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备课资料(3.2 函数模型的应用举例 )


备课资料 [备选例题] 【例 1】某车间生产某种产品,固定成本为 2 万元,每生产一件产品成本增加 100 元,已知 总收益 R(总收益指工厂出售产品的全部收入,它是成本与总利润的和,单位:元)是年产量 Q(单位:件)的函数,满足关系式: R=f(Q)= ?
1 ? ? 400 Q ? Q 2 , 2 ? 80000 , ? 0 ? Q ? 400 , Q ? 400 ,

求每年生产多少产品时,总利润最大?此时总利润是多少元?
1 2 ? ? 300 Q ? Q ? 20000 , 0 ? Q ? 400 . 解:y=R-100Q-20 000= ? (Q∈Z). 2 ? 60000 ? 1000 Q , Q ? 400 ?

(1)0≤Q≤400 时,y= ?

1 2

(Q-300)2+25000,

∴当 Q=300 时,ymax=25000. (2)Q>400 时,y=60000-100Q<20000, ∴综合(1)(2),当每年生产 300 件时利润最大为 25000 元. 【例 2】2007 康成中学高三期末模拟题,文 19 康成塑料制品厂今年 1 月、2 月、3 月生产某 种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,为估测作依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y 和月份数 x 的关系,模拟函数可以选用二次函数 y=ax2+bx+c 或函数 y=a·x+c(其中 a、b、 b c 为常数, a≠0) 已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件, , 问用上述哪个函数作为模拟函数好? 请说明理由. 解:若模拟函数为 y=ax2+bx+c,
? a ? b ? c ? 1, ? a ? -0.05, ? ? 由已知得 ? 4a ? 2b ? c ? 1.2, 解得 ? b ? 0.35, ? 9a ? 3b ? c ? 1.3, ? c ? 0.7. ? ?

则有 y=-0.5x2+0.35x+0.7, 因此当 x=4 时,y=1.3. 若模拟函数为 y=a·x+c, b
? ab ? c ? 1, ? a ? -0.8, ? 2 ? 由已知得 ? ab ? c ? 1.2, 解得 ? b ? 0.5, ? c ? 1.4. ? 3 ? ? ab ? c ? 1.3,

则有 y=-0.8× x+1.4, 0.5 因此当 x=4 时,y=1.35. ∵1.35 比 1.3 更接近 1.37, ∴应将 y=-0.8× x+1.4 作为模拟函数. 0.5 (设计者:赵冠明) 本章复习 整体设计 教学分析

前面学习了函数与方程、 函数模型及应用等内容, 通过本节学习进一步巩固前面学习的内容, 突出重点总结规律,使原来的知识更系统,使原来方法更清晰,形成完整的知识结构和方法 体系. 我们小结的目的不仅要总结知识、 归纳方法, 还要让学生学会运用学过的知识方法解决现实 问题,提高学生的素质. 三维目标 1.理解方程的根与函数零点的关系,会用二分法求函数零点. 2.巩固常见函数模型的应用. 3.通过本章学习逐步认识数学,学会用数学方法认识世界、改造世界. 重点难点 应用数学模型解决实际问题. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(情景导入) 同样一张书桌有的整洁、 有的凌乱, 同样一支球队, 在不同教练带领下战斗力会有很大不同, 例如达拉斯小牛队在“小将军”约翰逊的带领下攻防具佳所向披靡,为什么呢?因为书桌需要 不断整理,球队需要系统的训练、清晰的战术、完整的攻防体系.我们学习也是一样,需要 不断归纳整理、系统总结,今天我们把第三章函数的应用进行归纳复习. 思路 2.(直接事例导入) 大到天体运动小到细菌繁殖,无论政治现象还是经济现象,在这繁杂的世界上无不变化,怎 样描述这些变化呢?我们知道可以通过函数模型来描述这些变化, 本节我们来归纳复习一下 函数的应用. 推进新课 新知探究 提出问题 回忆本章内容,总结本章知识结构. 讨论结果: 本章知识结构

应用示例 例 1 已知函数 f(x)=x-1+
1 2

x2-2,试利用基本初等函数的图象判断 f(x)有几个零点;并利用零

点存在性法则确定各零点所在的范围(各区间长度不超过 1).

图 3-1 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导:把一个不易作出的函数 图象转化为两个容易作出的图象. 解:由 f(x)=0,得 x-1= ?
1 2

x2+2,令 y1=x-1,y2= ?

