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专题辅导六(1)三角形纯在性问题


暑期辅导专题六存在性问题

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结合 2012 年全国各地中考的实例, 我们从七方面进行动态几何之存在性问 题的探讨: (1)等腰(边)三角形存在问题; (2)直角三角形存在问题; (3) 平行四边形存在问题; (4)矩形、菱形、正方形存在问题; (5)梯形存在问题; (6)全等、相似三角形存在问题; (7)其它存在问题。

一、等腰(边)三角形

、直角三角形 存在问题:

典型例题:例 1:如图,点 A(-2,3) B(0,2). ,点
(1)是否在 x 轴上存在点 P 使△ PAB 为等腰三角形,若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (2)是否在 x 轴上存在点 P 使△ PAB 为直角三角形,若存在,请求出点 P 的 坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点 P 是 x 轴上任意一点,则当 PA-PB 最大时,求点 P 的坐标.

2: (2012 湖南邵阳 12 分)如图所示,直线 y= ? x+b 与 x 轴相交于点 A(4,0) , 与 y 轴相交于点 B,将△ AOB 沿着 y 轴折叠,使点 A 落在 x 轴上,点 A 的对 应点为点 C. ⑴求点 C 的坐标; ⑵设点 P 为线段 CA 上的一个动点,点 P 与点 A、C 不重合,连结 PB,以点 P 为端点作射线 PM 交 AB 于点 M,使∠BPM=∠BAC ① 求证:△ PBC∽△MPA; ② 是否存在点 P 使△ PBM 为直角三角形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不 存在,请说明理由。

3 4

5. (2012 广东梅州 11 分)如图,矩形 OABC 中,A(6,0) 、C(0,2 (0,3

) 、D

) ,射线 l 过点 D 且与 x 轴平行,点 P、Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动

点,满足∠PQO=60° .

(1)①点 B 的坐标是 (直接写出答案)

;②;当点 Q 与点 A 重合时,点 P 的坐标为



(2) OA 的中心为 N, 与线段 AC 相交于点 M, 设 PQ 是否存在点 P, 使△AMN 为等腰三角形?若存在,请直接写出点 P 的横坐标为 m;若不存在,请说明理 由. (3)设点 P 的横坐标为 x,△OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S,试 求 S 与 x 的函数关系式和相应的自变量 x 的取值范围.

例 2:2012 重庆市 12 分) ( 已知: 如图, 在直角梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠B=90° , AD=2,BC=6,AB=3.E 为 BC 边上一点,以 BE 为边作正方形 BEFG,使正 方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧. (1)当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时,求 BE 的长; (2)将(1)问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移,记平移中的正方形 BEFC 为正方形 B′EFG,当点 E 与点 C 重合时停止平移.设平移的距离为 t,正方形 B′EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M,连接 B′D,B′M,DM,是否存在这样的 t,使 △B′DM 是直角三角形?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由; (3) (2) 在 问的平移过程中, 设正方形 B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为 S, 请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式以及自变量 t 的取值范围.

(2)存在满足条件的 t,理由如下: 如图②, 过点 D 作 DH⊥BC 于 H, 则 BH=AD=2,DH=AB=3, 由题意得: BB′=HE=t, HB′=|t﹣2|, EC=4﹣t, ∵EF∥AB,∴△MEC∽△ABC。

∴ ME = EC ,即 ME = 4 ? t 。∴ME=2﹣ 1 t。
AB BC 3

在 Rt△B′ME 中, B′M =ME +B′E =2 + (2﹣ 1 t)= 1 t ﹣2t+8。
2 4

6 2

2

2

2 2

2

2

在 Rt△DHB′中,B′D =DH +B′H =3 +(t﹣2) =t ﹣4t+13。 过点 M 作 MN⊥DH 于 N,则 MN=HE=t,NH=ME=2﹣ 1 t,
2

2

2

2

2

2

2

∴DN=DH﹣NH=3﹣(2﹣ 1 t)= 1 t+1。 在 Rt△DMN 中,DM =DN +MN =( 1 t+1) + t = 5 t +t+1。
2 4

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2 2

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2

(Ⅰ)若∠DB′M=90°,则 DM =B′M +B′D , 即 t +t+1=( t ﹣2t+8)+(t ﹣4t+13) ,解得:t= (Ⅱ)若∠B′MD=90°,则 B′D =B′M +DM , 即 t ﹣4t+13=( t ﹣2t+8)+( t +t+1) ,解得:t1=﹣3+ t2=﹣3﹣
17 (舍去) 。

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2

2

5 2 4

1 2 4

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20 7



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2

2

2

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5 2 4

17 ,

∴t=﹣3+

17 。

(Ⅲ)若∠B′DM=90°,则 B′M =B′D +DM , 即 t ﹣2t+8=(t ﹣4t+13)+( t +t+1) ,此方程无解。 综上所述,当 t=
20 7
1 2 4

2

2

2

2

5 2 4

或﹣3+

17 时,△B′DM

是直角三角形;

?1 2 ? 4? ?4 t ?0 ? t ? 3 ? ? ? ? ? 1 2 2? 4 ? ?? t ? t ? ? <t ? 2 ? 8 3? 3 ? (3) S ? ? 。 ? ?? 3 t 2 ? 2t ? 5 ? 2<t ? 10 ? ? ? ? 8 3? 3? ? ?? 1 t ? 5 ? 10 <t ? 4 ? ? ? ? 2 2? 3 ? ?

