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椭圆的定义与标准方程1_图文

一.课题引入:
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢?

1.两点间的距离公式,若设A(x1,y1) B(x2,y2) 则:|AB|=?
| AB |? ?x2 ? ? x1 2 ? ?y2 ? ? y1 2
2.圆的定义是什么?我们是怎么画圆的?
在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹。

3.如果将圆的定义中的一个定点变成两个 定 点,动点到定点距离的定长变成动点到两 定点的距离之和为定长.那么,将会形成什 么样 的轨迹曲线呢?

4.动手作图
工 具: 纸板、细绳、图钉
作 法: 用图钉穿过准备好的细绳两端 的套内,并把图钉固定在两个定点 (两个定点间的距离小于绳长)上, 然后用笔尖绷紧绳子,使笔尖慢慢 移动,看画出的是什么样的一条曲 线

M

F1

F2

平 面 内 与 两 个 定 点 F1 、 F2 的 距 离 之 和 等 于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。 两个定点F1、F2称为焦点,两焦点之间的距
离称为焦距,记为2c。若设M为椭圆上的

任意一点,则|MF1|+|MF2|=2a

注:定义中对“常数”加上了一个条件, 1
即距离之和要大于|F1F2| (2a>2c,a>c>0) 2
3

化 列设建简式点系

方为程是定:椭椭值ax圆22圆,+的上设by标的为22 准=点2a1方满,?程足则ay .>|2PabF>>12|c0+? | PF2 |

焦点为:|FP1F( 1-|c= ,

0?

x)、+ cF?22P(+(cyx

2
,,

y0))

若以| PFF12,|= F?2所x -在c?2的+ 直y2 线为y轴,

线直则段角:坐F1标F? x2系的+,c垂?2F推直+1?-导yc平2, 0出+?分O的线? x方为-Fc2程??xc2 ,+轴又0?y建是2 =x立怎2a

y

样的?呢?? x + c?2 + y2 = 2a - ? x - c?2 + y2

方程设 也? ? :是Pbxa?(椭x222x-++c,圆cx?a=2yy的+a22)y是标=?2 x=1椭准-4ca??圆方22a-+4上程>ya2 b任.? x>-意c0?2一?+ 点y2 ?

?

x

F2
- c?2 +
O

y2

P

x

焦注的:点设设即垂?椭为点|:F直?a圆以的a1:2F2ax-的平F中-22Fc2c12+|焦(1=2点分=?、b0y2x点b22为c线2,2F=,+-在?坐c12ba为)所2坐则?>标、ya02y标>在有原?F=b轴得2a轴点(>直F2 0?建0上1.a?线(,2-,c立-cc为),且2直? 0两x角)、轴焦坐F,标2(线cF系,1段.0)F1F2

椭圆的标准方程的再认识:

YM M

F1

O

(-c,0)

F2 X
(c,0)

Y
F2(0 , c)

O

X

F1 (0,-c)

x2 y2 a2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)

y2 x2 a2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1

(2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。

(3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。

(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在

哪一个轴上。

4.根据所学知识完成下表

标准方程



图形





x2 + y2 = 1?a > b > 0?
a2 b2 y P

F1 O F2

x

x2 + y2 = 1?a > b > 0?
b2 a2 y

F2

P

O

x

F1

焦点坐标

F1 ?-c , 0?,F2 ?c , 0?

F1 ?0?,?- c?,F2 ?0?,?c?



