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初中数学公式大全


中考数学常用公式和定理大全
1、整数 分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数 有理数.如:- 、整数(包括:正整数、0、负整数)和分数 分数 有理数 3, , 0.231, 0.737373…, , . 无限不环循小数叫做无理数 如: 无理数. π, - 无理数 0.1010010001… ,

(两个1之间依次多1个0).有理数和无理数统称为实数. 实数. 实数 2、绝对值 、绝对值:a≥0 丨a丨=a;a≤0 丨a丨=-a.如:丨- 丨= ;丨3.14-π丨=π-3.14.

3、一个近似数 近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似 、 近似数 数的有效数字 有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 有效数字 4、把一个数写成±a×10 的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法.如:- 科学记数法. 、 科学记数法 40700=-4.07×105,0.000043=4.3×10ˉ5. 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式): 、乘法公式( ①(a+b)(a-b)=a -b .扩展:
2 2 n

1 n ± n ?1

=

(

n m n ?1 n ± n ?1


)(

n m n ?1
2

)=

n m n ?1
2

②(a±b) =a ±2ab+b .扩展:

2

2

2

1? 1 ? 2 ?a ± ? = a + 2 ± 2 a? a ? 1? 1 ? 2 ?x± ? = x + 2 ± 2 x? x ?
2 2

2

1 ? 1? a + 2 = ?a ± ? m 2 a? a ? 1 ? 1? = ?x ± ? m 2 2 x? x ?
2 2 2 2

同理:

2



2

x2 +
3

③(a+b)(a -ab+b )=a +b .④(a-b)(a +ab+b )=a -b ;a +b =(a+b) -2ab,(a-b) =(a+b) -4ab. 公式拓展:⑥ ( x + y + z )3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + 3 y 2 z + 3 yz 2 + 3 x 2 z + 3 xz 2 + 6 xyz ⑦ x3 + y 3 + z 3 ? 3 xyz = ( x + y + z )( x 2 + y 2 + z 2 ? xy ? yz ? xz ) ⑧ x 4 + x 2 y 2 + y 4 = ( x 2 + xy + y 2 )( x 2 ? xy + y 2 ) ⑨ 1 + 2 + 3 + ? ? ? + ( n ? 1) + n =
2

2

2

3

3

3

n(n + 1) 2

⑩ 1 + 3 + 5 + ? ? ? + (2n ? 3) + (2n ? 1) = n 2

⑾ 2 + 4 + 6 + ? ? ? + (2n ? 2) + 2n = n( n + 1) 6、幂的运算性质: 、幂的运算性质: ①a ×a =a
m n m n m +n

.如:a ×a =a ;
3 2 6 3 3 9

3

2

5

②a ÷a =a

m

n

m -n

6 2 4 .如: a ÷a =a ;

③(a ) =a .如:(a ) =a ,(3a ) =27a , ⑥aˉ =
0

mn

n n n n n n ④(ab) =a b .⑤( ) =aˉ b

n

1 n n 1 2 ,特别:( )ˉ =( ) .如:(-3)ˉ =- ,5ˉ = n a
0



,( )ˉ =( ) = ;

2

2

⑦a =1(a≠0).如:(-3.14) =1,( 7、二次根式 、二次根式:①( ) =a(a≥0),②
2



) =1. = × ,④ = (a>0,b≥0)-

0

=丨a丨,③

1

.如:①(3

) =45.②

2

=6.③a<0时,

=-a

.④

的平方根=4的平方根=

±2.(平方根、立方根、算术平方根的概念) 注:①如果一个数的平方是a,那么,这个数就在于叫a的平方根(或叫二次方根)。a叫被开方数。 开平方中被开方数a必须大于等于零。 ②正数的平方根有两个,它们的绝对值相等,符号相反(它们是互为相反的数)。这两个根中的正 数根,叫做算术平方根。零的算术平方根是零。负数没有平方根。 ③如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫a的立方根。3开立方的根指数。正数、负数和零都能 开立方,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;零的立方根是零。
2 8、一元二次方程 一元二次方程:对于方程:ax +bx+c=0: 一元二次方程