(相视存在性) (苏州 2013 年中考 28 题(本题满分 9 分)如图,点 O 为矩形 ABCD 的对称中 心,AB=10cm,BC=12cm.点 E,F,G 分别从 A,B,C 三点同时出发,沿 矩形的边按逆时针方向匀速运动,点 E 的运动速度为 1cm/s,点 F 的运动速度 为 3cm/s,点 G 的运动速度为 1.5cm/s.当点 F 到达点 C(即点 F 与点 C 重 合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF 关于直线 EF 的对称图 形是△EB'F,设点 E,F,G 运动的时间为 t(单位:s) . (1)当 t= ▲ s 时,四边形 EBFB'为正方形; (2)若以点 E,B,F 为顶点的三角形与以点 F,C,G 为顶点的三角形相似, 求 t 的值; (3)是否存在实数 t, 使得点 B'与点 O 重合?若存在, 求出 t 的值; 若不存在, 请说明理由.

(相识) 27.(本题 8 分)如图①,在△ABC 中,AB=AC,BC=a ㎝,∠B=30°。动点 P 以 1 ㎝/s 的速度从点 B 出发,沿折线 B→A→C 运动到点 C 时停止运动,设点 P 出发 x s 时,△PBC 的面积为 y cm2 ,已知 y 与 x 的函数图象如图②所示,请根 据图中信息,解答下列问题: (1)试判断△DOE 的形状,并说明理由; (2)当 n 为何值时,△DOE 与△ABC 相似?

y
1

A P B 图①
-1

O
-1

1

2

C

图②

x

28. (12 分) (2013?宿迁)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠B=90°,且 AB=10,BC=6,CD=2.点 E 从点 B 出发沿 BC 方向运动,过点 E 作 EF∥AD 交边 AB 于点 F.将△ BEF 沿 EF 所在的直线折叠得到△ GEF,直线 FG、EG 分 别交 AD 于点 M、N,当 EG 过点 D 时,点 E 即停止运动.设 BE=x,△ GEF 与梯形 ABCD 的重叠部分的面积为 y. (1)证明△ AMF 是等腰三角形; (2)当 EG 过点 D 时(如图(3),求 x 的值; ) (3)将 y 表示成 x 的函数,并求 y 的最大值.

考 点: 分

相似形综合题.

(1)由条件 EF∥AD 就可以得出∠A=∠EFB,∠GFE=∠AMF,由△ GFE

析: 与△ BFE 关于 EF 对称可以得出∠GFE=∠BFE, 就可以得出∠A=∠AMF, 从而得出结论; (2)当 EG 过点 D 时在 Rt△ EDC 中由勾股定理建立方程求出其解即可; (3)分情况讨论当点 G 不在梯形外时和点 G 在梯形之外两种情况求出 x 的值就可以求出 y 与 x 之间的函数关系式, 在自变量的取值范围内就可以 求出相应的最大值,从而求出结论; 解 (1)证明:如图 1,∵EF∥AD,

答: ∴∠A=∠EFB,∠GFE=∠AMF. ∵△GFE 与△ BFE 关于 EF 对称, ∴△GFE≌△BFE, ∴∠GFE=∠BFE, ∴∠A=∠AMF, ∴△ AMF 是等腰三角形;

(2)解:如图 1,作 DQ⊥AB 于点 Q, ∴∠AQD=∠DQB=90°. ∴AB∥DC, ∴∠CDQ=90°. ∴∠B=90°, ∴四边形 CDQB 是矩形, ∴CD=QB=2,QD=CB=6, ∴AQ=10﹣2=8. 在 Rt△ ADQ 中,由勾股定理得 AD= =10,

∴tan∠A= , ∴tan∠EFB= = 如图 3,∵EB=x, ∴FB= x,CE=6﹣x, ∴AF=MF=10﹣ x, ∴GM= ,

∴GD=2x﹣ , ∴DE= ﹣x, 在 Rt△ CED 中,由勾股定理得 ( ﹣x) ﹣(6﹣x) =4, 解得:x= ,
2 2

∴当 EG 过点 D 时 x= ;

(3)解:当点 G 在梯形 ABCD 内部或边 AD 上时, y= x? x= x , 当点 G 在边 AD 上时,易求得 x= , 此时 0<x≤ , 则当 x= 时,y 最大值为 . 当点 G 在梯形 ABCD 外时, ∵△GMN∽△GFE, ∴ ,
2


2

,由(2)知,x≤
2

y═﹣2x +20x﹣ =﹣2(x﹣5) + ( <x≤ ) , 当 x=5 时,y 最大值为 , 由于 > ,故当 x=5 时,y 最大值为 .


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