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铁山区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

铁山区三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 在△ ABC 中,a2=b2+c2+bc,则 A 等于( A.120° B.60° C.45° D.30° 2. 在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是(
2 2 2

姓名__________


分数__________

)1111] D. [

A. (0,

?
6

]

B. [

?
6

,? )

C. (0,

?
3

]

?
3

,? )

3. 若 sin( A、 ?

?
3

?? ) ?

7 8

1 ? ,则 cos( ? 2? ) ? 4 3 1 1 7 B、 ? C、 D、 4 8 4


4. 已知函数 f(x)=x4cosx+mx2+x(m∈R),若导函数 f′(x)在区间[﹣2,2]上有最大值 10,则导函数 f′ (x)在区间[﹣2,2]上的最小值为( A.﹣12 B.﹣10 C.﹣8 D.﹣6 5. 已知正方体的不在同一表面的两个顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3),则正方体的棱长等于( A.4 A. B. C. B.2 D. ) C. D.2 ) )

6. 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率是(

7. 已知函数 f(x)= ﹣log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 8. 已知 a,b 都是实数,那么“a2>b2”是“a>b”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9. 在空间中,下列命题正确的是( ) A.如果直线 m∥平面 α,直线 n?α 内,那么 m∥n B.如果平面 α 内的两条直线都平行于平面 β,那么平面 α∥平面 β C.如果平面 α 外的一条直线 m 垂直于平面 α 内的两条相交直线,那么 m⊥α D.如果平面 α⊥平面 β,任取直线 m?α,那么必有 m⊥β )

10.设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={2,3,4},B={2,5},则 B∪(? UA)=( A.{5} B.{1,2,5}
2



C.{1,2,3,4,5} D.?

11. 已知曲线 C : y ? 4x 的焦点为 F , 过点 F 的直线与曲线 C 交于 P, Q 两点, 且 FP ? 2FQ ? 0 , 则 ?OPQ
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的面积等于( A. 2 2

) C.

B. 3 2

3 2 2

D.

3 2 4
) D.(0,2) C.(2,0)

12.函数 y=ax+1(a>0 且 a≠1)图象恒过定点( A.(0,1) B.(2,1)

二、填空题
13.已知 x、y 之间的一组数据如下: x 0 1 y 8 2 则线性回归方程 2 6 3 4 . 交于 A,B 两点,C1 与 C2 的 = .

所表示的直线必经过点

14.抛物线 C1:y2=2px(p>0)与双曲线 C2:

两条渐近线分别交于异于原点的两点 C,D,且 AB,CD 分别过 C2,C1 的焦点,则

15.已知函数 f ( x) ? sin x ? a (0 ? x ? 16.已知 f(x)=

5? ) 的三个零点成等比数列,则 log2 a ? 2


.

,则 f(﹣ )+f( )等于

17.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的 数据,结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这 50 名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时.

18.在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为 ①函数 y=2x +3x﹣1 的图象关于点(0,1)成中心对称; ②对?x,y∈R.若 x+y≠0,则 x≠1 或 y≠﹣1; ③若实数 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最大值为 ;
3



④若△ ABC 为锐角三角形,则 sinA<cosB. ⑤在△ ABC 中,BC=5,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心,且 ? =5,则△ ABC 的形状是直角三角形.

三、解答题
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19.已知数列{an}共有 2k(k≥2, k∈Z) 项,a1=1,前 n 项和为 Sn,前 n 项乘积为 Tn,且 an+1=(a﹣1)Sn+2(n=1, 2,…,2k﹣1),其中 a=2 (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)若|b1﹣ |+|b2﹣ |+…+|b2k﹣1﹣ |+|b2k﹣ |≤ ,求 k 的值. ,数列{bn}满足 bn=log2 ,

20.已知 p:﹣x2+2x﹣m<0 对 x∈R 恒成立;q:x2+mx+1=0 有两个正根.若 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题, 求 m 的取值范围.

