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2014—2015学年度南昌市高三第一次模拟测试卷-数学-理_图文

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2014—2015 学年度南昌市高三第一次模拟测试卷 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题 题目 答案 二、填空题 13. 1 D 2 A 3 A 4 A 5 C 6 C 7 B 8 B 9 B 10 C 11 D 12 A

3 4

14. 4?

15. [?

2 10 , ] 3 3

16 (?1,0) ? (0,??)

三、解答题 17. (Ⅰ)解:等差数列 {a n } , a1 ? 1 , S 3 ? 6 ,? d ? 1 ,故 a n ? n ………3 分

S ? ?b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2 n ?? (1) S ?S a , (1) ? (2) 得 bn ? 2 n n ?1 ? 2 n ? 2 n (n ? 2) , ? S n ?1 ? ?b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?1 ? 2 ? (2)

b1 ? 2 S1 ? 21 ? 2 ,满足通项公式,故 bn ? 2 n
(Ⅱ)设 ?bn ? a n 恒成立 ? ? ?

………7 分

c n n ?1 n 恒成立,设 c n ? n ? n ?1 ? n cn 2n 2 2
………10 分 ………12 分

当 n ? 2 时, c n ? 1 , {c n } 单调递减,

? (c n ) max ? c1 ?

1 1 ,故 ? ? . 2 2

18. 解: (Ⅰ) P (80 ? X ? 85) ? 1 ? P ( X ? 75) ? 0.2 , P (85 ? X ? 95) ? 0.3 ? 0.1 ? 0.2 ,
3 所以所求概率 P ? A3 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.1 ? 0.024 ;

………6 分(每个结果各 2 分)

(Ⅱ) P (75 ? X ? 85) ? 1 ? 2 P( X ? 75) ? 0.4 , 所以 ? 服从二项分别 B (3, 0.4) ,

P(? ? 0) ? 0.63 ? 0.216 , P(? ? 1) ? 3 ? 0.4 ? 0.62 ? 0.432 ,………8 分 P(? ? 2) ? 3 ? 0.42 ? 0.6 ? 0.288 , P(? ? 3) ? 0.43 ? 0.064 ,………10 分
所以随机变量 ? 的分布列是

?
P

0

1

2

3

0.216

0.432

0.288
………12 分

0.064

E? ? 3 ? 0.4 ? 1.2 (人).
19. 解: (Ⅰ)作 ME ? AB 于 E ,连接 CE , ? ME ∥ AP …①

? AC 是圆 O 的直径, AC ? 2 BC ? 2CD ? 2 ,

? AD ? DC , AB ? BC , ? ?BAC ? ?CAD ? 30 0 , ?BCA ? ?DCA ? 60 0 , AB ? AD ? 3
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………2 分

BM ?

1 3 BE 3 1 , , tan ?BCE ? ? BP ? BE ? BA ? 3 3 BC 3 3

? ?BCE ? ?ECA ? 30 0 ? ?CAD ? EC ∥ AD …②,………4 分
由①②,且 ME ? CE ? E ,

? 平面 MEC ∥平面 PAD , CM ? 平面 MEC , CM ? 平面 PAD

? CM ∥ 平面 PAD

………6 分

(Ⅱ)依题意,如图以 A 为原点,直线 AB,AP 分别为 x,z 轴建立空间坐标系,设 AP ? a

A(0,0,0), B( 3 ,0,0), C ( 3 ,1,0), P(0,0, a ), D(

3 3 , ,0) 2 2

设面 PAC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,设 CM 与平面 PAC 所成角为 ?

? ?n ? AP ? az ? 0 ? ? ?n ? AC ? 3 x ? y ? 0
设x ?

3 ,? n ? ( 3 ,?3,0) ,

………8 分

1 CM ? CB ? BM ? CB ? BP 3

? CM ? (?

3 a ,?1, ) 3 3

? sin ? ?| cos CM , n |?

| CM ? n | | CM || n |

?

2 3 ? 9 ? a2 12 ? 9

?

3 12 ? a 2

?

