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新课标全国卷:2010-2015高考数学(解析几何)试题汇编


2010-2015 新课标全国卷分类汇编(解析几何)
1.(2015 课标全国Ⅰ,理 5) 已知 M ( x0 , y0 ) 是双曲线 C :

x ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 是 C 的两个焦点,若 2

MF1 ? MF2 ? 0 ,则 y0 的取值范围是(
(A) (?

) (C) (?

3 3 , ) 3 3

(B) (?

3 3 , ) 6 6

2 2 2 2 , ) 3 3

(D) (?

2 3 2 3 , ) 3 3

2.(2015 课标全国Ⅰ,理 14)一个圆经过椭圆 标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的 16 4

x2 3. (2015 课标全国Ⅰ,理 20)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C : y ? 与直线 l : y ? kx ? a(a ? 0) 交于 M , N 4
两点。 (Ⅰ)当 k ? 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程. (Ⅱ) y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? ?OPN 说明理由。

4.(2015 课标全国Ⅱ,理 7)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|=( ) A.2 B.8 C.4 D.10 5. (2015 课标全国Ⅱ,理 11)已知 A,B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,且 顶角为 120°,则 E 的离心率为( ) A. B.2 C. D. 2 2 2 6.(2015 课标全国Ⅱ,理 20)已知椭圆 C:9x +y =m (m>0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点 ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l 的斜率; 若不能,说明理由.

7.(2014 课标全国Ⅰ,理 4)已知 F 为双曲线 C:x -my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的 距离为( ). A. 3 B.3 C. 3m D.3m 2 8.(2014 课标全国Ⅰ,理 10)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点.若 FP ? 4FQ ,则|QF|=( A.

2

2

??? ?

??? ?

). D.2

7 2

B.3

C.

5 2

1

9.(2014 课标全国Ⅰ,理 20)已知点 A(0,-2),椭圆 E:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆 2 a b 2

E 的右焦点,直线 AF 的斜率为

2 3 ,O 为坐标原点. 3

(1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

10.(2014 课标全国Ⅱ,理 10)设 F 为抛物线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两 点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ). A.

2

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32
2

D.
2

9 4

11.(2014 课标全国Ⅱ,理 16)设点 M(x0,1),若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取 值范围是__________.

x2 y 2 12.(2014 课标全国Ⅱ,理 20)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左,右焦点,M 是 C 上一点 a b
且 MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.

13.(2013 课标全国Ⅰ,理 4)已知双曲线 C: 为( ). A.y= ?

x2 y2 5 ? 2 =1 (a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程 2 a b 2
1 x 2
D.y=±x

1 x 4

B.y= ?

1 x 3

C.y= ?

14.(2013 课标全国Ⅰ,理 10)已知椭圆 E:
2 2 2 2

x2 y 2 ? =1 (a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 a 2 b2
).
2

A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为(

x y ? =1 A. 45 36

x y ? =1 B. 36 27

x y ? =1 C. 27 18

2

x2 y2 ? =1 D. 18 9

2

15.(2013 课标全国Ⅰ,理 20)(本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.

2

2

2

2

16.(2013 课标全国Ⅱ,理 11)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直 径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ). 2 2 2 2 A.y =4x 或 y =8x B.y =2x 或 y =8x 2 2 2 2 C.y =4x 或 y =16x D.y =2x 或 y =16x 17.(2013 课标全国Ⅱ,理 12)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面 积相等的两部分,则 b 的取值范围是( ). A.(0,1) B. ? 1 ?

2

? ? ?

2 1? , ? 2 2? ?

C. ? 1 ?

? ? ?

2 1? , ? 2 3?

D. ? ,

?1 1 ? ? ?3 2 ?
x2 y 2 ? =1 (a>b> a 2 b2

18.(2013 课标全国Ⅱ,理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 0)右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

1 . 2

(1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值.

x2 y2 3a 19.(2012 课标全国,理 4)(设 F1 , F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点, P 为直线 x ? 上 2 a b 的一点, △F2 PF ) 1 是底角为 30 ? 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 5 C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A , 20.(2012 课标全国, 理 8)等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,
B ,两点, | AB |? 4 3 ,则的实轴长为(
A. 2 B. 2 2
2

) C. 4 D. 8

21.(2012 课标全国,理 20)设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A 为 C 上一点,已知以

F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B 、 D 两点 (Ⅰ) 若 ?BFD ? 90? , △ABD 面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程;

3

(Ⅱ)若 A 、 B 、 F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点 到 m , n 的距离的比值.

22.(2011 课标全国,理 7)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两 点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( (A) 2 (B) 3 (C)2 ) (D)3

23.(2011 课标全国,理 14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心 率为

2 。过 l 的直线 交于 A, B 两点,且 ? ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 2



24.(2011 课标全国,理 20) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足

uuu r uur uuu r uu u r uuu r uu r MB / /OA , MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C。

(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

25.(2010 课标全国, 理 12) 已知双曲线 E 的中心为原点,F (3, 0) 是 E 的焦点, 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程式为( )
2

x y ? ?1 (A) 3 6

2

2

x y ? ?1 (B) 4 5

2

2

x y2 ? ?1 (C) 6 3

x2 y 2 ? ?1 (D) 5 4

26.(2010 课标全国,理 15) 过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为 27.(2010 课标全国,理 20) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 a 2 b2

的直线 i 与 E 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (1)求 E 的离心率; (2)设点 p(0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程

4


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