21.(本小题满分 10 分)直线 l 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ ≠0),其中 α∈[0,π),曲线 C1 的参数方

? ?x=cos t 程为? (t 为参数),圆 C2 的普通方程为 x2+y2+2 3x=0. ?y=1+sin t ?
(1)求 C1,C2 的极坐标方程; (2)若 l 与 C1 交于点 A,l 与 C2 交于点 B,当|AB|=2 时,求△ABC2 的面积.

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22.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 ,求 b,c.

asinC﹣ccosA.

23.如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 DD1、C1D1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 ADC1B1⊥平面 A1BE; (Ⅱ)证明:B1F∥平面 A1BE; (Ⅲ)若正方体棱长为 1,求四面体 A1﹣B1BE 的体积.

24.选修 4﹣5:不等式选讲 已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 恒成立,求 k 的取值范围.

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铁山区三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:根据余弦定理可知 cosA=
2 2 2 ∵a =b +bc+c , 2 2 2 ∴bc=﹣(b +c ﹣a )

∴cosA=﹣ ∴A=120° 故选 A 2. 【答案】C 【 解 析 】

考点:三角形中正余弦定理的运用. 3. 【答案】A 【解析】 选 A,解析: cos[? ? ( ? ? 2? )] ? ? cos( ? ? 2? ) ? ?[1 ? 2sin (
2

2 3

2 3

?
3

? ? )] ? ?

7 8

4. 【答案】C
3 4 【解析】解:由已知得 f′(x)=4x cosx﹣x sinx+2mx+1, 3 4 令 g(x)=4x cosx﹣x sinx+2mx 是奇函数,

由 f′(x)的最大值为 10 知:g(x)的最大值为 9,最小值为﹣9, 从而 f′(x)的最小值为﹣9+1=﹣8. 故选 C. 【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质.属于常规题,难度不大. 5. 【答案】A

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【解析】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点 A(﹣1,2,﹣1),B(3,﹣2,3), ∴AB 是正方体的体对角线,AB= 设正方体的棱长为 x, 则 故选:A. 【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式,以及正方体的体积的有关知识,属于基础题. 6. 【答案】A 【解析】解:从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5), (1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共 10 个, 取出的 3 个数可作为三角形的三边边长,根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有(2,3,4), (2,4,5),(3,4,5)共 3 个, 故取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率 P= 故选:A. 【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件. 7. 【答案】C 【解析】解:∵f(x)= ﹣log2x, ∴f(2)=2>0,f(4)=﹣ <0, 满足 f(2)f(4)<0, ∴f(x)在区间(2,4)内必有零点, 故选:C 8. 【答案】D
2 2 【解析】解:∵“a >b ”既不能推出“a>b”; 2 2 反之,由“a>b”也不能推出“a >b ”. 2 2 ∴“a >b ”是“a>b”的既不充分也不必要条件.



,解得 x=4.

∴正方体的棱长为 4,



故选 D. 9. 【答案】 C

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【解析】解:对于 A,直线 m∥平面 α,直线 n?α 内,则 m 与 n 可能平行,可能异面,故不正确; 对于 B,如果平面 α 内的两条相交直线都平行于平面 β,那么平面 α∥平面 β,故不正确; 对于 C,根据线面垂直的判定定理可得正确; 对于 D,如果平面 α⊥平面 β,任取直线 m?α,那么可能 m⊥β,也可能 m 和 β 斜交,; 故选:C. 【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用,考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的 位置关系,同时考查了推理能力,属于中档题. 10.【答案】B 【解析】解:∵CUA={1,5} ∴B∪(?UA)={2,5}∪{1,5}={1,2,5}. 故选 B. 11.【答案】C 【解析】

∴ ( x1 ?1, y1 ) ? 2( x2 ?1, y2 ) ? (0,0) , ∴ y1 ? 2 y2 ? 0 ③, 联立①②③可得 m ?
2

1 , 8

∴ y1 ? y2 ? ∴S ?

( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 3 2 .