5 5

………10 分

?a ? 3
20. (Ⅰ)解:如图圆 E 经过椭圆 C 的左右焦点 F1 , F2 ,

………12 分

F1 , E , A 三 点 共 线 , ? F1 A 为 圆 E 的 直 径 , ? AF2 ? F1 F2
1 9 x 2 ? (0 ? ) 2 ? 2 4
………2 分 ,

? x ? ? 2 ,? c ? 2
| AF2 | 2 ?| AF1 | 2 ? | F1 F2 | 2 ? 9 ? 8 ? 1 ,

2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 4
a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 2, b ? 2 ,
………4 分

x2 y 2 ? 1, ? 椭圆 C 的方程 ? 4 2
(Ⅱ)点 A 的坐标 ( 2,1)

………5 分

MN ? ? OA(? ? 0) , 所以直线 l 的斜率为

2 , ………6 分 2

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故设直线 l 的方程为 y ?

2 x?m 2

? 2 y? x?m ? ? 2 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? ?4 2

? x 2 ? 2mx ? m 2 ? 2 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ? ? 2m, x1 x2 ? m 2 ? 2,
| MN |? 1 ? k 2 | x2 ? x1 |? 1 ?
点 A 到直线 l 的距离 d ?

? ? 2m 2 ? 4m 2 ? 8 ? 0 ,??2 ? m ? 2

………8 分

1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 12 ? 3m 2 2

6 |m| 3

S ?AMN ?

1 1 6 2 2 4 ? m2 ? m2 | MN | ?d ? 12 ? 3m 2 ? | m |? (4 ? m 2 )m 2 ? ? ? 2 ………10 分 2 2 3 2 2 2

当且仅当 4 ? m 2 ? m 2 ,即 m ? ? 2 ,直线 l 的方程为 y ?

2 x? 2 2

………12 分

21.解: (Ⅰ) f ( x) ? ln(1 ?

? 1 1 2x 1? x ? 0 ,定义域 ? x) ? ? x ? ?2 , 2 ? 2 x?2 ? ?x ? 2 ? 0

f ' ( x) ?

1 4 x?2 ,? (?2,2) 递减, (2,??) 递增 ? ? 2 x ? 2 ( x ? 2) ( x ? 2) 2
………3 分

故 f ( x) 极小值 ? f (2) ? ln 2 ? 1 ,没有极大值. (Ⅱ) f ( x) ? ln(1 ? ax) ?

2x 1 , x ? (? ,??) , x?2 a
………4 分

f ' ( x) ?

a 4 ax 2 ? 4(1 ? a ) ? ? 1 ? ax ( x ? 2) 2 (1 ? ax)( x ? 2) 2

2 a (1 ? a ) 1 1 1 ? a ? ( ,1) ,? a (1 ? a ) ? (0, ) , ? ? ? ? a a 2 4
ax 2 ? 4(1 ? a ) ? 0 , ? x ? ?

2 a (1 ? a ) a
4 1? a 2 1? a ? 2 a ?

………5 分
? 4 1? a ? 2 1? a ? 2 a

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ln[1 ? 2 a (1 ? a ) ] ? ln[1 ? 2 a (1 ? a ) ] ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln[(1 ? 2a) 2 ] ?

4 ? 4a 2 ? ln[(1 ? 2a) 2 ] ? ?2 2a ? 1 2a ? 1

设 t ? 2a ? 1 ,当 a ? ( ,1) 时, t ? (0,1) ,? 设f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? g (t ) ? ln t 2 ?

1 2

2 ?2 t

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当 t ? (0,1) 时, g (t ) ? 2 ln t ?

2 2 2 2(t ? 1) ? 2 , g ' (t ) ? ? 2 ? ? 0 ………7 分 t t t t2

g (t ) 在 t ? (0,1) 上递减, g (t ) ? g (1) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (0) ? 0 恒成立
综上述 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (0) (Ⅲ)当 t ? (0,1) 时, g (t ) ? 2 ln t ? 设t ? ………8 分

2 1 ? 2 ? 0 恒成立,即 ln t ? ? 1 ? 0 恒成立 t t

1 1 (n ? 2, n ? N ) ,即 ln ? n ? 1 ? 0 ,? n ? 1 ? ln n n n

?1 ? ln 2, 2 ? ln 3, 3 ? ln 4,
?1 ? 2 ? 3 ?

