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广东省梅州中学2012届高三上学期第二次月考(数学文)

广东省梅州中学 2012 高三第 次月考 广东省梅州中学 2012 届高三第二次月考

数学试题(文科) 数学试题(文科)试卷
个小题, 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四 选择题( 个选项中,只有一项是符合题目要求的。 个选项中,只有一项是符合题目要求的。 )
? 1 ? 1.已知集合 M = {? 1,1}, N = ? x < 2 x + 2 < 4, x ∈ Z ? ,则 M∩N=( ? 2 ?



A.{-1,1} 2 函数 y =

B.{0}

C.{-1} )

D.{-1,0}

log 1

( x ?1)
2

的定义域为( B.

2

A. [ ? 2 ,?1) ∪ (1, 2 ]

(? 2 ,?1) ∪ (1, 2 )

C. [?2,?1) ∪ (1,2] D. ( ?2,?1) ∪ (1,2)

3.在各项都为正数的等比数列 {a n } 中,首项为 3,前 3 项和为 21, 则 a3 + a 4 + a5 = ( A.33 点 ( a , a ) ,则 f ( x) = A. log 2 x ) B.72 C.84 D.189

4. 若函数 y = f ( x) 是函数 y = a x (a > 0, 且a ≠ 1) 的反函数,其图像经过 ( ) C.
1 D. x 2 x 2 2 1 5 已 知 f(x) 为 R 上 的 减 函 数 , 则 满 足 f ( ) >f(1) 的 实 数 x 的 取 值 范 围 是 x ( )

B. log 1 x

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.(-∞,0)∪(0,1)

D.(-∞,0)∪(1,+ ∞)

?x>0 ? 6. 在约束条件 ?y ≤ 1 下,目标函数 z = 2 x + y 的值() ? ? ?2x-2y+1 ≤ 0 ?

A.有最大值 2,无最小值 C.有最小值
1 ,最大值2 2

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

2 7. 函数 f (x) 满足 f ( x ? 1) + f ( x + 1) = 2 x ? 8 x + 8 , f ( x + 1) ? f ( x ? 1) = 4( x ? 2) ,

1 f ( x ? 1),? , f ( x) 2 且
A. 2 B. 3

成等差数列,则 x 的值是( D. 2 或-3



C. 2 或 3

8. 一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是 1 的正方形,俯视图是直角 边长为 1 的等腰直角三角形,则这个几何体的表面积等于 ( A. 2 + C. 4 + )

2

B. 3 + 2 D.6

2

9. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) = ? f ( x) , 且在区间[0,2]上是增函数,则( A. f (?25) < f (11) < f (80) C. f (11) < f (80) < f (?25) ). B. f (80) < f (11) < f (?25) D. f (?25) < f (80) < f (11)

- x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是 10 函 数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2





二.填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 是选做 填空题: 本大题共 小题, 填空题 考生只能 做一题 两题全答 只能选 只计算前一题得分. 题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.) 11. 设 f (x) 为 R 上的奇函数,且 f ( ? x) + f ( x + 3) = 0 , f (?1) = 1, 则f (5) = 12.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于 13、已知| a |=| b |=| a ? b |=1,则| a + 2b |的值为 . . .

14. 坐标系与参数方程选做题 (坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,曲线 ρ = 3 截直线 ρ cos(θ + 15. 几何证明选讲选做题 (几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题)

π
4

) = 1 所得的弦长为



如图, PAB、 是圆的两条割线, PCD 已知 PA=6, AB=2, PC=

1 CD. PD=________. 则 2

解答应写出文字说明, 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程 解答题: 本大题共 小题, 或演算步骤) 或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) = 2 sin x cos x + 2 3 cos 2 x ? 1 ? 3 , x ∈ [0, ] 2 ⑴ 求 f (x) 的最大值及此时 x 的值; ⑵ 求 f (x) 在定义域上的单调递增区间。 17.(本小题满分 12 分)记关于 x 的不等式 ≤1 的解集为 Q. (1)若 a=3,求 P; 18. (本小题满分 14 分) 如图,已知 AB ⊥平面 ACD , DE ∥ AB , AD = AC = DE = 2 AB =1,且 F 是
CD 的中点. AF = 3
E B

π

x?a < 0 的解集为 P,不等式|x-1| x +1

(2)若 Q ? P,求正数 a 的取值范围.