1 3 2 OF y1 ? y2 ? . 2 2

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(由 ?

? ? y1 y2 ? ?4 ? y1 ? 2 2 ? ? y1 ? ?2 2 ,得 ? 或? ) ? y1 ? 2 y2 ? 0 ? ? y2 ? ? 2 ? ? y2 ? 2

考点:抛物线的性质. 12.【答案】D
0 【解析】解:令 x=0,则函数 f(0)=a +3=1+1=2. x ∴函数 f(x)=a +1 的图象必过定点(0,2).

故选:D.
0 【点评】本题考查了指数函数的性质和 a =1(a>0 且 a≠1),属于基础题.

二、填空题
13.【答案】 ( ,5) .

【解析】解:∵ 故选 C



=5

∴线性回归方程 y=a+bx 所表示的直线必经过点(1.5,5) 【点评】解决线性回归直线的方程,利用最小二乘法求出直线的截距和斜率,注意由公式判断出回归直线一定 过样本中心点. 14.【答案】 .

【解析】解:由题意,CD 过 C1 的焦点,根据 由 AB 过 C2 的焦点,得 A(c, ∵A(c,4a)在 C1 上,
2 ∴16a =2pc,

,得 xC= ,∴b=2a;

),即 A(c,4a),

又 c= ∴a= ∴

a, , = = .

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故答案为:



【点评】本题考查双曲线、抛物线的简单性质,考查学生的计算能力,属于中档题. 15.【答案】 ?

1 2

考点:三角函数的图象与性质,等比数列的性质,对数运算. 【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则,属中档题.把等比数列与三 角函数的零点有机地结合在一起,命题立意新,同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识 解决问题的能力,是一道优质题. 16.【答案】 4 .

【解析】解:由分段函数可知 f( )=2× = . f(﹣ )=f(﹣ +1)=f(﹣ )=f(﹣ ∴f( )+f(﹣ )= + 故答案为:4. 17.【答案】 0.9 . )=f( )=2× = ,

【解析】解:由题意, 故答案为:0.9 18.【答案】 :①②③

=0.9,

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3 【解析】解:对于①函数 y=2x ﹣3x+1=的图象关于点(0,1)成中心对称,假设点(x0,y0)在函数图象上,

则其关于①点(0,1)的对称点为(﹣x0,2﹣y0)也满足函数的解析式,则①正确; 对于②对?x,y∈R,若 x+y≠0,对应的是直线 y=﹣x 以外的点,则 x≠1,或 y≠﹣1,②正确;
2 2 对于③若实数 x,y 满足 x +y =1,则

=

2 2 ,可以看作是圆 x +y =1 上的点与点(﹣2,0)连线

的斜率,其最大值为

,③正确;

对于④若△ ABC 为锐角三角形,则 A,B,π﹣A﹣B 都是锐角, 即 π﹣A﹣B< 则 cosB<cos( ,即 A+B> ﹣A), ,B> ﹣A,

即 cosB<sinA,故④不正确. 对于⑤在△ ABC 中,G,O 分别为△ ABC 的重心和外心, 取 BC 的中点为 D,连接 AD、OD、GD,如图:则 OD⊥BC,GD= AD, ∵ 由 则 即 则 又 BC=5 则有 由余弦定理可得 cosC<0, 即有 C 为钝角. 则三角形 ABC 为钝角三角形;⑤不正确. 故答案为:①②③ , = |,

三、解答题
19.【答案】 【解析】(本小题满分 13 分) 解:(1)当 n=1 时,a2=2a,则 ;

当 2≤n≤2k﹣1 时,an+1=(a﹣1)Sn+2,an=(a﹣1)Sn﹣1+2,

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所以 an+1﹣an=(a﹣1)an,故
n 1+2+…+(n﹣1) = ∴Tn=a1×a2×…×an=2 a

