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江西省赣州市十三县(市)2017届高三上学期期中联考数学(理)试题Word版含答案

2016—2017 学年第一学期赣州市十三县(市)期中联考
高三年级数学(理科)试卷
命题人:安远一中 审题人:信丰中学 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
? ? ? ? 1. 1. 若集合 M ? x | y ? x , N ? y | y ? x2 ? 2, x ? R ,则 M ? N ? ( )

A.[0, ??)

B.[?2, ??) C. ? D.[?2, 0)

2.若 1 ? 1 ? 0 ,则下列结论不正确的是( ) ab
A. a2 ? b2 B. ab ? b2 C. a ? b ? 0 D. a ? b ? a ? b
3.下列说法不正确的是( ) A.若“ p 且 q ”为假,则 p , q 至少有一个是假命题

B.命题“ ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ”
C.“? ? ? ”是“ y ? sin ?2x ??? 为偶函数”的充要条件
2
D.当? ? 0时,幂函数 y ? x?在?0, ??? 上单调递减

4. 记

f (x) ? 2 x

,a

?

?

f

???

log

1 3

4????,b ?

f ?log 2 5?, c ?

f ?0?, 则 a,b, c 的大小关系

为( )

A. a ? b ? c

B. c ? a ? b

C. a ? c ? b

D. c ? b ? a

5.函数 y ? 2sin(? ? 2x)(x ?[0, ? ]) 为增函数的区间是( ) 6

?

A. [0,

] 3

? B.[12 ,

7? ] 12

? C.[ 3 ,

5? ] 6

D.

[

5? 6

,

?]

? 2x ?1 , x ? 2,

6.

已知函数 f

?

x

?

?

? ?

3

若方程 f (x) ? a ? 0 有三个不同的实数根,则

? , x ? 2,

?x ?1

实数 a 的取值范围为( )

A. (1,3)

B. (0,3)

C. (0, 2)

D. (0,1)

7.已知向量 a , b 的夹角为 120°,且 a ? 2, b ? 3, 则向量 2a ? 3b 在向量

2a ? b 方向上的投影为( )

A. 8 3 13

B. 6 13 13

C. 5 6 6

D. 19 13 13

8.若函数 f (x) ? kax ? a ?x (a ? 0, a ? 1) 在 (??,??) 上既是奇函数又是增函数, 则函数 g(x) ? loga (x ? k) 的图象是( )

A

B

C

D

9.对于使 f (x) ? M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值叫做 f (x) 的

上确界,若 a ? 0 , b ? 0 且 a ? b ?1,则 ? 1 ? 2 的上确界为( )
2a b

A. 9 2

B. ? 9 2

C. 1 4

D. ?4

10.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x ? 6) ? f (x) .当 x???3,?1? 时,

f (x) ? ?(x ? 2)2 ,

当 x ???1,3? 时,f (x) ? x ,则 f 1)( ?(2)f 3()?f ???(2017) f

的值为( )

A.336

B.337

C.1676

D.2017

11.定义在 R 上的函数 f ? x? 满足: f ?x? ?1? f ??x?, f ?0? ? 0, f ??x?是f ?x? 的导函

数,则不等式 ex f ? x? ? ex ?1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( )

A. ?0, ??? B. ???, ?1? ??0, ??? C. ???,0? ??1,??? D. ??1,???

12.已知 a ? R ,若 f (x) ? (x ? a )e x 在区间(0,1)上只有一个极值点,则 a
x 的取值范围为( )

A. a ? 0

B. a ?1

C. a ?1

D. a ? 0

二、填空题(本大题共 4 小题,每空 5 分,共 20 分)
13.已知点 P??1, 2?,线段 PQ 的中点 M 的坐标为 ?1, ?1? .若向量 PQ 与向量

a ? (?,1) 共线,则 ? ? _____________.