(Ⅰ)求证: AF ∥平面 BCE ; (Ⅱ)求证:平面 BCE⊥平面 CDE ; (III) 求此多面体的体积.
C

A D

F (18 题图)

19.(本小题满分 14 分) 一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有 500ml 和 700ml 两种型 号,某天的产量如右表(单位:个): 型号 500ml 甲样式 2000 乙样式 z 丙样式 3000

按样式分层抽样的方法在这个月生 产的杯子中抽取 100 个,其中有甲样 式杯子 25 个. (1) 求 z 的值;

700ml

3000

4500

5000

(2) 用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为 5 的样本, 从这个样本 中任取 2 个杯子,求至少有 1 个 500ml 杯子的概率.

20.(本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (1)求 f(x)的最小值 h(t); (2)若 h(t)<-2t+m 对 t∈(0,2)恒成立,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知数列

{an } 中, a1 = 1, an +1 =

an (n ∈ N ) . 2an + 1

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设:
2 1 = + 1 求数列 {bn bn +1} 的前 n 项的和 Tn ; bn an

(3)已知 P = (1 + b1 )(1 + b3 )(1 + b5 )L (1 + b2 n ?1 ) ,求证: Pn > 2n + 1 .

文数月考二参考答案
一、选择题答案: 1 2 3 题 号 C A C 答 案

4 B

5 D

6 A

7 C

8 B

9 D

10 C

二、填空题答案: 11.1 12.
3 2

13.

7

14. 4 2

15. 12

三、解答题(将各题的解答过程写在相应位置上) 16. ( 本小题满分 12 分) 解:⑴ f ( x) = 2 sin(2 x +
Q0 ≤ x ≤ ∴

π
3

) ?1

-----------3 分 -----------3

π
2

π
3

≤ 2x +

π
3



当 2x + ⑵由

π
3

=

π
2

4π 3

时,即 x =

π
12

时, y max = 1

-----------6 -----------6 分

π
3

≤ 2x +

π
3



π
2

得0 ≤ x ≤

π
12

∴ f (x) 在定义域上的单调递增区间 [0,

π
12

]

-----------12 分 -----------12

17( 本小题满分 12 分) x?3 解: (1)由 < 0 ,得 P = { x ?1 < x < 3} .-----------5 分 -----------5 ----------x +1 (2) Q = x x ? 1 ≤ 1 = { x 0 ≤ x ≤ 2} . 由 a > 0 ,得 P = { x ?1 < x < a} ,又 Q ? P ,所以 a > 2 , 即 a 的取值范围是 (2, ∞ ) .-----------12 分 + -----------12 ----------18. ( 本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)取 CE 中点 P,连结 FP、BP, ∵F 为 CD 的中点,
1 ∴FP∥DE,且 FP= DE. 2

{

}

1 又 AB∥DE,且 AB= DE. 2

∴AB∥FP,且 AB=FP, …………3 分 …………5 分

∴ABPF 为平行四边形,∴AF∥BP. 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? ∴AF∥平面 BCE