=a,即数列{an}是等比数列, , .…
*



bn= (2)令 当 n≥k+1 时,

=

,则 n≤k+ ,又 n∈N ,故当 n≤k 时, .…



|b1﹣ |+|b2﹣ |+…+|b2k﹣1﹣ |+|b2k﹣ | = =(k+1+…+b2k)﹣(b1+…+bk) =[ = 由 ,
2 ,得 2k ﹣6k+3≤0,解得 *

+(

)+…+(

)…

+k]﹣[

]

,…

又 k≥2,且 k∈N ,所以 k=2.… 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查满足条件的实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注 意等比数列的性质和构造法的合理运用. 20.【答案】 【解析】解:若 p 为真,则△=4﹣4m<0,即 m>1 若 q 为真,则 ,即 m≤﹣2 … …

∵p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,则 p,q 一真一假 若 p 真 q 假,则 若 p 假 q 真,则 ,解得:m>1 ,解得:m≤﹣2 … … …

综上所述:m≤﹣2,或 m>1 21.【答案】

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?x=cos t ? 【解析】解:(1)由 C1:? (t 为参数)得 ? ?y=1+sin t
x2+(y-1)2=1, 即 x2+y2-2y=0, ∴ρ 2-2ρsin θ =0,即 ρ=2sin θ 为 C1 的极坐标方程, 由圆 C2:x2+y2+2 3x=0 得 ρ 2+2 3ρ cos θ =0,即 ρ=-2 3cos θ 为 C2 的极坐标方程. (2)由题意得 A,B 的极坐标分别为 A(2sin α ,α ),B(-2 3cos α ,α ). ∴|AB|=|2sin α +2 3cos α | π =4|sin(α+ )|,α ∈[0,π), 3 π 1 由|AB|=2 得|sin(α+ )|= , 3 2 π 5π ∴α = 或 α= . 2 6 π π 5π 当 α= 时,B 点极坐标(0, )与 ρ≠0 矛盾,∴α = , 2 2 6 5π 此时 l 的方程为 y=x· tan (x<0), 6 即 3x+3y=0,由圆 C2:x2+y2+2 3x=0 知圆心 C2 的直角坐标为(- 3,0), | 3×(- 3)| 3 ∴C2 到 l 的距离 d= = , 2 2 2 ( 3) +3 1 ∴△ABC2 的面积为 S= |AB|·d 2 1 3 3 = ×2× = . 2 2 2 3 即△ABC2 的面积为 . 2 22.【答案】 【解析】解:(1)c= 又,sinC≠0, 所以 sinA﹣cosA﹣1=0,即 2sin(A﹣ )=1, asinC﹣ccosA,由正弦定理有: sinA﹣cosA﹣1)=0,

sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0,即 sinC?(

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所以 A=

; ,所以 bc=4,

(2)S△ABC= bcsinA=

a=2,由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA,即 4=b2+c2﹣bc, 即有 解得 b=c=2. 23.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:∵ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体, ∴B1C1⊥平面 ABB1A1; ∵A1B?平面 ABB1A1, ∴B1C1⊥A1B. 又∵A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1, ∴A1B⊥平面 ADC1B1, ∵A1B?平面 A1BE, ∴平面 ADC1B1⊥平面 A1BE; (Ⅱ)证明:连接 EF,EF∥ 设 AB1∩A1B=O, 则 B1O∥C1D,且 ∴EF∥B1O,且 EF=B1O, ∴四边形 B1OEF 为平行四边形. ∴B1F∥OE. 又∵B1F?平面 A1BE,OE?平面 A1BE, ∴B1F∥平面 A1BE, (Ⅲ)解: = = = = . , ,且 EF= , ,

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24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由|ax+1|≤3 得﹣4≤ax≤2 ∵不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣2≤x≤1}. ∴当 a≤0 时,不合题意; 当 a>0 时, ∴a=2; (Ⅱ)记 , ,

∴h(x)=

∴|h(x)|≤1 ∵ ∴k≥1. 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查恒成立问题,将绝对值符号化去是关键,属于中档题. 恒成立,

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