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_算两次_的思想方法_解决数学问题的一把金钥匙_图文

第2 期

: “算两次” 郑日锋 的思想方法

· 23·

立, ③是具有性质 P 的映射. 因此, 具有性质 P 的映射的序号为①, ③. 上述例题是在新定义下, 考查学生的逻 辑推理能力. 一般需要肯定一个结论就要通过演绎 点评 推理的方法证明其正确性, 在数学的推理中, 我们 大量使用的就是这种演绎推理; 而要否定一个结 论, 只要能举出一个反例就可. 演绎推理是推理证 明的主要途径, 而“三段论 ” 是演绎推理的一种重 要的推理形式, 在高考中以证明题出现的频率较 高. 5 精题集萃 1 . 观察下列等式 1 = 1, 2 + 3 + 4 = 9, 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 , 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49 , … . 照此规律, 第 n 个等式为 2 . 在平面几何里, 有勾股定理: 设 △ABC 的 2 2 2 2 AC 互相垂直, 条边 AB , 则 AB + AC = BC ; 拓展到 空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧 面面积与底面面积间的关系, 可以得出的正确结论 BCD 的 3 个侧面 ABC , ACD, ADB 两 是: 设三棱锥 A. 两相互垂直, 则 3 . 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 则 S4 , S8 - S4 , S12 - S8 , S16 - S12 成等差数列. 类比以上结 论有: 设 等 比 数 列 { b n } 的 前 n 项 积 为 T n , 则 T4 , T16 , , 成等比数列. T12 4 . 设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合, 对

a ∈ V, 记 a 的象为 f ( a ) . 若映射 f: 于映射 f: V→V, V→V 满足: 对所有 a, b ∈ V 及任意实数 λ , μ 都有 f( λa + μb) = λf( a) + μf ( b ) , 则 f 称为平面 M 上的 线性变换. 现有下列命题: a, b ∈V, ①设 f 是平面 M 上的线性变换, 则 f( a + b) = f( a) + f( b) ; ②若 e 是平面 M 上的单位向量, 对 a ∈ V, 设 f ( a ) = a + e, 则 f 是平面 M 上的线性变换; ③对 a ∈ V , 设 f( a ) = - a, 则 f 是平面 M 上的 线性变换; a ∈ V, ④设 f 是平面 M 上的线性变换, 则对任 意实数 k 均有 f( ka) = kf( a) . 其中的真命题是 的编号) . ( 写出所有真命题

5 . 已知点 A ( x1 , 2 x1 ) , B ( x2 , 2 x2 ) 是函数 y = 2 x 的图像上任意 2 个不同的点, 依据图像可知, 线段 AB 总是位于点 A, B 之间函数图像的上方, 因此有 x1 x2 x1 + x2 2 +2 > 2 2 成立. 运用类比思想方法可知, 结论 2 sinx1 ) , B ( x2 , sinx2 ) 是函数 y = sinx ( x ∈ 若点 A( x1 , ( 0, π ) ) 图 像 上 2 个 不 同 的 点, 则类似地有 成立. 参考答案 1. n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) + … + ( 3n - 2 ) = ( 2n - 1)
2 2 2 2 2 . S2 △ABC + S △ACD + S △ADB = S △BCD

3. 5.

T8 T12 , T4 T8

4 . ①③④

sinx1 + sinx2 x1 + x2 < sin 2 2

“ 算 两 次 ”的 思 想 方 法
— — —解决数学问题的一把金钥匙
●郑日锋
( 杭州学军中学 浙江杭州 310012 )

美国数学教育家波利亚说“为了得到一个方 我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出 程, , “算两次” , 来” 即将一个量 从而建立相等关系, 这 就是算两次原理, 又称富比尼 ( G. Fubini ) 原理. 单 1] 中, 将算两次原理形象地比喻成 墫教授在文献[

“三步舞曲” , , “一 即从 2 个方面考虑一个适当量 , 另一方面 ……, 综合起来可得 ……” 如 方面……, 果一个 数 学 研 究 对 象 具 有“双 重 身 份 ” 或“两 面 , 性” 也就是说既满足条件 A 又满足条件 B , 就可以 考虑使用这种方法.