①求根公式 求根公式是x= 求根公式

?b ± b 2 ? 4ac ,其中△=b2-4ac叫做根的判别式. 2a

当△>0时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0时,方程有两个相等的实数根; 当△<0时,方程没有实数根.注意:当△≥0时,方程有实数根. ②若方程有两个实数根x1和x2,并且二次三项式ax +bx+c可分解为a(x-x1)(x-x2). ③以a和b为根的一元二次方程是x -(a+b)x+ab=0. 9、 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的 一次函数 截距).当k>0时,y随x的增大而增大(直线从左向右上升);当k<0时,y随x的增大而减小(直线从 左向右下降).特别:当b=0时,y=kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例),图象必过原点. 补充:斜率:
2 2

k = tan α =

y 2 ? y1 b为直线在y轴上的截距 x 2 ? x1

y P(x0 y0) d B(x2, y2) b

A(x1, y1) y=kx+b

①直线的斜截式方程,简称斜截式: y=kx+b(k≠0) ②由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两点式:

α

y ? y1 y = kx + b = (tan α ) x + b = 2 x( x ? x1 ) + y1 x 2 ? x1
③由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距 式方程,简称截距式:

a 0 x

x y + =1 a b
l2 : y = k 2 x + b 2
若 l 1 / / l 2 ,则有 l1 // l2 ? k1 = k 2

④设两条直线分别为,l1 : y = k 1 x + b1 且 b1 ≠ b 2 。

若l ⊥ l ? k ? k = ?1 1 2 1 2

⑤点P(x0,y0)到直线y=kx+b(即:kx-y+b=0) 的距离: d =

kx0 ? y 0 + b k 2 + (?1) 2

=

kx0 ? y 0 + b k 2 +1

10、反比例函数 反比例函数y= (k≠0)的图象叫做双曲线.当k>0时,双曲线在一、三象限(在每一象限内, 反比例函数
2

从左向右降);当k<0时,双曲线在二、四象限(在每一象限内,从左向右上升).因此,它的增减 性与一次函数相反. 11、统计初步 (1)概念 统计初步:( )概念:①所要考察的对象的全体叫做总体 总体,其中每一个考察对象叫做个体.从 个体. 统计初步 总体 个体 总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本 样本中个体的数目叫做样本容量. 在一组数据中, 样本, 样本容量. 样本 样本容量 ② 出现次数最多的数(有时不止一个),叫做这组数据的众数 众数.③将一组数据按大小顺序排列,把处在 众数 最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. 中位数. 中位数 (2)公式:设有 n 个数 x1,x2,…,xn,那么: )公式: ①平均数为: x =

x1 + x2 + ...... + xn ; n

②极差: 用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围,用这种方法得到的差称为极 差,即:极差=最大值-最小值; ③方差: 数据 x1 、 x 2 ……, x n 的方差为 s ,则
2

s2 =

1 [( x1 ? x ) 2 + ( x 2 ? x ) 2 + L + ( x n ? x ) 2 ] n

标准差:方差的算术平方根. 数据 x1 、 x 2 ……, x n 的标准差 s ,则 s =

1 [( x1 ? x ) 2 + ( x 2 ? x ) 2 + L + ( x n ? x ) 2 ] n

一组数据的方差越大,这组数据的波动越大,越不稳定。 12、频率与概率: 、 率与概率: (1)频率= 频数 ,各小组的频数之和等于总数,各小组的频率之和等于 1,频率分布直方图中各
总数

个小长方形的面积为各组频率。 (2)概率 ①如果用 P 表示一个事件 A 发生的概率,则 0≤P(A)≤1; P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0; ②在具体情境中了解概率的意义,运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率。 ③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值; 13、锐角三角函数 、锐角三角函数: ①设∠A是Rt△ABC的任一锐角,则∠A的正弦:sinA= ∠A的正切:tanA=
2 2 .并且sin A+cos A=1.