14. 由直线 y =1, y ? 2 ,曲线 xy ? 1 及 y 轴所围成的封闭图形的面积是
__________.
15. 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ?an? 满 足 a1 a7? 4 , a?6 8, 若 函 数

f (x) ? a1 x ? a 2x 2 ?a x3 3? ??? ? a

x1

01的0导数为

f

'(x) ,则

f

'( 1) 2



.

a2
16.已知 a,b 为正实数,直线 y ? x ? a 与曲线 y ? ln(x ? b) 相切,则 2 ? b 的
取值范围___________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤)
17.(10 分) 已知命题:“ ?x ?{x | ?1 ? x ? 1} ,使等式 x2 ? x ? m ? 0 成立”是
真命题。 (Ⅰ)求实数 m 的取值集合 M ;
(Ⅱ)设不等式 (x ? a)(x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N ,若 x ? N 是 x ?M 的必要 条件,求 a 的取值范围。

18.(12 分) 如图,在四边形 ABCD中, ?ABC ? ? , AB : BC ? 2: 3, AC ? 7 . 3
(Ⅰ)求 sin ?ACB 的值;
(Ⅱ)若 ?BCD ? 3? , CD ?1,求 ??CD的面积. 4

? ? 19. (12 分)已知向量 a ? ??sin(x ? ? ),1?? , b ? 4,4 cos x ? 3 .

?

6?

(Ⅰ)若

a

?

b

,求 sin

? ??

x

?

4? 3

? ??

的值;

(Ⅱ)设

f

(x)

?

a?b

,若 ?

?

???0,

? 2

? ??

,

f

????

?? 6

? ??

?

2

3 ,求 cos? 的值.

20. (12 分) 某厂有容量 300 吨的水塔一个,每天从早六点到晚十点供应生活和 生产用水,已知:该厂生活用水每小时 10 吨,工业用水总量W (吨)与时间 t (单位:
小时,规定早晨六点时 t ? 0 )的函数关系为W ? 100 t ,水塔的进水量有 10 级,第
一级每小时进 水 10 吨,以后每提高一级, 进水量增加 10 吨.若某天水塔原有水 100 吨,在供应同时打开进水管.问该天进水量应选择几级,既能保证该厂用水 (即水塔中水不空),又不会使水溢出?

21. ( 12 分 ) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , a ? (a1,1),b ? (1, a10 ) , 若

a ? b ? 24, 且 S11 ? 143 , 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 且 满 足
2an ?1 ? ?Tn ? (a1 ? 1)(n ? N * ) .

(Ⅰ)求数列

?a

n

?

的通项公式及数列

? ? ?

an

1 an?1

? ? ?

的前

n

项和

M

n



(Ⅱ)是否存在非零实数 ? ,使得数列?bn? 为等比数列?并说明理由.

22.(12 分)已知 f (x) ? ln(mx ?1) ? 2(m ? 0) .

(Ⅰ)讨论 f (x) 的单调性;

(Ⅱ)若 m

?

0, g(x)

?

f

(x) ?

4 x?2

存在两个极值点 x1, x 2 且

g(x1) ?

g(x2 )

?

0,

求 m 的取值范围.

2016—2017 学年第一学期赣州市十三县(市)期中联考

高三年级数学(理科)参考答案

一、选择题

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答 案

A

D

C

B

C

D

D

C

B

B

A

A

二、填空题

13. ? ? ? 2 3
三、解答题

14. ln 2

15. 55 16. (0, 1)

4

2

17. 解析:(1)由题意知,方程 x2 ? x ? m ? 0 在(-1,1)上有解,即 m 的取值范围

就为函数 y ? x2 ? x 在(-1,1)上的值域,………………………………2 分

易得 M ? {m | ? 1 ? m ? 2}。………………………………5 分
4
(2)因为 x ? N 是 x?M 的必要条件,所以 M ? N .………………………………6 分

当 a ? 1时,解集 N 为空集,不满足题意;………………………………7 分

当 a ? 1时, a ? 2 ? a ,此时集合 N ? ?x 2 ? a ? x ? a?