(Ⅱ)∵ AF = 3 ∴ CD = 2 ,所以△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD

∵AB⊥平面 ACD,DE//AB ∴DE⊥AF

∴DE⊥平面 ACD

又 AF ? 平面 ACD

又 AF⊥CD,CD∩DE=D 又 BP∥AF ∴平面 BCE⊥平面 CDE ∴BP⊥平面 CDE …10 分

∴AF⊥平面 CDE 又∵BP ? 平面 BCE

(III)此多面体是一个以 C 为定点,以四边形 ABED 为底边的四棱锥, (1 + 2) × 2 S ABED = = 3 , 面ABDE ⊥ 面ADC ∴ 等边三角形 AD 边上的高就是四棱锥 2 的高 1 VC ? ABDE = × 3 × 3 = 3 …………14 分 3
19. ( 本小题满分 14 分) 解: (1).设该厂本月生产的乙样式的杯子为 n 个,在丙样式的杯子中抽取 x 个,由题意得, 分 则 100-40-25=35,所以, 分 (2) 设所抽样本中有 m 个 500ml 杯子, 因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为 5 的样本, 所以

25 x = , ,所以 x=40. 5000 8000 25 35 = , n=7000, 5000 n

-----------2

故 z=2500

--6

2000 m = , ,解得 m=2 5000 5

-----------9 分

也就是抽取了 2 个 500ml 杯子,3 个 700ml 杯子, 分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 个的所有基本事件为 (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3) 共 10 个,其中至少有 1 个 500ml 杯子的基本事件有 7 个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所 以从中任取 2 个,至少有 1 个 500ml 杯子的概率为 7 .
10

-----------12

分 20( 本小题满分 14 分) 解: (1)Q f ( x) = t ( x + t ) 2 ? t 3 + t ? 1( x ∈ R,t > 0) ,

∴ 当 x = ?t 时, f ( x) 取最小值 f (?t ) = ?t 3 + t ? 1 ,

即 h(t ) = ?t 3 + t ? 1 .

------------5 分

(2)令 g (t ) = h(t ) ? (?2t + m) = ?t 3 + 3t ? 1 ? m , 由 g ′(t ) = ?3t 2 + 3 = 0 得 t = 1 , t = ?1 (不合题意,舍去) .------------7 分 当 t 变化时 g ′(t ) , g (t ) 的变化情况如下表:
t g ′(t ) g (t ) (0, 1)

1 0

(1, 2)

+
递增

?
递减 ------------11 分

极大值 1 ? m

∴ g (t ) 在 (0, 内有最大值 g (1) = 1 ? m .------------12 分 2)
h(t ) < ?2t + m 在 (0, 内恒成立等价于 g (t ) < 0 在 (0, 内恒成立, 2) 2)

即等价于 1 ? m < 0 ,------------13 分 所以 m 的取值范围为 m > 1 .------------14 分 21.( 本小题满分 14 分) (1)由 an +1 = 解:

an 1 1 1 得: ? = 2 且 = 1, 2 an + 1 an +1 an a1

?1? 所以知:数列 ? ? 是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, …………2 分 ? an ?
所以

1 1 = 1 + 2(n ? 1) = 2n ? 1, 得:an = ; an 2n ? 1 2 1 2 1 = + 1 得: = 2n ? 1 + 1 = 2n,∴ bn = , bn an bn n 1 n(n + 1)

------------4 分

(2)由

从而: bn bn +1 =

------------6 分

则 Tn = b1b2 + b2b3 + L + bnbn +1 =

1 1 1 + +L + n(n + 1) 1× 2 2 × 3

1 1 1 1 1 1 1 1 = ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) +L + ( ? ) 1 2 2 3 3 4 n n +1 1 n = 1? = n +1 n +1

------------9 分
2 4 6 2n ? ? ?L ? 1 3 5 2n ? 1

(3)已知 Pn = (1 + b1 )(1 + b3 )(1 + b5 ) L (1 + b2 n ?1 ) =
Q (4n) 2 < (4n) 2 ? 1,∴

2n + 1 2n < 2n 2n ? 1 3 5 2n + 1 设: Tn = × × L × ,则 Pn > Tn 2 4 2n 2 3 4 2n 2n + 1 × = 2n + 1 从而: Pn2 > PnTn = × × × L × 1 2 3 2n ? 1 2n

故:

Tn > 2n + 1

------------14 分


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