,∠A的余弦:cosA=



0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.∠A越大,∠A的正弦和正切值越大,余弦值反而越小. ②余角公式 余角公式:sin(90?-A)=cosA,cos(90?-A)=sinA. 余角公式 ③特殊角的三角函数值:sin0?=cos90?=tan90?=0,sin30?=cos60?= ,sin45?=cos45?= 特殊角的三角函数值: 特殊角的三角函数值 =cos30?= ,sin90?=cos0?=1, tan30?= ,tan45?=1,tan60?=
3

,sin60?

. h α l

④斜坡的坡度:i= 斜坡的坡度: 斜坡的坡度

铅垂高度 = .设坡角为α,则i=tanα= . 水平宽度

14、平面直角坐标系中的有关知识: 、平面直角坐标系中的有关知识: (1)对称性:若直角坐标系内一点 P(a,b),则 P 关于 x 轴对称的点为 P1(a,-b),P 关于 y 轴对称的点为 P2(-a,b),关于原点对称的点为 P3(-a,-b). (2)坐标平移:若直角坐标系内一点 P(a,b)向左平移 h 个单位,坐标变为 P(a-h,b),向 右平移 h 个单位,坐标变为 P(a+h,b);向上平移 h 个单位,坐标变为 P(a,b+h),向下平 移 h 个单位,坐标变为 P(a,b-h).如:点 A(2,-1)向上平移 2 个单位,再向右平移 5 个单 位,则坐标变为 A(7,1). 15、二次函数的有关知识: 、二次函数的有关知识: 1.定义:一般地,如果 y = ax 2 + bx + c( a, b, c 是常数, a ≠ 0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数. 2.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ① a 的符号决定抛物线的开口方向:当 a > 0 时,开口向上;当 a < 0 时,开口向下;

a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 y 轴(或重合)的直线记作 x = h .特别地, y 轴记作直线 x = 0 . 几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 (0,0) (0, k ) ( h ,0) (h,k )

y = ax 2 y = ax 2 + k
当a > 0时 开口向上
2

x = 0 ( y 轴) x = 0 ( y 轴)

y = a(x ? h )

当a < 0时 开口向下

x=h x=h

y = a(x ? h ) + k
2

y = ax 2 + bx + c

x=?

b 2a

b 4ac ? b 2 (? , ) 2a 4a

4.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法: y = ax 2 + bx + c = a? x + 轴是直线 x = ?

? ?

b 4ac ? b 2 b ? 4ac ? b 2 ,∴顶点是 ? ( , ) ,对称 + ? 2a 4a 2a ? 4a
2

b . 2a
2

(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 y = a ( x ? h ) + k 的形式,得到顶点为 ( h , k ),对称轴是直线 x = h . (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是 顶点。

4

若已知抛物线上两点 ( x1 , y )、 2 , y ) (及 y 值相同),则对称轴方程可以表示为: x = (x 5.抛物线 y = ax 2 + bx + c 中, a, b, c 的作用 (1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y = ax 中的 a 完全一样.
2

x1 + x2 2

(2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y = ax + bx + c 的对称轴是直线
2

b b ,故:① b = 0 时,对称轴为 y 轴;② > 0 (即 a 、 b 同号)时,对称轴在 y 轴 2a a b 左侧;③ < 0 (即 a 、 b 异号)时,对称轴在 y 轴右侧. a x=?
2 (3) c 的大小决定抛物线 y = ax + bx + c 与 y 轴交点的位置.

当 x = 0 时, y = c ,∴抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ): ① c = 0 ,抛物线经过原点; ② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴;③ c < 0 ,与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式: y = ax 2 + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式. (3)交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x 2 ,通常选用交点式: y = a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) . 7.直线与抛物线的交点 (1) y 轴与抛物线 y = ax 2 + bx + c 得交点为(0, c ). (2)抛物线与 x 轴的交点 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x 2 ,是对应一元二次方程 (2)顶点式: y = a ( x ? h ) + k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2

b < 0. a

ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式
判定: ①有两个交点 ? ( ? > 0 ) ? 抛物线与 x 轴相交; ②有一个交点(顶点在 x 轴上) ? ( ? = 0 ) ? 抛物线与 x 轴相切; ③没有交点 ? ( ? < 0 ) ? 抛物线与 x 轴相离. (3)平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同(2)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设 纵坐 标为 k ,则横坐标是 ax + bx + c = k 的两个实数根.
2