, n ? 1 ? ln n
? ln n ? ln 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? ln ?n!?
………12 分

? (n ? 1) ? ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ?
?e
n ( n ?1) 2

(n ? 1)n ? ? ln ?n!? 2

? n!

(n ? 2, n ? N )

22.解: (Ⅰ)∵ PA 为圆 O 的切线, ??PAB ? ?ACP, 又 ?P 为公共角,

?PAB ∽ ?PCA

AB ? PC ? PA ? AC
2

…………4 分

(2)∵ PA 为圆 O 的切线, BC 是过点 O 的割线, ? PA ? PB ? PC , ………6 分

? PC ? 40, BC ? 30 又∵ ?CAB ? 900 , ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 900
又由(Ⅰ)知

AB PA 1 ? ? ? AC ? 12 5 AC PC 2

AB ? 6 5 ,连接 EC ,则 ?CAE ? ?EAB,
………8 分 ………10 分

?ACE ∽ ?ADB ,
AB AD ? AE AC

AD ? AE ? AB ? AC ? 6 5 ? 12 5 ? 360

? ? x ? 2 cos t , 23.解: (Ⅰ) ? ? x 2 ? y 2 ? 2 点 C (1,1) 在圆上,故切线 l 方程为 x ? y ? 2 ………2 分 ? ? y ? 2 sin t ,

? ? sin ? ? ? cos ? ? 2 ,切线 l 的极坐标方程: ? sin(? ?
(Ⅱ) y ? k ( x ? 2) ? 2 与半圆 x ? y ? 2( y ? 0) 相切时
2 2

?
4

) ? 2 ………5 分

| 2k ? 2 | 1? k 2

? 2

? k 2 ? 4k ? 1 ? 0
设点 B (? 2 ,0)

? k ? 2 ? 3 , k ? 2 ? 3 (舍去)……….8 分
K AB ? 2?0 2? 2 ? 2? 2 ,
………10 分

故直线 m 的斜率的取值范围为 (2 ? 3 ,2 ? 2 ] . 24.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时,不等式 f ( x) ? x 即 x | x ? 2 |? x 显然 x ? 0 ,当 x ? 0 时,原不等式可化为:

| x ? 2 |? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3 ……2 分
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当 x ? 0 时,原不等式可化为: | x ? 2 |? 1 ? x ? 2 ? 1 或 x ? 2 ? ?1

? x ? 3或 x ? 1 ∴ x ? 0
综上得:当 a ? 2 时,原不等式的解集为 {x |1 ? x ? 3或x ? 0} (Ⅱ)∵对任意 x ? (0, 4] 都有 f ( x) ? 4 立 设 g ( x) ? x ? ……….6 分

………4 分 ………5 分

即 ?4 ? x( x ? a ) ? 4 ? ?x ? (0, 4] , x ?

4 4 ? a ? x ? 恒成 x x

4 4 , x ? (0, 4] , p ( x) ? x ? , x ? (0, 4] ,则对任意 x ? (0, 4] , x x

x?

4 4 ? a ? x ? 恒成立 ? g ( x) max ? a ? p ( x) min , x ? (0, 4] ………7 分 x x
4 , 当 x ? (0, 4] 时 g '( x) ? 0 ∴函数 g ( x) 在 (0, 4] 上单调递增, x2
………8 分

∵ g '( x) ? 1 ?

∴ g ( x) max ? g (4) ? 3 又∵ p '( x) ? 1 ?

4 ( x ? 2)( x ? 2) = ,∴ p ( x) 在 (0, 2] 上递减, [ 2,4] 上递增 2 x x2
………9 分 ……

∴ p ( x) min ? p (2) ? 4 . 故 a ? (3,4)

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