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学案8幂函数与函数的零点

学案 9

幂函数
2 3

考纲要求:了解幂函数的概念,结合函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ? 像,了解它们的变化情况。 基础知识梳理: 1、幂函数的概念:函数

1 1 , y ? x 2 的图 x

叫做幂函数,其中 x 是自变量, ? 是实常数。
?

2、能在同一坐标系中画出幂函数 y ? x (? 取 1,2,3, 3、幂函数的性质
y?x
y ? x2

1 ,?1) 的图像。 2
1

y ? x3

y ? x2

y ? x ?1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 典例分析 题型一:幂函数的图像 例 1、已知幂函数 f (x) 的图像过点 (1)求 f ( x) ? g ( x) 的解析式; (2)当 x 为何值时:① f ( x) ? g ( x) ; ② f ( x) ? g ( x) ;③ f ( x) ? g ( x) 。 题型二:幂函数的性质 例 2、已知幂函数 f ( x) ? x
m 2 ? 2 m ?3

?

? 1? 2 ,2 ,幂函数 g (x) 的图像过点 ? 2, ? 。 ? 4?

?

(m ? Z ) 为偶函数,且在区间 ?0,??? 上是减函数。
? m 3

(1)求函数 f (x) 的解析式。 (2)求满足 (a ? 1) (3)讨论函数 ? ( x) ? a 题型三:幂函数的综合应用

? (3 ? 2a)

?

m 3

的 a 的范围。

f ( x) ?

b 的奇偶性。 xf ( x)

例 3、若关于 x 的不等式 x 2 ? ax 的解集是 x 0 ? x ? 2 ,求实数 a 的值。 巩固练习: 1、下列命题正确的是
0

1

?

?



) B、幂函数的图像都经过点 ?0,0?, ?1,1?

A、 y ? x 的图像是一条直线

C、幂函数的图像不可能出现在第四象限 D、若幂函数 y ? x 是奇函数,则 y ? x 是增函数
n n

2、设 ? ? ?? 1,1,

? ?

1 ? ,3? ,则使 y ? x? 的定义域为 R,且为奇函数的所有 ? 的值为( 2 ?
C、 ? 1,3
?



A、1,3

B、 ? 1,1

D、 ? 1,1,3

3、在同一坐标系中,函数 y ? x (? ? 0) 和 y ? ax ? y y

1 的图像应是图中的( a
y y



0

x

0

x

0

x

0

x

4、设 a ? ( ) 5 , b ? ( ) 5 , c ? ( ) 5 ,则 a, b, c 的大小关系是( A、 a ? c ? b B、 a ? b ? c C、 c ? a ? b D、 b ? c ? a )
1

3 5

2

2 5

3

2 5

2



5、下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(
1

A、 y ? x 2 ( x ? (0,??))

B、 y ? 3 ( x ? R)
x

C、 y ? x 3 ( x ? R)

D、 y ? lg x ( x ? 0)

6、在下列函数中定义域和值域不同的是( A、 y ? x
? 1 2 2


1 5

B、 y ? x 3 )
a

C、 y ? x 3

D、 y ? x 3

7、已知 ? 1 ? a ? 0 ,则( A、 0.2 ? ( ) ? 2
a a
2

1 2

a

B、 2 ? 0.2 ? ( )
a
m 2 ? 2 m ?3

1 2

a

C、 ( ) ? 0.2 ? 2
a a

1 2

a

D、 2 ? ( ) ? 0.2
a a

1 2

a

8、幂函数 y ? (m ? m ? 1) x A、 ? 1 或 2

在 (0,?? ) 上为减函数,则 m 的值为( D、 ? 1



B、

1? 5 2

C、 2

9、已知幂函数 f ( x) ? x 的图像经过点 ? 2,
a

? ? ?

2? ? ,则 f (4) 的值为 2 ? ?