(4)一次函数 y = kx + n(k ≠ 0) 的图像 l 与二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0 ) 的图像 G 的交点, 由方程组

y = kx + n y = ax 2 + bx + c

的解的数目来确定: ①方程组有两组不同的解时 ? l 与 G 有两

个交点; ②方 程组只有一组解时 ? l 与 G 只有一个交点;③方程组无解时 ? l 与 G 没有交点. ( 5 ) 抛 物 线 与 x 轴 两 交 点 之 间 的 距 离 : 若 抛 物 线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴 两 交 点 为
5

A( x1,),B( x 2,) ,则 AB = x1 ? x2 0 0
16、多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)180?(n≥3,n是正整数),外角和等于360? 、多边形内角和公式: 17、平行线分线段成比例定理: 、平行线分线段成比例定理: 比例的性质 (1)基本性质 ①a:b=c:d ? ad=bc ②a:b=b:c ? b = ac
2

(2)更比性质(交换比例的内项或外项)

a b = (交换内项) c d a c d c = (交换外项) = ? b d b a d b = (同时交换内项和外项) c a a c b d (3)反比性质(交换比的前项、后项): = ? = b d a c a c a±b c±d (4)合比性质: = ? = b d b d
(5)等比性质:

a c e m a + c + e +L+ m a = = = L = (b + d + f + L + n ≠ 0) ? = b d f n b + d + f +L+ n b
黄金分割 黄金分割 把线段 AB 分成两条线段 AC,BC(AC>BC),并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项,叫做把 线段 AB 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,其中 AC=

5 ?1 AB ≈ 0.618AB 2

(1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 如图:a∥b∥c,直线 l1 与 l2 分别与直线 a、b、c 相交与点 A、B、C D、E、F,则有

AB DE AB DE BC EF = , = , = BC EF AC DF AC DF

(2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。 如 图 : △ ABC 中 , DE ∥ BC , DE 与 AB 、 AC 相 交 与 点 D 、 E , 则 有 :

AD AE AD AE DE DB EC = , = = , = DB EC AB AC BC AB AC
l1 A B C l2 D E F
A E A D E D

a b c
B C B C

*18、直角三角形中的射影定理:如图:Rt△ABC 中,∠ACB=90o,CD⊥AB 于 D,则有: C 、直角三角形中的射影定理: (1) CD = AD ? BD (2) AC = AD ? AB (3) BC = BD ? AB
2 2 2

6

A

D

B

19、圆的有关性质 、圆的有关性质: (1)垂径定理:如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质:①经过圆心;②垂直弦;③ 垂径定理 垂径定 平分弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧,那么这条直线就具有另外三个性质.注:具 备①,③时,弦不能是直径.(2)两条平行弦 平行弦所夹的弧相等.(3)圆心角 圆心角的度数等于它所对的弧 平行弦 圆心角 的度数.(4)一条弧所对的圆周角 圆周角等于它所对的圆心角的一半.(5)圆周角等于它所对的弧的度 圆周角 数的一半.(6)同弧或等弧所对的圆周角相等.(7)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相 等.(8)90?的圆周角所对的弦是直径,反之,直径所对的圆周角是90?,直径是最长的弦.(9) 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形 20、三角形的内心与外心:三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心 、三角形的内心与外心: 内心.三角形的内心就是三内角角 内心 平分线的交点.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心 外心.三角形的外心就是三边中垂线的交点. 外心 常见结论: (1) Rt△ABC 的三条边分别为: 、 、(c 为斜边) 则它的内切圆的半径 r = a b c , (2)△ABC 的周长为 l ,面积为 S,其内切圆的半径为 r,则 S =

a+b?c ; 2

1 lr 2

*21、弦切角定理及其推论: 、弦切角定理及其推论: (1)弦切角:顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图:∠PAC 为弦切角。 (2)弦切角定理:弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。 如果 AC 是⊙O 的弦,PA 是⊙O 的切线,A 为切点,则 ∠PAC =