则 2 ? a ? ? 1 且 a ? 2 解得 a ? 9 ;………………………………9 分

4

4

当 a ?1时, a ? 2 ? a ,

此时集合 N ? ?x a ? x ? 2 ? a? ,

则 a ? ? 1 且 2 ? a ? 2,解得 a ? ? 1 ,………………………………11 分

4

4

综上, a ? 9 或 a ? ? 1 。………………………………12 分

4

4

18. 解析:(1)由 AB : BC ? 2: 3,可设 AB ? 2x , BC ? 3x .又∵ AC ? 7 ,

?ABC ? ? , 3

∴由余弦定理,得 ( 7)2 ? (3x)2 ? (2x)2 ? 2?3x ? 2x cos ? ,…2 分 3

解得 x ?1,∴ AB ? 2 , BC ? 3,…4 分

由正弦定理,得 sin ?ACB ?

AB sin ?ABC

2? ?

3 2

?

21 .…6 分

AC

77

(2)由(1)得 cos ?ACB ? 2 7 …7 分 7

因为 ?BCD ? 3? , 所以 ?ACD ? ?ACB ? 3? ,sin ?ACD ? sin?? 3? ? ?ACB ?? …8 分

4

4

?4

?

? ? ? sin 3? cos ?ACB ? cos 3? sin ?ACB ? 2 ? 2 7 ? 2 ? 21 ? 2 ? 3 14 10 分

4

4

27 27

14

又因为 CD ? 1,所以 S ? 1 AC ? CD ? sin ?ACD ? 2 2 ? 6 …12 分

2

4

19.解析:(1)因为 a ? b ? a ? b ? 0 则 a ? b ? 4 sin(x ? ? ) ? 4 cos x ? 3
6

…………………………2 分

? 2 3 sin x ? 6 cos x ? 3

? 4 3 sin(x ? ? ) ? 3 ? 0 , 3

……………………………4 分

所以 sin(x ? ? ) ? 1 , 34

……………………………5 分

所以 sin(x ? 4? ) ? ?sin(x ? ? ) ? ? 1 .……………………………6 分

3

34

(2)由(1)知 f (x) ? 4 3 sin(x ? ? ) ? 3 , 3

所以由 f (? ? ? ) ? 2 3 得 sin(? ? ? ) ? 3 ,……………………………8 分

6

64

又?

?

???0,

? 2

? ??

,所以

?

?

? 6

?

?? ?? 6

,

2? 3

? ??



又因为

2 ?3? 24

3 2

,所以 ?

?

? 6

?

?? ?? 6

,

? 3

? ??

,……………………………10



所以 cos(? ? ? ) ? 7 , 64

所以 cos?

?

cos

???(?

?

? 6

)

?

? 6

? ??

……………………………11 分

= cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ?

66

66

= 7 ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? 21 . 4 2 42 8

…………………………12 分

20.解析:设水塔进水量选择第 n 级,在 t 时刻水塔中的水容量 y 等于水塔中的存

水量 100 吨加进水量10nt 吨,减去生产用水10t 吨,在减去工业用水W ? 100 t 吨, 即 y ? 100 ? 10nt ?10t ?100 t ( 0 ? t ? 16);……4 分

若水塔中的水量既能保证该厂用水,又不会使水溢出,则一定有 0 ? y ? 300 .

即 0 ? 100 ? 10nt ?10t ?100 t ? 300 ,……6 分

所以 ? 10 t

?

10 t

?1? n ?

20 t

? 10 t

?1对一切 t ? ?0,16? 恒成立.

……8 分

因为

? 10 ? t

10 t

? 1 ? ?10????

1 t

?

1 2

????

2

?

7 2

?

7 , 20 ? 10 2t t

?1 ? 20????

1 t

?

1 4

????

2

?1 4

? 19 ,…… 4

11 分

所以 7 2

?n

?

19 4

,即

n

?

4

.即进水选择

4

级.

……12



21. 解 :( Ⅰ ) 设 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d , 由 a ? (a1,1),b ? (1, a10 ) , a ? b ? 24, 得
a1?a10 ? 24 又 S11 ? 143 解 得 a1 ? 3, d ? 2 , 因 此 数 列 的 通 项 公 式 是 an ? 2n ? 1(n ? N * ) ,…3 分

所以 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ?? , an an?1 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

所以 M n

?