定义

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹

同 点

a、b、c 的关系

a2 = b2 + c2

焦点位置的判断 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

1.

x2 52

?

y2 32

? 1,则a=

5

,b=

3



2.

x2 42

?

y2 62

? 1,则a=

6

,b= 4



3. x2 ? y2 ? 1,则a= 3 ,b= 2 ;
94

4. x2 ? y2 ? 1,则a= 7 ,b= 3 .
37

2.判定下列椭圆的焦点在什么轴上,写出焦点 坐标

x2 ? y2 ?1 25 16
x2 ? y2 ?1 144 169

答:在 X 轴上,(-3,0)和(3,0) 答:在 y 轴上,(0,-5)和(0,5)

3x2 ? 2y2 ? 6

答:在y 轴上,(0,-1)和(0,1)

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上。

(1)已知椭圆的方程为: x2 ? y2 ? 1 ,则 25 16
a=__5___,b=__4_____,c=___3____,焦点坐标 为:__(_3,_0_)、__(_-3_,0_)__焦距等于___6___;若CD为过 左焦点F1的弦,则△F2CD的周长为_2_0______
C

F1

F2

D

(2)已知椭圆的方程为: x2 ? y2 ? 1 ,则 45
a=___5__,b=___2____,c=____1___,焦点坐标 为:__(0_,_-1_)_、_(_0_,1_)_焦距等于___2_______;曲线 上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一个 焦点F2的距离等于___2___5_?__3,则△F1PF2的 周长为__2___5_?__2___
y

F2

P

O

x

F1

动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和为8,则
动点P的轨迹为-------------( B )

A.椭圆

B.线段F1F2

C.直线F1F2

D.不能确定

例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0), 椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10;

解:∵ ∴

椭圆的焦点在x轴上x2 设它的标准方程为 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

b

?

0)

∵ 2a=10, 2c=8

∴ a=5, c=4

?b2 ? a2 ? c2 ? 52 ? 42 ? 9
∴ 所求的椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ?1 25 9

(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),

并且椭圆经过点

? ??

?

3 2

,

5 2

? ??

解:∵ 椭圆的焦点在y轴上,

∴ 设它的标准方程为 由椭圆的定义知,

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a

?

b

?

0)

2a ?

? ??

?

3 2

2
? ? ?

?

? ??

5 2

?

2
2?? ?

?

? ??

?

3 2

2
? ? ?

?

? ??

5 2

?

2

2
? ? ?

? 2 10 ?a ? 10

又 ∵ c=2 ?b2 ? a2 ? c2 ?10 ? 4 ? 6
∴ 所求的椭圆的标准方程为 y2 ? x2 ? 1 10 6

求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a= 6 ,b=1,焦点在x轴上; x2 ? y2 ? 1
6

(2)焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5;

y2 25

?

x2 16

?1

(3)两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且过

P( 5 ,? 3
22

)点;x2 ? y2
10 6

?1

(4)经过点P(-2,0)和Q(0,-3).

y2 ? x2 ? 1

94

小结:求椭圆标准方程的步骤: ①定位:确定焦点所在的坐标轴; ②定量:求a, b的值.

例2.已知方程x2 + y2 =1表示焦点在x轴上的椭圆,则m

的取值范围是 4

m
(0,4)

.

变1:已知方程 x2 + y2 = 1 表示焦点在y轴上的 m -1 3-m

椭圆,则m的取值范围是(1,2)

.

变2:方程

x2 25-m

+ y2 16+m

=1

,分别求方程满足下列条

件的m的取值范围:

-16<m<25

①表示一个圆;m=9/2

②表示一个椭圆;

③表示焦点在x轴上的椭圆。-16<m<9/2

当2a>2c,即距离之和大于焦距时。

当2a=2c时,即距离之和等于焦距时

当2a<2c时,即距离之和小于焦距时

复习总结

标准方程



图形





x2 + y2 = 1?a > b > 0?
a2 b2 y P

F1 O F2

x

x2 + y2 = 1?a > b > 0?
b2 a2 y

F2

P

O

x

F1

焦点坐标

F1 ?-c , 0?,F2 ?c , 0?

F1 ?0?,?- c?,F2 ?0?,?c?



定义

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹

同 点

a、b、c 的关系

a2 = b2 + c2

焦点位置的判断 分母哪个大,焦点就在哪个轴上


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