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中学教研 ( 数学)

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“算两次” 是从不同角度看问题的另一种说 法, 是一种常用的数学方法, 它体现了数学的转化 思想、 方程思想. 本文阐述“算两次 ” 思想在解题中 的作用. 1 建立方程( 等式) “算两次 ” . 2 个方 通常的列方程其实就是一种 因此结果相等, 这就产生了 面考虑的是同一个量, 方程( 等式) . 许多数学公式的推导可以运用“算两 次” 思想, 如两角和的余弦公式的向量方法证明 . 例 1 如 图 1 ,在 D, E 分别是边 △ABC 中, AB ,AC 上 的 点,DB = 1 1 AB , CE = CA, CD 与 3 4 ?→ BE 交 于 点 F. 设 AB = a, ?→ ?→ AC = b, AF = xa + yb, 求实 y 的值. 数 x, 解 F, E 共线, 因为点 B , 所以存在实数 m, 使 ?→ ?→ ?→ 3 AF = m AB + ( 1 - m) AE = ma + ( 1 - m) b. 4 F, C 共线,所以存在实数 n, 因为点 D, 使 ?→ ?→ ?→ 2 AF = n AD + ( 1 - n) AC = na + ( 1 - n) b, 3 因此 ma + 3 2 ( 1 - m) b = na + ( 1 - n) b. 4 3

x2 , x2 ∈[ 1, 2] , 设 f( x) 的 2 个极值点为 x1 , 则 x1 , 且 x1 , x2 是方程 f( x) = 0 的 2 个根, 于是 f ' ( x ) = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , 得 即 f' 1 1 1 = + a + b = ( - x ) ( - x ), (1 2) 4 2 2 1 1 1 a +b = (x - )(x - ) - . 2 2 4
1 2 1 2

由 1 ≤x1 ≤2 , 得 1 1 3 ≤x1 - ≤ , 2 2 2 同理可得 于是 1 1 3 ≤x2 - ≤ , 2 2 2 1 1 ≤ x1 - 2 4 评注

(

)(x

2



1 9 ≤ , 2 4

)

图1



0 ≤a + b≤2 . 本题利用“算两次 ” 思想, 通过二次函 的 2 种不同的 (1 2)

数的一般式与双根式, 得到 f '

x2 的函数. 从而建立起 a + b 关于 x1 , 表达式, 2 建立不等式 如果在考虑一个量时, 一方面得到了精确的结 而另一方面采用了估计 ( 放缩 ) , 或者 2 个方面 果, 都采用了估计( 一放大、 一缩小 ) , 那就产生了不等 式. 例3 A2 , …, An 对于某些正整数 n, 存在 A1 , 2, …, n } 的 n 个不同的子集, 为集合{ 1 , 满足下列 j, 条件: 对任意不大于 n 的正整数 i, ① i ? Ai , 且每 个 A i 中至少含 3 个元素; ②i∈A j 的充要条件是 j? A i ( 其中 i ≠ j ) . 为了表示这些子集, 作 n 行 n 列的 数表, 规定第 i 行第 j 列的数为 a ij =

由平面向量基本定理, 得

{

2 m = n; 3 3 ( 1 - m) = 1 - n, 4 m= 1 1 , n= . 3 2

解得 因此 即 评注

?→ 1 1 AF = a + b, 3 2 1 1 x= , y= . 3 2

{

0 ( i ?A j ) ; 1 ( i ∈A j ) .

( 1 ) 求该数表中每列至少有多少个 1 ; ( 2 ) 用 n 表示该数表中 1 的个数, 证明: n≥7 ; ( 3 ) 请构造出集合{ 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 } 的 7 个不 A2 , …, A7 , A2 , …, A7 满足题设 同子集 A1 , 使得 A1 , 条件( 写出 1 种答案即可) . 解 ( 1 ) 由①知数表中每列至少有 3 个 1 .

本题利用了共起点的向量终点共线定 ?→ 理, 通过 2 次计算 AF , 从而建立向量方程, 使问题 得到解决. 例2 设函数 f( x) = x3 1, 2] + ax2 + bx + c 在[ 3

( 2 ) ①i ?A i , 表明数表的对角线上的数字都是 0 ; ②表明除这条对角线以外, a ij 和 a ji 恰好一个为 1 而另一个为 0 , 故数表中共有 n2 - n 个 1 . 又数表每 2

内有 2 个极值点, 求证: 0 ≤a + b≤2 . 证明 由题意得 f ' ( x) = x2 + 2 ax + b.

