) ,
' x x x

令 y ? sin x ? cos x ?

? ? 3? 2 sin( x ? ), 当 x ? (2k? ? , 2k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单增, 4 4 4 3? 7? x ? (2k? ? , 2 k? ? ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 单减 4 4

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e x sin x ? kx ,即 g ( x) ? 0 恒成立, 而 g ' ( x) ? ex (sin x ? cos x) ? k , 令 h( x) ? ex (sin x ? cos x) ? h' ( x) ? e x (sin x ? cos x) ? e x (cos x ? sin x) ? 2e x cos x

x ? [0, ], h ( x) ? 0 ? h( x) 在 [0, ] 上单调递增, 1 ? h( x) ? e 2 , 2 2
'

?

?

?

当 k ? 1 时, g ' ( x) ? 0, g ( x) 在 [0,
?

?
2

] 上单调递增, g ( x) ? g (0) ? 0 ,符合题意;

' 当 k ? e 2 时, g ( x) ? 0 ? g ( x) 在 [0,

?
2

] 上单调递减, g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合;

当 1 ? k ? e 时, g ( x) 为一个单调递增的函数,而 g (0) ? 1 ? k ? 0, g ( ) ? e 2 ? k ? 0 ,
2

?

'

'

'

?

?

2

由零点存在性定理,必存在一个零点 x0 ,使得 g ' ( x0 ) ? 0 ,当 x ?[0, x0 ) 时, g ( x) ? 0, 从
'

而 g ( x) 在 x ?[0, x0 ) 上单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合, 综上所述: k 的取值范围为 (??,1] 22 证明: (本小题满分 10 分) (1)

EF // BC ? ?DEF ? ?EBC ? ? ? ?DEF ? ?BAD ? ?DEF ∽ ?EFA ?BCD ? ?BAD ?
2 (2) ?EFA ∽ ?EFD ? FE ? FD ? FA 2 又因为 FG 为切线,则 FG ? FD ? FA

所以, EF ? FG ? 1 . 23、 (本小题满分 10 分)

(1) C : ?

? x ? 3cos ? ? y ? 2sin ?

? C:

x2 y 2 ? ?1, 9 4

? ? 1 x ? x ? ? x ? 3 x? ? 3 将? 代入 C 的普通方程得 x?2 ? y?2 ? 1 ,即 C? : x2 ? y 2 ? 1; ?? ? 1 y ? 2 y ? ? y? ? y ? ? 2
(2)设 P( x, y),

A( x0 , y0 ) , 则 x ?

x0 ? 3 y ,y? 0 2 2

所以 x0 ? 2 x ? 3, y0 ? 2 y ,即 A(2 x ? 3, 2 y)
2 2 代入 C? : x2 ? y 2 ? 1,得 (2x ? 3)2 ? (2 y)2 ? 1 ,即 ( x ? ) ? y ?

3 2

1 4

3 1 AB 中点 P 的轨迹方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 2 4
24、 (本小题满分 10 分) (1)解不等式: x ?1 ? x ?1 ? 4

?x ? 1 ? ?2 x ? 4

或?

??1 ? x ? 1 ? x ? ?1 或? ? 1 ? x ? 2 或 ?1 ? x ? 1 或 ?2 ? x ? ?1 , ?2 ? 4 ??2 x ? 4

? ?2 ? x ? 2 ? M ? ? ?2, 2? .
(2)需证明: 4(a2 ? 2ab ? b2 ) ? a2b2 ? 8ab ? 16 ,
2 2 2 2 只需证明 a b ? 4a ? 4b ? 16 ? 0 ,

即需证明 (a ? 4)(b ? 4) ? 0 。
2 2

证明: a, b ? (?2, 2) ? a ? 4, b ? 4 ? (a ? 4) ? 0,(b ? 4) ? 0
2 2 2 2

? (a2 ? 4)(b2 ? 4) ? 0 ,所以原不等式成立.


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