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山西省忻州一中2014-2015学年高二下学期期中考试数学理试卷Word版含答案

2014-2015 学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学(理)
命题人:侯毅

一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

1.设集合∪=R,M={x||x|<2},N={y|y=2x-1},则(CUM)∪(CUN)=

()

A.(-1,2) B.(-∞,2] C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞)

2.设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为[?4,?2),则

点 P 横坐标的取值范围为

A.[-12,+∞)

B.[-1,0]

C.[0,1]

D.[12,1]

()

3.设函数 f '?x? 是函数 f ?x? 的导函数, y ? f '? x? 的图象如图所示,则 y ? f ? x? 的图象最

有可能的是 ()

4.右图是计算 1+3+5+…+99 的值的算法程序框图, 那么在空白

的判断框中, 应该填入下面四个选项中的

()

A. i≤101

B. i≤99

C. i≤97

D. i≤50

开始

i=1

5.若函数 f(x)= 3cos(2x+ )-sin(2x+ )的图象关于直线 x=0 对称,则 =

s=0 i=i+2
是 s=s+i
否( )

A. =k - 3 (k (k Z)

Z) B. =k - 6 (k

Z) C. =k

输出 s
+ 3 (k Z)
结束

D. =k + 6

6.已知| a |? 2 | b |,| b |? 0 ,且关于的函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 | a | x2 ? a ?bx 在上有极值,则 a 与 32

b 的夹角范围为

()

A.[0, ? ) 6

B. (? ,? ] 6

C. (? , 2? ] 33

D. (? ,? ] 3

7.已知椭圆 x 2 a2

y2 ?
b2

? 1 (a>b>0)离心率为

23,则双曲线

x a

2 2

y2 ?
b2

? 1 的离心率为(

)

A. 5 4

B. 5
2

C. 2 3

D. 5
4

8.若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离最小值为 ( )

A.1

B. 2

2 C. 2

D. 3

9.掷两次骰子得到的点数分别为和,记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1,?1) 的夹角为 θ ,则

θ ∈(0,?2]的概率是

A. 5 12

B. 1 2

C. 7 12

D. 5 6

()

10.斜率为 2 的直线 L 经过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F,且交抛物线与 A、B 两点,若

AB 的中点到抛物线准线的距离 1,则 P 的值为

()

A. 1

B. 4 5

C. 3 5

D. 2 5

11.已知

P(m,n)(m>0,n>0)是

f

(x)=

13x3﹣52x2﹣x+1685在点

x=5

处的切线上一点,则 1 ? m

4的 n

最小值是

()

A.

9 10

B.

19 21

C.

10 11

D.

11 10

12.函数 f ? x? 的定义域为, f ?0? ? 2 ,对任意 x ? R , f ? x? ? f ?? x? ? 1 ,则不等式

ex f ? x? ? ex ?1 的解集是

()

A.?x x ? 0?

B.?x x ? 0?

C.?x x ? ?1或x ? 1?

D.?x ?1 ? x ? 1?

二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,

13. 已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体

的体积是

.

4

? 14. x ? 2 dx ? 0



8

8

31 正视图

13 侧视图

4
_1
4 俯视图

15. 已知函数 f(x)=x3+ax2﹣43a(a∈R),若存在 x0,使 f(x)在 x=x0 处取得极值,且 f(x0)=0,

则 a 的值为



16.已知函数 f ?x? 在 R 上满足 f ?x? ? 2 f ?2 ? x? ? e x?1 ? x2 ,则曲线 y ? f ?x?在点?1, f ?1??

处的切线方程是

.

三、解答题:(解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分)

17.(本小题满分 10 分)

已知等差数列{an}中,公差 d ? 0, 又 a2 ? a3 ? 45, a1 ? a4 ? 14

(I)求数列 {an } 的通项公式;

(II)记数列 bn

?

an

1 ? an?1

,数列{bn}的前项和记为 Sn

,求 Sn

18.(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,且满足 c sin A ? a cos C .

(1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos(B ? ? ) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.
4
19.(本小题满分 12 分)

如图,已知四棱锥 P﹣ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,PA⊥平面 ABCD,

∠ABC=60°,E、F 分别是 BC、PC 的中点.

P

(1)证明:AE⊥PD;

(Ⅱ)若 PA=AB,求二面角 E﹣AF﹣C 的余弦值.

F

AP

F

B PE

A

D

F

C

P

B

A

F

P

D
C CB BA AF FP P

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=aln(1+x)+x2-10x ⑴若 x=3 是该函数的一个极值点,求函数 f(x)的单调区间

⑵若 f(x)在[1,4]上是单调减函数,求 a 的取值范围

21.(本小题满分 12 分)

y2 x2

3

1

设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)过点 P(2,1),且离心率 e=2.

(1)求椭圆 C 的方程.

(2)若 F1、F2 为椭圆的两个焦点,A、B 为椭圆的两点,且A→F1=12B→F2,求直线 AF1 的斜率.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln x+2xa,a∈R.

(1) 若函数 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围;

(2) 若函数 f(x)在[1,e]上的最小值为 3,求实数 a 的值.

附加题:1.(5 分)函数 y=x3-2x+2 过点 P(2,6)的切线的斜率为

.

2.(5分)若函数 f (x) = (1? x2 )(x2 ? ax ? b) 的图像关于直线=-2对称,则 f (x) 的最

大值是______.

3.(5 分)函数 f(x)= xlnx(-x2-1),x∈[1.5,3]的值域为

.