第2 期

: “算两次” 郑日锋 的思想方法

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列至少有 3 个 1 , 整个数表至少有 3 n 个 1 , 因此, n -n ≥3 n, 解得 n≥7 . 2 ( 3 ) 可以构造 A1 = { 2 , 3, 4} , A2 = { 3 , 4, 5} , A3 = { 4 , 5, 6} , A4 = { 5 , 6, 7} , A5 = { 6 , 7, 1} , A6 = { 7, 1, 2} , A7 = { 1 , 2, 3} . 评注 第 ( 2 ) 小题, 利用算两次思想, 一方面 n2 - n , 另一方面又得到数 2
2

由式( 3 ) , 式( 4 ) 得 3 > 1, a 即 又由 a > 1 , 得 a < 3. a = 2.

等式 a m + 3 = b n 可化为 2 + ( m - 1 ) b + 3 = b·2 n - 1 , 即 b ·( 2 n - 1 - m + 1 ) = 5 , a n = 2 + ( n - 1 ) ·5 = 5 n - 3 . 故选 C . 评注 利用“算两次 ” 思想, 对 2 1 + 进行 2 b a 因此 b 是 5 的约数, 故 b = 5 . 综合可得

得到数表中 1 的个数为

n2 - n 得到不等式 ≥3 n. 表中 1 的个数至少为 3 n, 2 例4 已知 f( x) 是定义在 R 上的函数, 且对任 . f( x + 20 ) - 满足 f( x + 4 ) - f( x) ≤2 x + 3 , 意 x ∈R, f( x) ≥10 x + 95 , 且 f( 0 ) = 0 , 则 f( 24 ) = 解 f( 24 ) = f( 0 ) + [ f( 4 ) - f( 0) ]+ [ f( 8 ) - f( 4) ]+ … + [ f( 24 ) - f( 20) ] ≤ 2 × ( 0 + 4 + … + 20 ) + 3 × 6 = 6 × 20 2× + 18 = 138 , 2 f( 24 ) = f( 4 ) + [ f( 24 ) - f( 4) ] ≥f( 4 ) + 135 , 同理可得 因此 f( 20 ) ≤95 , f( 20 ) ≥95 , f( 20 ) = 95 .

个方面的估计, 缩小得到式 ( 3 ) , 放大得到式 ( 4 ) , 综合得到关于 a 的不等式 3 归谬 在解决某些存在型探索性问题 ( 或反证法证 明命题) 时, 首先假设满足条件 ( 或假设结论不成 考虑某个量的性质, 从 2 个不同的角度, 也会 立) , 得到 2 个不同的关系, 而这 2 个关系是互相矛盾 的, 从而说明不存在( 或假设错误) . 例6 已知函数 f( x) = 1 2 x + ( a - 3 ) x + lnx. 2 3 > 1. a

由于 f( 20 ) ≤95 是将 5 个同向不等式相加而得到 因此这 5 个同向不等式同时取等号, 故 f( 4 ) - 的, f( 0 ) = 3 , 即 f( 4 ) = 3 , 从而 f( 24 ) ≥138 . 综上所述 评注 例5 以不等促相等. 已知等差数列 { a n } 的首项为 a, 公差为 b, b都 等比数列{ b n } 的首项为 b, 公比为 a, 其中 a, a3 > b2 , 且 a1 < b1 , 对于任意的 是大于 1 的正整数, n ∈N * , 使得 a m + 3 = b n 成立, 则 an = A. 2 n + 1 C. 5 n - 3 解 由 a3 > b2 得 a + 2 b > ba, 由 a1 < b1 得 得 除以 ab, 1 2 + > 1, b a 由式( 2 ) 得 1 2 3 + < , b a a ( 3) ( 4) a < b. ( 1) ( 2) B. 3 n - 1 D. 6 n - 2 ( ) f( 24 ) = 138 . 本题 2 次利用了算两次思想, 均实现了

( 1 ) 若函数 f( x) 是定义域上的单调函数, 求实 数 a 的最小值. ( 2 ) 在函数 f ( x ) 的图像上是否存在 2 个不同 y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 的点 A( x1 , 线段 AB 的中点的横坐 标为 x0 , 直线 AB 的斜率为 k, 有 k = f ' ( x0 ) 成立? 若存在, 请求出 x0 的值; 若不存在, 请说明理由. 解 ( 1 ) f ' ( x) = x + a - 3 + 1 ( x > 0) . x

若函数 f( x) 在 ( 0 ,+ ∞ ) 上递增, 则 f ' ( x) 对 x > 0 恒成立, 即 a≥ - x + 立, 而当 x > 0 时, - x+ 得

(

1 x

) + 3 对 x > 0 恒成

b 都是大于 1 的正整数, 因为 a, 将式 ( 1 ) 的 2 边都

(

1 x

) + 3≤ - 2 + 3 = 1,
a≥1 .