1 2

x2+2,其中抛物线顶点为(0,2),与 x 轴交

于点(-2,0)、(2,0). 如图所示(图 31) 1 与 y2 图象有 3 个交点,从而函数 f(x)有 3 个零点. ,y 由 f(x)知 x≠0,f(x)图象在(-∞,0)、(0,+∞)上分别是连续不断的, 且 f(-3)=
13 6

>0,f(-2)= ?
1 2

1 2

<0,f(

1 2

)=

1 8

>0,f(1)= ?

1 2

<0,f(2)=

1 2

>0,

即 f(-3)· f(-2)<0,f(

)· f(1)<0,f(1)· f(2)<0,
1 2

∴三个零点分别在区间(-3,-2)、(

,1)、(1,2)内.

点评:本题考查数形结合思想和零点判断方法. 例 2 设函数 f(x)=x3+3x-5,其图象在(-∞,+∞)上是连续不断的. 先求值:f(0)=________,f(1)=________,f(2)=________,f(3)=________. 所以 f(x)在区间________内存在零点 x0,填下表, 区 间 中点 m f(m)符号 区间长度

下结论:___________________________________. 可参考条件:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且 f(1.125)<0,f(1.187 5)>0. 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导: 利用二分法求方程近似解一般步骤求函数的零点. 解:f(0)=-5,f(1)=-1,f(2)=9,f(3)=31, ∴初始区间为(1,2). 区 间 中点 mf 1.5 (1.25) 1.125 1.1875 (m)符号 + + + 0.5 0.25 0.125 0.0625 区间长度 (1,2) (1,1.5) (1,1.25) (1.125,1.25) (1.125,1.1875)

∵|1.1875-1.125|=0.062 5<0.1,∴x0≈1.125(不唯一). 点评:这种题型便于学生操作,是一种新考法,应特别重视. 知能训练 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%,画出这 种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(结 果保留 1 个有效数字). 解:设这种物质最初的质量是 1,经过 x 年,剩留量是 y. 经过 1 年,剩留量 y=1× 84%=0.841; 经过 2 年,剩留量 y=1× 84%× 84%=0.842; …… 一般地,经过 x 年,剩留量 y=0.84x, 根据这个函数关系式可以列表如下: x y 0 1 1 0.84
x

2 0.71

3 0.59

4 0.50

5 0.42

6 0.35

用描点法画出指数函数 y=0.84 的图象.从图上看出 y=0.5 只需 x≈4. 答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半. 拓展提升 请同学们思考探究:函数模型的应用,并进行规律总结. 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导. 答案:(供参考) 数学模型及其应用 数学来源于实际又服务于实际, 如何运用数学知识解决生活中的实际应用问题?这里的关键 是“问题情景的数学化”,即从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发,进行观察、 比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理,得出数学概念和规律,通过构造出一个 对应的数学模型而使问题清晰化、具体化,找到有效的解题途径——构建数学模型,使实际 生活问题抽象为数学问题. 逐步把数学知识用到生产、 生活的实际中, 形成应用数学的意识, 培养分析问题和解决问题的能力. 1.数学应用题大致可以分为以下四种不同的类型: (1)直接套用现成的公式; (2)利用现成的数学模型对应用题进行定量分析; (3)对于已经经过提炼加工后,各因素之间数量关系比较清楚的实际问题,建立数学模型; (4)对原始的实际问题进行分析加工,建立数学模型. 2.解应用题的策略: 一般思路可表示如下: ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; ②建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③解模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义. 规律总结 1.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围,二是要检 验所得结果,必要时运用估算和近似计算,以使结果符合实际问题的要求. 2.在实际问题向数学问题的转化过程中,要充分使用数学语言,如引入字母、列表、画图、 建立坐标系等,以使实际问题数学符号化. 3.对于建立的各种数学模型,要能够进行模型识别,充分利用数学方法加以解决,并能积累

一定数量的典型的函数模型,这是顺利解决实际问题的重要资本. 课堂小结 1.复习巩固;2.规律总结;3.思想升华. 作业 课本 P112 复习参考题任选两题. 设计感想 本节通过一个学生感兴趣的话题使学生认识到小结的重要性,然后通过最新模拟题再现了本 章重点题型.本节不仅总结了有关用数学模型解决实际问题的解题规律,而且给出了本章知识 结构图,使本章的知识更加系统,脉络更加清晰,使学生的认识水平和解题能力进一步升华,决 不是前面知识的简单重复,因此达到了小结的目的. 习题详解 (课本第 112 页复习参考题) A组 1.C 2.C 3.设经过时间 t 后列车离 C 地的距离为 y,则 y= ?
? 200 ? 100 t , 0 ? t ? 2 , ?100 t ? 200 , 2 ? t ? 5 .