1 1 AC = ∠AOC 2 2

B

A O P C

推论:弦切角等于所夹弧所对的圆周角(作用证明角相等) 如果 AC 是⊙O 的弦,PA 是⊙O 的切线,A 为切点,则 ∠PAC = ∠ABC *22、相交弦定理、割线定理、切割线定理: 、相交弦定理、割线定理、切割线定理:

相交弦定理: 圆内的两条弦相交, 被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①, PA·PB = PC·PD 即: 割线定理 :从圆外一点引圆的两条割线,这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 如图②,即:PA·PB = PC·PD 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中 项。如图③,即:PC2 = PA·PB

C O P B D
① 24、面积公式 、面积公式: ①S 正△= ×(边长)2.

C O A


C
D B P

O A


A

B

P

7

②S 平行四边形=底×高.

1 S梯形 = (上底 + 下底) × 高 = 中位线 × 高 2 ③S 菱形=底×高= ×(对角线的积),
④S 圆=πR2. ⑤l 圆周长=2πR. ⑥弧长 L= .



S扇形 =

nπ r 2 1 = lr 360 2

⑧S 圆柱侧=底面周长×高=2πrh,S 全面积=S 侧+S 底=2πrh+2πr2 ⑨S 圆锥侧= ×底面周长×母线=πrb, S 全面积=S 侧+S 底=πrb+πr2 点的轨迹 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条 直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的 一条直线 三种位置关系 点与圆的位置关系 点在圆内 d<r 点 C 在圆内 点在圆上 d=r 点 B 在圆上 A d 点在此圆外 d>r 点 A 在圆外 r O 直线与圆的位置关系 B ? 直线与圆相离 d>r 无交点 d ? 直线与圆相切 d=r 有一个交点 C ? 直线与圆相交 d<r 有两个交点

r

d

r

d=r

d

圆与圆的位置关系 ? 外离(图 1)

无交点

d>R+r
8

d R 图1 r

? ? ? ?

外切(图 2) 相交(图 3) 内切(图 4) 内含(图 5)

有一个交点 有两个交点 有一个交点 无交点

d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r
R

d r 图2

d R 图3
图4

d R

d r

r R

r

图5

垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦 所对的另一条弧 C 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知 道其中 2 个即可推出 其它 3 个结论,即: ①AB 是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ 弧 BC=弧 BD ⑤弧 AC=弧 AD ①② ? ③④⑤或①③ ? ②④⑤或…… C 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB∥CD A ∴弧 AC=弧 BD 圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等, 弦心距相等 此定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中,只要知道其中的 1 个相等, 则可以推出其它的 3 个结论 A 也即:①∠AOB=∠DOE ②AB=DE ③OC=OF ④弧 AB=弧 DE ① ? ②③④或② ? ①③④……

A

O E D B

D O B

E F O D C

B

C

圆周角定理 圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 B 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论: 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧

O A

9

即:在⊙O 中,∵∠C、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对 的弦是直径 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 推论 3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 即:在△ABC 中,∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于 斜边的一半的逆定理。

D

C

B

O A

C

B

O

A

C

B

O

A

弦切角定理 弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也 相等。 即:∵MN 是切线,AB 是弦 ∴∠BAM=∠BCA
N

C

O

B

A

M

圆内接四边形 圆的内接四边形定理: 圆的内接四边形的对角互补, 外角等于它的内对角。 即:在⊙O 中, ∵四边形 ABCD 是内接四边形 ∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180° ∠DAE=∠C
B

C

D

A

E

切线的性质与判定定理 (1)判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN⊥OA 且 MN 过半径 OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即: ①过圆心 ②过切点 ③垂直切线 中知道其中两个条件推出 最后一个条件 ∵MN 是切线 ∴MN⊥OA
10

