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黑龙江省大庆第一中学2014届高三高考最后一次冲刺模拟考试数学文试题


黑龙江省大庆第一中学 2014 届高三高考最后一次冲刺模拟 考试数学文试题
第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 z ? A.-2+2i
2 ,则 z 2 ? z ? z 等于 1? i

B.2i

C.-2-2i

D.-2i

2.函数 f ( x) ? 2x ? 3x 的零点所在的一个区间是 A. (?2, ?1) C. (0,1) B. (?1,0) D. (1, 2)

3.已知等差数列 {an } 的公差为 d (d ? 0) ,且 a3 ? a6 ? a10 ? a13 ? 32 ,若 am ? 8 ,则 m 的值为 A.12 4.已知样本: 10 8 A.5.5 ~ 7.5 A.8 种 8 9 6 11 10 9 13 12 8 9 10 10 12 11 11 12 7 11 D.11.5 ~ 13.5 D.20 种 B.8 C.6 D.4

那么频率为 0.2 的范围是 B.7.5 ~ 9.5 B.12 种 C.9.5 ~ 11.5 C.16 种 5.从正方体的 6 个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有

6.若函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 4ln x ,则 f '( x) ? 0 的解集为 A. (0, ??) C. (2, ??) B. (?1,0) D. (?1,0)
(2, ??)

7.如图,若程序框图输出的 S 是 126,则判断框①中应为 A. n ? 5? C. n ? 7 ? B. n ? 6? D. n ? 8?

8.已知一个空间几何体的三视图如右图所示,根据图中标出 的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是 A.4 cm3 C.6 cm3 B.5 cm3 D.7 cm3

9.若抛物线 y2 = 2px(p>0)上一点到焦点和抛物线的对称轴

的距离分别是 10 和 6,则 p 的值为 A.2 B.18 C.2 或 18 D.4 或 16

?y ? x ?2 x ? 3 y ? 0 ? 10.不等式组 ? 表示的平面区域是三角形,则 a 的取值范围是 ? x ? y ? 10 ? ?x ? 3y ? a ? 0

A.a ≥ 0 或-10 < a ≤ -6 C.-10 < a < -6

B.-10 < a ≤ -6 D.a ≥ 0

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在题中的横线上。 11.若向量 a,b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 12.若 cos(? ?

? ,则 | 2a ? b |? __________。 3

?
6

) ? sin ? ?

3 3 5? ,则 sin(? ? ) ? __________。 5 6

13.正四面体 ABCD 的棱长为 4,E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面,则截面面积 的最小值为__________。 14.双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 中,F 为右焦点,A 为左顶点,点 B (0, b) 且 AB⊥BF,则 a 2 b2

此双曲线的离心率为__________。 三、选考题:考生只能从中选做一题,两题都做的,只记前一题的分。本小题 5 分。 15. (1) (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 的 正半轴,建立平面直角坐标系。则曲线 C 的普通方程为__________。 (2) (不等式选做题) 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为__________。 四、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 三角形 ABC 中,内角 A , B , C 所对边 a , b , c 成公比小于 1 的等比数列,且
sin B ? sin( A ? C ) ? 2sin 2C 。

(1)求内角 B 的余弦值; (2)若 b ? 3 ,求 ΔABC 的面积。 17.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , Sn ?1 ? 4an ? 2 (1)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (2)求数列 {an } 的通项公式。

18. (本小题满分 12 分) 实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核测试,在本次考核中只有 合格和优秀两个等次,若考核为合格,则授予 10 分降分资格;考核为优秀,授予 20 分降分 资格。假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 立。 (1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率; (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得的降分之和为随 机变量 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? 。 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA⊥底面 ABCD, AB 垂直于 AD 和 BC,SA = AB = BC = 2, AD = 1。 M 是棱 SB 的中点. (1)求证:AM∥面 SCD; (2)求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值; (3)设点 N 是直线 CD 上的动点,MN 与面 SAB 所成的角为 θ,求 sinθ 的最大值。 20. (本题满分 13 分)
2 2 1 、 、 ,他们考核所得的等次相互独 3 3 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,上顶点为 A ,过点 A 作垂直于 AF 直 a 2 b2 8 线交椭圆 C 于另外一点 P ,交 x 轴正半轴于点 Q ,且 AP ? PQ 5
设椭圆 C: (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A, Q, F 三点的圆恰好与直线 l: x ? 3 y ? 5 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程。 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?
1? a ?1( a ? R ) x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 0 ? a ? 1 时,试讨论 f ( x) 的单调性.

