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例说机械能守恒定律的五类应用


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● 库俊强

例说机械能守恒定律的五类应用
一、连续媒质的流动问题 例 1 如图 1 所示, 一粗细均匀的 U 形管内装有同种液体竖直 放置,右管口用盖板 A 密闭一部分气体,左管口开口,两液面高 度差为 h,U 形管中液柱总长为 4h,现拿去盖板,液柱开始流动, 当两侧液面恰好相齐时,右侧液面下降的速度大小为多少? 解析:将盖板 A 拿去后,右管液面下降,左管液面上升。系 统的重力势能减少动能增加,当左右两管液面相平时势能最小,动 能最大。设液体密度为ρ,液柱的截面积为 S,液柱流动的最大速 A h

图1

h 1 2 h 度为 V,由机械能守恒定律得: m`g = mv ,将 m`= ρs , 2 2 2
m = ρS 4h 代入上式解得: v =

gh 8

例 2 如图 2 所示, 露天娱乐场空中列车是由许多节完全相 R V0 同的车厢组成,列车先沿光滑水平轨道行驶,然后滑上一固定 O 的半径为 R 的空中圆形光滑轨道, 若列车全长为 L (L>2πR) , R 远大于一节车厢的长度和高度,那么列车在运行到圆环前的 图2 速度至少要多大, 才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道 (车 厢间的距离不计)? 解析:当列车进入轨道后,动能逐渐向势能转化,车速逐渐减小,当车厢占满环时的速 度最小。设运行过程中列车的最小速度为 V,列车质量为 M 则轨道上的那部分车的质量为

2πR

m 。 L
由机械能守恒定律得:

1 2 1 2 2πRm mv0 = mv + gR …………① 2 2 L

由圆周运动规律可知,列车的最小速率为: v = 解①②得: v0 =

gR …………②

gR +

4πgR 2 L
A O B

二、轻杆连接体问题 例 3 如图 3 所示, 一根轻质细杆的两端分别固定着 A、 两只 B 质量均为 m 的小球,O 点是一光滑水平轴,已知 AO=L,BO=2L, 使细杆从水平位置由静止开始转动,当 B 球转到 O 点正下方时,它 对细杆的拉力大小是多大? 解析:对 A、B 两球组成的系统应用机械能守恒定律得:

图3

mg 2 L mgL =

1 2 1 2 mv A + mvB ………………① 2 2 v A vB = …………② L 2L

因 A、B 两球用轻杆相连,故两球转动的角速度相等,即:

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设 B 球运动到最低点时细杆对小球的拉力为 T,由牛顿第二定律得:

T mg = m

2 vB ……………………③ 2L

解①②③得: T = 1.8mg ,由牛顿第三定律知,B 球对细杆的拉力大小等于 1.8mg , 方向竖直向下。 三、轻绳连接体问题 例 4 质量为 M 和 m 的两个小球由一细线连接(M>m) ,将 M 置于 半径为 R 的光滑球形容器上口边缘,从静止释放(如图 4 所示) ,求当 M 滑至容器底部时两球的速度(两球在运动过程中细线始终处于绷紧状态) 。 解析:设 M 滑至容器底部时速度为 VM,此时 m 的速度为 Vm,根据 运动效果,将 VM 沿绳方向和垂直于绳的方向分解,则有: M O m 图4

R

vM cos 450 = vm ………………①
由机械能守恒定律得: MgR 解①②两式得: v M =

2mgR =

1 1 2 2 Mv M + mv m ………………② 2 2

4 gR ( M 2m ) ,方向水平向左; v m = 2M + m

2 gR ( M 2m ) , 2M + m

方向竖直向上。 四、弹簧连接体问题 例 5 如图 5 所示, 半径 R = 0.50m 的光滑圆环固定在竖直平面 内。轻持弹簧一端固定在环的最高点 A 处,另一端系一个质量

A R 600 O B C 图5

m = 0.20kg 的 小 球 , 小 球 套 在 圆 环 上 。 已 知 弹 簧 的 原 长 为 L0 = 0.50m 劲度系数 k = 408 N / m 。将小球从图示位置,由静止开
始释放,小球将沿圆环滑动并通过最低点 C。已知弹簧的弹性势能

EP =

1 2 kx ,重力加速度 g = 10m / s 2 ,求小球经过 C 点的速度 vC 2

的大小。 解析:设 C 处为重力势能的零势面,由机械能守恒定律得:

mg (2 R R cos 60 0 ) =
将已知量代入上式解得: v c = 3m / s

1 2 1 mvc + k (2 R L0 ) 2 2 2

五、卫星的变轨道问题 例 6 利用以下信息:地球半径为 R,地球表面的重力加速度为 g,以无穷远处为零势能 面,距离地心为 r,质量为 m 的物体势能为 E P =

GMm (其中 M 为地球质量,G 为万有 r

引力恒量) ,求解下列问题:某卫星质量为 m,在距地心为 2R 的轨道上做圆周运动。在飞 卫星做离心运动。 行的某时刻, 卫星向飞行的相反方向弹射出质量为 (7 4 3 ) m 的物体后,

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若被弹射出的物体恰能在原来轨道上做相反方向的匀速圆周运动, 则卫星的飞行高度变化多 少? 解析:设卫星在距地心为 2R 的轨道上运行时速率为 V0,则有
2 v0 GMm =m ………………① 2R (2 R) 2

若设卫星将小物体反向弹出后的瞬时速率为 V1,由动量守恒定律得:

mv0 = m (7 4 3)m v1 (7 4 3)mv0 ………………②
如果卫星在离地心较远轨道 r 上,运行的速率用 V2 表示,则有

[

]

v2 GMm` = m` 2 ………………③ r r2
由于卫星做离心运动后遵守系统机械能守恒定律,故有

1 GMm` 1 GMm` 2 m`v12 = m`v 2 ………………④ 2 2R 2 r 解①②③④得: r = 3R ,显然卫星飞行高度的变化量 h = r 2 R = R

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