?2 ? x ? 1 ( x ? 0) ? 10、 设函数 f ( x) ? ? 1 , 如果 f ( x0 ) ? 1 , x0 的取值范围是 则 2 ?x ( x ? 0) ?
11、三个数 6 ,0.7 , log 0.7 6 的大小顺序是
0.7 6





学案 10 函数与方程 考纲要求:1、结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程的根的关系,判断一元二次 方程根的存在性及根的个数。 2、根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解。 基础知识梳理: 1、函数的零点: (1)定义:对于函数 y ? f (x) ,我们把使 叫做函数 y ? f (x) 的零点。

(2)几个等价关系:方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f (x) 的图像

? 函数

y ? f (x)



(3)零点的判定:如果函数 y ? f (x) 在区间 ?a, b ? 上的图像是连续不断的一条曲线, 并且有 ,使得
2

, 那么, 函数 y ? f (x) 在区间 ?a, b ? 内有 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

, 即存在 c ? ?a, b ?

(4)二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图像与零点的关系

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c

(a ? 0) 的图像
与 x 轴的交点 零点个数 、 2

?x1 ,0?
1

无交点 0

典例分析 题型一:函数零点的判定(数形结合) 例 1、函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为 A、0 个 B、1 个 C、2 个 ( )

D、无法确定

例 2、判断方程 ( x ? 2)( x ? 5) ? 1 有两个相异的实数解,且一个大于 5,一个小于 2. 题型二:函数零点综合应用

l g 例 3、 f ( x) ? log 2 (2 ? 1), g ( x) ? o 设
x

2

(2 x ? 1) , 若关于 x 的函数 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? m

在 ?1,2 ?上有零点,求 m 的取值范围。

巩固提高 1、若函数 f (x) 的图像是连续不断的,且 f (0) ? 0, f (1) f (2) f (4) ? 0, 则下列命题正确 的是( ) B、函数 f (x) 在区间 ?1,2 ? 内有零点; D、函数 f (x) 在区间 ?0,4 ? 内有零点; ) D、无数个 )

A、函数 f (x) 在区间 ?0,1? 内有零点; C、函数 f (x) 在区间 ?0,2 ? 内有零点; 2、函数 f ( x) ? x ? A、 0 个

4 的零点个数是( x
C、2 个

B、1 个

3、函数 f ( x) ? ln x ? A、 ?1,2 ?

2 的零点所在的大致区间( x
C、 ?e,3? D、 ?e,???

B、 ?2,3?
2

4、已知 f ( x) ? ? x ? x , x ? ?a, b? ,且 f (a) ? f (b) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 在 ?a, b ? 内( A、至少有一个实根
2



B、至多有一个实根 C、没有实根 D、有唯一的实根 。

5、 已知函数 f ( x) ? x ? x ? a(a ? 0) 在区间 ?0,1? 上有零点, a 的取值范围为 则 6、若函数 f ( x) ? 2 x ? ax ? 3 有一个零点为
2

3 ,则 f (1) ? 2

。 )

7、下列函数图像与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是( y y y y

x1
A

x 2 x3 x
B
x

x0

x

0

x

x0 x1 x
D

C ) D、 (1,2)

8、函数 f ( x) ? 2 ? 3x 的零点所在的一个区间( A、 ?? 2,?1? B、 ?? 1,0? C、 ?0,1?

9、设函数 f ( x) ? 4 sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中,函数 f (x) 不存在零点的是( A、 ?? 4,?2?
2



B、 ?? 2,0?

C、 ?0,2?

D、 ?2,4? )

10、若函数 y ? mx ? x ? 2 没有零点,则实数 m 的取值范围是( A、 m ? ?

1 8

B、 m ? ?

1 8

C、 m ? ?

1 8

D、 m ? ?

1 8
2

11、若函数 f ( x) ? ax ? b(a, b ? 0) 有一个零点是 2,则函数 g ( x) ? bx ? ax 的零 点是 。


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