? sin( A ? C) ? sin( A ? C) ? 4sin C cos C ? sin A ? 2sin C ……………………….2 分

? a ? 2c
…………4 分 又因为 b2 ? ac ? 2c 2

……………



bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列.
an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

(2)由(1)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 2 2 4 4 4

? 数列 {

18.解: (1)记“甲考核为优秀”为事件 A,“乙考核为优秀”为事件 B,“丙考核为优秀”为事件 C,

“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件 E. 则事件 A、B、C 是相互独立事件,事件 A BC 与事件 E 是对立事件,于是

所以 ? 的分布列为

?
P

30

40

50

60

1 18

5 18

8 18

4 18
……12 分

E? ? 30 ?

1 5 8 4 145 ? 40 ? ? 50 ? ? 60 ? ? . 18 18 18 18 3

19.解: (Ⅰ )以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则

z A(0,0,0) , B(0,2,0) , C (2,2,0) , D(1,0,0) , S (0,0,2) , M (0,1,1) . S M B N A D x y C

则 AM ? ? 0,1,1? , SD ? ?1, 0, ?2 ? , CD ? ? ?1, ?2, 0 ? . 设平面 SCD 的法向量是 n ? ? x, y, z ? , 则

? ?SD ? n ? 0, ? x ? 2 z ? 0, ?? 即? ? x ? 2 y ? 0. ? ?CD ? n ? 0, ?
令 z ? 1,则 x ? 2, y ? ?1,于是 n ? (2,?1,1) .

? AM ? n ? 0 ,? AM ? n .
平面 SCD. ……………………………………………………(4 分) ? AM∥ (Ⅱ )易知平面 SAB 的法向量为 n1 ? ?1,0,0? .设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为

?,

则 cos? ?

n1 ? n n1 ? n

?

?1, 0, 0 ? ? ? 2, ?1,1?
1? 6

?

2 1? 6

?

6 6 ,即 cos? ? . 3 3

? 平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为

6 .……………………………… (8 分) 3

(Ⅲ )设 N ? ? x, 2x ? 2,0? , ,则 MN ? ? x,2x ? 3, ?1? . 又,面 SAB 的法向量为 n1 ? ?1,0,0? ,

所以, sin ? =

? x, 2 x ? 3, ?1? ? ?1, 0, 0 ? ? 2 2 x 2 ? ? 2 x ? 3? ? ? ?1? ?1
? 1 1 3 7 10( ? ) 2 ? x 5 5
.

x 5 x 2 ? 12 x ? 10

?

1 . 1 1 5 ? 12 ? 10 2 x x

?

1 1 1 10( ) 2 ? 12( ) ? 5 x x



1 3 5 35 ? ,即 x ? 时,sin ? max ? .…………………………………………(14 分) x 5 3 7

20.解:⑴ 设 Q( x0 ,0) ,由 F( ? c ,0) (0, b )知 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b)

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?
设 P ( x1 , y1 ),由AP ?

b2 c

8b 2 5 8 , y1 ? b PQ ,得 x1 ? 13c 13 5

8b 2 2 5 ) ( b) 2 13c ? 13 ?1 因为点 P 在椭圆上,所以 a2 b2 (
整理得 2b 2 ? 3ac ,即 2( a 2 ? c 2 )=3 ac , 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e =

1 2

b2 3 ⑵ 由⑴ 知 2b ? 3ac,得 ? a; c 2
2



1 c 1 1 , ? ,得c ? a ,于是 F(- a ,0) 2 a 2 2

Q ( a ,0 )

3 2

1 | a ?5| 1 1 △ AQF 的外接圆圆心为( a, 0) ,半径 r= |FQ|= a 所以 2 ? a ,解得 a =2, 2 2 2
∴ c=1,b= 3 ,

所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

21. (1)

y ? ln x ? x ?

2 ? 1( x ? 0) x

, y? ?

1 2 ? 1 ? 2 , f ?(2) ? 1 x x

切线: y ? x ? ln 2 (2)

??5分

y? ? ?

( x ? 1)( ax ? a ? 1) ( x ? 0) x2

① a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1,??) 单调递增; ②0 ? a ? ③a ?

1? a 1 1? a ) 单调递增, ,?? ) 单调递减; 时, f ( x) 在 (0,1) 单调递减,(1, 在( a 2 a

1 时, f ( x) 在 (0,??) 单调递减; 2 1? a 1? a 1 ) 单调递减,在 ( ,1) 单调递增,在 (1,??) 单调递 ④ ? a ? 1 时, f ( x) 在 (0, a a 2
减; ⑤ a ? 1 时, f ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1,??) 单调递减;

??12分


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