图 3-2 4.(1)圆柱形; (2)上底小、下底大的圆台形; (3)上底大、下底小的圆台形; (4)呈下大上小的两节圆柱形. 图略.

图 3-3 5.令 f(x)=2x -4x -3x+1,函数图象如右所示: 函数分别在区间(-1,0)、(0,1)和区间(2,3)内各有一个零点,所以方程 2x3-4x2-3x+1=0 的最大的 根应在区间(2,3)内. 取区间(2,3)的中点 x1=2.5,用计算器可算得 f(2.5)=-0.25.因为 f(2.5)· f(3)<0,所以 x0∈(2.5,3). 再取(2.5,3)的中点 x2=2.75,用计算器可算得 f(2.75)≈4.09.
3 2

因为 f(2.5)· f(2.75)<0,所以 x0∈(2.5,2.75). 同理,可得 x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.5,2.5625),x0∈(2.5,2.53125),x0∈(2.515625,2.53125),x0∈ (2.515625,2.5234375). 由于|2.523 437 5-2.515 625|=0.007 812 5<0.01, 所以原方程的最大根约为 2.523 437 5. 6.令 lgx=
1 x

,即得方程 lgx ?

1 x

=0,再令 g(x)=lgx ?

1 x

,用二分法求得交点的横坐标约为 2.5.

图 3-4 7.如图,作 DE⊥AB,垂足为 E.由已知可得∠ADB=90° . 2 因为 AD=x,AB=4,于是 AD =AE× AB, 即 AE=
AD AB
2

=

x

2

.

4 x
2

所以 CD=AB-2AE=4-2×

=4 ?

x

2

.

4

2 x
2

于是 y=AB+BC+CD+AD=4+x+4 ?

+x= ?

x

2

+2x+8.

2 x
2

2 x
2

由于 AD>0,AE>0,CD>0,所以 x>0,

>0,4 ?

>0,解得 0<x<2 2 .

4 x
2

2

所以所求的函数为 y= ?

+2x+8,0<x<2 2 . )t.
1 e
?

2

8.(1)由已知可得 N=N0(

1 e
?

因为 λ 是正常数,e>1,所以 eλ>1,即 0< 又 N0 是正常数,所以 N=N0( (2)N=N0e-λt,因为 e-λt=
N N0
1

<1.

1 e
?

)t 是在于 t 的减函数.
N N0

,所以-λt=ln

,即 t= ?

1

?

ln

N N0

.

(3)当 N=

N0 2

时,t= ?

N0

? 2N0

=?

1

?

ln2.

9.因为 f(1)=-3+12+8=17>0,f(2)=-3× 8+12× 2+8=8>0,f(3)<0, 所以,下次生产应在两个月后开始. B组

1.厂商希望的是甲曲线;客户希望的是乙曲线.
? 3 2 t , ? 2 ? 3 ? 2 2.函数的解析式为 y=f(t)= ? ? (t ? 2 ) ? 2 ? ? 3, ? ? 0 ? t ? 1, 3, 1 ? t ? 2, t ? 2.

函数的图象为

图 3-5 备课资料 [备选例题] 【例】对于函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数 x0,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x) 的不动点. (1)当 a=2,b=-2 时,求 f(x)的不动点; (2)若对于任何实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0), 当 a=2,b=-2 时,f(x)=2x2-x-4, 设 x 为其不动点,即 2x2-x-4=x,则 2x2-2x-4=0,解得 x1=-1,x2=2, 即 f(x)的不动点为-1,2. (2)由 f(x)=x,得 ax2+bx+b-2=0.关于 x 的方程有相异实根,则 b2-4a(b-2)>0, 即 b2-4ab+8a>0. 又对所有的 b∈R,b2-4ab+8a>0 恒成立, 故有(4a)2-4· 8a<0,得 0<a<2.


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