1 ?? 1 ? 2?3

1 5

?

1 5

?

1 7

?????

1? 2n ?1

1 ?? 2n ? 3 ?

?

n 6n ? 9

…6 分

(Ⅱ)因为 2an ?1

?

?Tn

? (a1

?1)(n ?

N * ) 且 a1

?

3 可得Tn

?

1 ?

4n

?

2 ?

,…7



当n

? 1时, b1

?

6 ?

;…8



当n ?

2时, bn

? Tn

? Tn?1

?

3 4n?1 ,此时有 bn

?

bn?1

?

4 ,…10 分

若是

?bn

?等比数列,则有有

b2 b1

? 4 ,而 b1

?

6 ?

, b2

? 12 ,彼此相矛盾, ?

故不存在非零实数,使数列为等比数列。…12 分

22.解:(1)由已知得 mx ?1 ? 0, f '(x) ? m ,…………………………1 分 mx ?1
①若 m ? 0时,由 mx ?1? 0 ,得: x ? ? 1 ,恒有 f '(x) ? 0 , m
∴ f (x) 在 (? 1 , ??) 递增;……………………………2 分 m
②若 m ? 0 ,由 mx ?1? 0 ,得: x ? ? 1 ,恒有 f '(x) ? 0 , m
∴ f (x) 在 (??, ? 1 ) 递减;……………………………4 分 m
综上, m ? 0时, f (x) 在 (? 1 , ??) 递增, m
m ? 0 时, f (x) 在 (??, ? 1 ) 递减;……………………………5 分 m
(2) g(x) ? ln(mx ?1) ? 4 ? 2, (m ? 0) , x?2
∴ g '(x) ? mx2 ? 4m ? 4 ,……………………………6 分 (mx ?1)(x ? 2)2

令 h(x) ? mx2 ? 4m ? 4 , m ? 1时, h(x) ? 0, g '(x) ? 0, g(x) 无极值点,

0 ? m ?1时,令 h(x) ? 0, 得: x1 ? ?2

1 m

?1



x2

?

2

1 ?1 ,……………7 分 m

由 g(x) 的定义域可知 x ? ? 1 且 x ? ?2 ,…… m

∴ ?2 1 ?1 ? ? 1 且 ?2 1 ?1 ? ?2 ,解得: m ? 1 ,………………………8 分

m

m

m

2

∴ x1 , x2 为 g(x) 的两个极值点,

即 x1 ? ?2

1 m

?1,

x2

?

2

1 ?1, m

且 x1 ? x2

? 0, x1

x2

?

4(m ?1) ,得: m

4

4

g(x1) ? g(x2 ) ? ln(mx1 ?1) ? x1 ? 2 ? 2 ? ln(mx2 ?1) ? x2 ? 2 ? 2

= ln(2m ?1)2 ? 2 ? 2 ,………………………9 分 2m ?1

令 t ? 2m ?1, F(t) ? ln t2 ? 2 ? 2 , t



0

?

m

?

1 2

时,

?1 ?

t

?

0

,∴

F (t )

?

2 ln(?t )

?

2 t

?

2

,∴

F

'(t)

?

2(t ?1) t2

?

0



∴ F(t) 在 (?1,0) 递减, F(t) ? F(?1) ? 0,………………………10 分



0

?

m

?

1 2

时,

g ( x1 )

?

g ( x2

)

?

0

成立,符合题意;



1 2

?

m

?

1

时,

0

?

t

? 1 ,∴

F (t )

?

2 ln

t

?

2 t

?

2,

F

'(t)

?

2(t ?1) t2

?

0

,

∴ F(t) 在(0,1)递减, F(t) ? F(1) ? 0 ,



1 2

?

m

?

1

时,

g ( x1 )

?

g ( x2

)

?

0

,不合题意,………………………11



综上, m ?(0, 1) .………………………12 分 2


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