2014-2015 学年度第二学期期中考试试题 高 二 数 学(理)答案

DACBB DCBBCB AA 13. 32 14. 7 15. 3 16.x-y-3=0

17. (本小题满分 10 分)解:(1)? a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 14, a2a3 ? 45,且d ? 0,

? a2 ? 5, a3 ? 9 ? d ? 4, a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ?1)4 ? 4n ? 3 ………6 分

(2? bn

?

1 an an?1

?

1 (4n ? 3)(4n ? 1)

?

1( 1 ? 4 4n ? 3

1) 4n ?1

bn的前n项和S n

?

1 (1 ? 4

1 5

?

1 5

?

1 9

? ....... ?

1 4n ? 3

?

1) 4n ?1

18(本题满分 12 分)

? 1 (1 ? 1 ) ? n ……………………10 分 4 4n ?1 4n ?1

解析:(I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin Acos C.因为 0 ? A ? ? , 所以

sin A ? 0.从而sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以tan C ? 1,则C ? ? 4
(II)由(I)知 B ? 3? ? A.于是 4

3 sin A ? cos(B ? ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4

? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ? ). 6

0 ? A ? 3? ,? ? ? A ? ? ? 11? ,从而当A ? ? ? ? ,即A ? ? 时,

46

6 12

62

3

2sin( A ? ? ) 取最大值 2. 6

综上所述, 3 sin A ? cos(B ? ? ) 的最大值为 2,此时 A ? ? , B ? 5? .

4

3 12

19. (本小题满分 12 分)(1)证明:由四边形 正三角形.

为菱形,

,可得



因为为 的中点,所以





,因此



因为

平面



平面

,所以





平面



平面





所以

平面

.又

平面



所以

.…………5 分

20.(本小题满分 12 分)
解:⑴∵ f '?x? ? a ? 2x ?10 …………………………………………1 分
1? x
∴ f '?3? ? a ? 6 ?10 ? 0 因此 a ? 16 ……………………………2 分
4

∴ f ?x? ? 16 ln?1 ? x? ? x2 ?10x ,其定义域为 ??1,???……………3 分

? ? f '?x? ? 16 ? 2x ?10 ? 2 x2 ? 4x ? 3 ? 2?x ?1?? ?x ? 3? …………4 分

1? x

1? x

1? x

当 f '?x?>0 ,即 ?1<x<1,或 x>3 时,函数 f ? x? 单调递增

当 f '?x?<0 ,即1<x<3 时,函数 f ? x? 单调递减

∴ f ? x? 的单调递增区间为 ??1,1?, ?3,? ??,单调递减区间为 ?1,3? …6 分

⑵∵ f ? x? 在?1, 4?上是单调减函数

∴ f '?x? ? a ? 2x ?10 ? 2x2 ? 8x ? a ?10 ? 0 在?1, 4?上恒成立…7 分

1? x

1? x

∴ 2x2 ? 8x ? a ?10 ? 0 在?1, 4?上恒成立 …………………………8 分

∴ a ? [?(2x 2 ? 8x ? 10)]min …………………………………………9 分
∵在?1, 4?上,10 ? ?(2x2 ? 8x ?10) ? 18 …………………………11 分

∴ a ? 10 …………………………………………………………12 分

21.(本小题满分 12 分)

9

c1 1 4 (1)由题意知a=2,a2+b2=1,又

a2=b2+c2,∴a=2,b=

3,c=1

y2 x2 故所求的椭圆方程为 4 + 3 =1…………………………………. …...………..…..(6 分)

(2)延长 AF1 交椭圆 B′

由对称性可知 B→F2=F1→B′

设 A(x1,y1),B′(x2,y2)

A→F1=12 F1→B′

∴x2=-2x1①

当直线 AB′斜率不存在时,不符合

当直线 AB′斜率存在时,设直线 AB 的斜率为 k,又 F1(0,1) ∴直线 AF1y=kx+1

联立 y=kx+1 y2 x2 4 + 3 =1 -6k
∴x1+x2= 3k2+4② 由①②③得 k=±25 5

消去 y,得(3k2+4)x2+6kx-9=0
-9 x1x2= 3k2+4③ 故直线 AB 的斜率为±25 5……………………..…..(12 分)

22.(本小题满分 12 分)

2a

1 2a

解 (1)∵f(x)=ln x+ x ,∴f′(x)=x- x2 .

∵f(x)在[2,+∞)上是增函数,

1 2a ∴f′(x)=x- x2 ≥0 在[2,+∞)上恒成立,

即 a≤x2在[2,+∞)上恒成立.

x 令 g(x)=2,则 a≤[g(x)]min,x∈[2,+∞),

∵g(x)=x2在[2,+∞)上是增函数,

∴[g(x)]min=g(2)=1. ∴a≤1.所以实数 a 的取值范围为(-∞,1].

x-2a (2)由(1)得 f′(x)= x2 ,x∈ [1,e].

①若 2a<1,则 x-2a>0,即 f′(x)>0 在[1,e]上恒成立,

此时 f(x)在[1,e]上是增函数.

3 所以[f(x)]min=f(1)=2a=3,解得 a=2(舍去).

②若 1≤2a≤e,令 f′(x)=0,得 x=2a.

当 1<x<2a 时,f′(x)<0,

所以 f(x)在(1,2a)上是减函数,当 2a<x<e 时,f′(x)>0,所以 f(x)在(2a,e)上是增函数.

所以[f(x)]min=f(2a)=ln(2a)+1=3, e2
解得 a= 2 (舍去).

③若 2a>e,则 x-2a<0,即 f′(x)<0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上是减函数.

2a 所以[f(x)]min=f(e)=1+ e =3,得 a=e.适合题意.

综上 a=e.

附加题:1.(5 分) 1 或 10 2.(5 分) 16 3.(5 分) (0,3ln2]


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