+ ∞ ) 上递减, 若函数 f( x) 在( 0 , 则 f ' ( x ) ≤0 1 + 3 对 x > 0 恒成 对 x > 0 恒成立, 即 a≤ - x + x

(

)

这是不可能的. 立,

· 26· a≥1 , a 的最小值为 1 . 综上所述, ( 2 ) 假设存在, 不妨设 0 < x1 < x2 , 则 k= f( x1 ) - f( x2 ) = x1 - x2

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的左顶点. ( 1 ) 求圆 G 的半径 r; 1) ( 2 ) 过 点 M ( 0, 作圆 G 的 2 条切线交椭 F ,证 明: 直 圆于 点 E , 图2 线 EF 与圆 G 相切. ( 2009 年江西省数学高考文科试题) 2 . 已知函数 f ( x ) = x3 - ( k2 - k + 1 ) x2 + 5 x - 2, g( x) = k2 x2 + kx + 1 , 其中 k∈R. ( 1 ) 设函数 p ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , 若 p ( x ) 在区 3 ) 上不单调, 间( 0 , 求 k 的取值范围. ( 2 ) 设函数 q ( x ) =

1 2 1 x + ( a -3) x1 + lnx1 - x2 - ( a -3) x2 - lnx2 2 1 2 2 = x1 - x2 x1 x2 x0 - ( a - 3 ) + . x1 - x2 ln 从而 1 f ' ( x0 ) = x0 + ( a - 3 ) + . x0 x1 x2 1 = , x1 - x2 x0 ln 即 x1 ln x2 2 = , x1 - x2 x1 + x2 x1 -2 x1 x2 ln = . x2 x1 +1 x2 2 x1 2t - 2 , u( t) = lnt - ( 0 < t < 1) , 则 x2 t +1 ( t - 1) 2 u' ( t) = > 0, t( t + 1 ) 2 可得 u( t) 在 0 < t < 1 上递增, 从而 u( t) < u( 1 ) = 0 , 式( 5 ) 不成立, 与假设矛盾, 于是 k ≠f ' ( x0 ) . 因此, 满足条件的 x0 不存在. 评注 在第 ( 2 ) 小题中, 利用算两次思想, 一 2t - 2 = 0, 方面得到 lnt - 另 一 方 面 又 得 到 lnt - t +1 2t - 2 < 0, 从而达到归谬的目的. t +1 以上例举了利用“算两次 ” 思想建立方程 ( 等 , “算两次” 式) 、 建立不等式、 归谬 思想还有其他方 面的应用, 限于篇幅, 本文不再赘述. 下面的问题供 有兴趣的读者练习. 4 精题集萃 1 . 如图 2 , 已知圆 G : ( x - 2 )
2

若 k = f ' ( x0 ) , 则

{

g( x) , x≥0 , 是否存在 k, f( x) , x <0

对任意给定的非零实数 x1 , 存在唯一的非零实数 x2 ( x2 ≠x1 ) , 使得 q' ( x2 ) = q' ( x1 ) ? 若存在, 求k的 值; 若不存在, 请说明理由. ( 2009 年浙江省数学高考理科试题) ( 5) 1 1 3 . 正实数 x, y, z 满足 x + y + z = 3 , + + x y 1 1 + = 4, y, z. 求 x, z xyz 参考答案 1. ( 1) r = 2 ; ( 2 ) 略. 3

亦即

令t=

2 . ( 1 ) k ∈( - 5 , - 2 ) ; ( 2 ) 存在, 且 k = 5. 3 . 提示: 由柯西不等式, 得 ( x + y + z)

( 1x + 1y + 1z ) ≥9,

由 x + y + z = 3, 得 1 1 1 + + ≥3 , x y z 从而 得 1 =4 - xyz

( 1x + 1y + 1z ) ≤1,
3

xyz≥1 . 3 由 个正数的平均不等式, 得 即 3 = x + y + z≥3 槡 xyz , xyz≤1 ,

xyz = 1 , 因此, 故 x = y = z = 1. 参 考 文 献

+ y2 = r2 是椭圆 [ 1] 单墫. 解题研究[ M] . 上海: 上 海 教 育 出 版 2007 . 社,

x2 + y2 = 1 的内接 △ABC 的内切圆, 其中 A 为椭圆 16


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