O

M

A
B

N

O P A

切线长定理 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的 夹角。 即:∵PA、PB 是的两条切线 ∴PA=PB PO 平分∠BPA 相交弦定理 圆内相交弦定理及其推论: D (1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等 O B 即:在⊙O 中,∵弦 AB、CD 相交于点 P P ∴ PA·PB=PC·PA A C (2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成 的两条线段的比例中项。 C 即:在⊙O 中,∵直径 AB⊥CD B A ∴ CE=DE=EA·EB O E (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到 D 割线与圆交点的两条线段长的比例中项 A 即:在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 E ∴ PA2 = PC PB D (4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与 O P 圆的交点的两条线段长的积相等(如上图) C B 即:在⊙O 中,∵PB、PE 是割线 ∴ PC·PB=PD·PE 两圆公共弦定理 A 圆公共弦定理:连心线垂直平分公共弦 O2 即:∵⊙O1、⊙O2 相交于 A、B 两点 O1 ∴O1O2 垂直平分 AB 圆的公切线 B 两圆公切线长的计算公式: A (1)公切线长:在 Rt△O1O2C 中,

B

AB = CO = O1O2 ? CO2
2 2 1 2

2

C O2

(2)外公切线长:CO2 是半径之差; 内公切线长:CO2 是半径之和

O1

圆内正多边形的计算 (1)正三角形 在⊙O 中 △ABC 是正三角形,有关计算在 Rt△BOD 中进行,OD:BD:OB= 1: 3 : 2 (2)正四边形 同理,四边形的有关计算在 Rt△OAE 中进行,OE :AE:OA=1:1: 2 (3)正六边形 同理,六边形的有关计算在 Rt△OAB 中进行,AB:OB:OA= 1: 3 : 2 弧长、扇形面积公式 (1)弧长公式: nπ R

A

l=

180
11

O

S

l

B

(2)扇形面积公式: 侧面展开图 (1)圆柱侧面展开图 (2)圆锥侧面展开图

S=

nπ R 2 1 = lR 360 2

S 表 = S侧 + 2 S 底 =


2π rh + 2π r 2

S 表 = S侧 + S底
25 初中几何定理与性质: 初中几何定理与性质: 1 过两点有且只有一条直线 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等

π Rr + π r 2

2 两点之间线段最短

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12 两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理 有三边对应相等的 两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合
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33 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60° 34 等腰三角形的判定定理 如果 一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a+b=c 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a+b=c,那么这个三角形是直角三角形 48 定理 四边形的内角和等于 360° 49 四边形的外角和等于 360° 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2)×180° 51 推论 任意多边的外角和等于 360° 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积=对角线乘积的一半,即 S=(a×b)÷2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的
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72 定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这 一点对称 74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等, 那么在其他直线上截得的 线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=(a+b)÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果 a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d 85 (3)等比性质 如果 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平 行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对 应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形 相似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似(ASA) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS) 94 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS) 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应 成比例,那么这两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
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103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109 定理 不在同一直线上的三个点确定一条直线 110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 推论 1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 112 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 115 推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么 它们所对应的其余各组量都相等 116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 118 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 120 定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 121①直线 L 和⊙O 相交 d﹤r ②直线 L 和⊙O 相切 d=r ③直线 L 和⊙O 相离 d﹥r 122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角 127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 130 相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 131 推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项 133 推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
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135①两圆外离 d﹥R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r) ④两圆内切 d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r) 136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 定理 把圆分成 n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 139 正 n 边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 140 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141 正 n 边形的面积 Sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长 142 正三角形面积√3a/4 a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此 k×(n-2)180° /n=360°化为(n-2)(k-2)=4 144 弧长计算公式:L=n∏R/180 145 扇形面积公式:S 扇形=n∏R/360=LR/2 146 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 26 初中几何常见辅助线作法歌诀汇编 人说几何很困难,难点就在辅助线。 辅助线,如何添?把握定理和概念。 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形里面作高线,平移一腰试试看。 平行移动对角线,补成三角形常见。 证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。 直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。 半径与弦长计算,弦心距来中间站。 圆上若有一切线,切点圆心半径连。 切线长度的计算,勾股定理最方便。 要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。 弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。 弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。 还要作个内接圆,内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。 内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。 要作等角添个圆,证明题目少困难。 辅助线,是虚线,画图注意勿改变。 假如图形较分散,对称旋转去实验。 基本作图很关键,平时掌握要熟练。 解题还要多心眼,经常总结方法显。 切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。 分析综合方法选,困难再多也会减。 虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。

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