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高中数学 1-1-3正、余弦定理习题课课件 新人教A版必修5


第一章
解三角形

第一章
1.1 正弦定理和余弦定理

第一章
第 3 课时 正、余弦定理习题课

课前自主预习

方法警示探究 课堂巩固训练

思路方法技巧 课后强化作业 名师辩误做答

课程目标解读

1.熟练应用正、余弦定理解三角形. 2.综合运用三角函数、平面向量及解三角形的知识,解 决一些实际问题.

课前自主预习

a+b+c t 1.由正弦定理和等比性质可得, =sinA, sinA+sinB+sinC
a 则 t=___.

1 sinC 2.由正弦定理可得三角形的面积 S=2ab· ______. 3 . 由 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 可 得 tanA + tanB +
= tanA· tanC____ tanB· tanC(填>,=或<).

A+B C 4.由诱导公式可得 sin =cos . 2 2 5.在△ABC 中, ①若 sinA=sinB,则 A=B. ②若 cosA=cosB,则 A=B. ③若 sinA>sinB,则 A>B. ④若 cosA>cosB,则 A>B.
①②③ 其中正确结论的序号是_________.

重点难点展示

重点:正、余弦定理的综合应用. 难点:复杂的解三角形条件中寻找解题的突破口.

思路方法技巧

命题方向

三角形中的三角函数

[例 1]

设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、

3 c,cos(A-C)+cosB= ,b2=ac,求 B. 2 [分析] 三角形内角 A、B、C 满足 A+B+C=π,故条

3 件式 cos(A-C)+cosB=2可化为只含 A 与 C 的表达式.由正 弦定理可将条件式 b2=ac 化为角的表达式 sin2B=sinA· sinC, 进而可解出角 B.

[解析]

3 由 cos(A-C)+cosB= 及 B=π-(A+C)得 2

3 cos(A-C)-cos(A+C)= , 2 3 ∴cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)= , 2 3 ∴sinAsinC= . 4 又由 b2=ac 及正弦正理得,sin2B=sinAsinC,

3 3 3 故 sin B=4,sinB= 2 或 sinB=- 2 (舍去),
2

π 2π 于是 B=3或 B= 3 . 2π 3 若 B= 3 ,则 cos(A-C)=2-cosB=2,这不可能,所以 B π = . 3

在△ABC 中,BC= 5,AC=3,sinC=2sinA. (1)求 AB 的值; (2)求
? π? sin?2A-4?的值. ? ?

[解析]

(1)在△ABC 中,根据正弦定理得,

AB BC = . sinC sinA BC· sinC 于是 AB= =2BC=2 5. sinA (2)在△ABC 中,根据余弦定理得, AB2+AC2-BC2 2 5 cosA= = 5 , 2AB· AC 5 于是 sinA= 1-cos A= 5 .
2

4 从而 sin2A=2sinAcosA= , 5 3 cos2A=cos A-sin A=5.
2 2

所以

? π? π π 2 ? ? sin 2A-4 =sin2Acos4-cos2Asin4= 10 . ? ?

命题方向

三角形的面积公式

[例 2]

在△ABC 中,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C

π B 2 5 的对边.若 a=2,C= ,cos = ,求△ABC 的面积 S. 4 2 5 [分析] B 由 cos 2 可求得 cosB、sinB,由△ABC 内角关系

及边 a 用正弦定理可求 b(或 c),再代入面积公式可求面积.

[解析]

3 由题意得,cosB=2cos -1= , 2 5
2

2B

4 ∴B 为锐角,sinB= 1-cos B=5,
?3π ? 7 2 sinA=sin(π-B-C)=sin? 4 -B?= 10 , ? ?

asinC 10 由正弦定理得 c= = , sinA 7 1 1 10 4 8 ∴S=2ac· sinB=2×2× 7 ×5=7.

(2012· 新课标全国理,17)已知 a,b,c 分别为△ABC 三 个内角 A,B,C 的对边,acosC+ 3asinC-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

[解析]

(1)由 acosC+ 3asinC-b-c=0 及正弦定理得

sinAcosC+ 3sinAsinC-sinB-sinC=0. 因为 B=π-A-C,所以 3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0, π 1 由于 sinC≠0,所以 sin(A- )= . 6 2 π 又 0<A<π,故 A= . 3

1 (2)△ABC 的面积 S= bcsinA= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccosA,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.

[点评]

本题综合考查了三角形中的三角恒等式的化简,

利用两角和的公式,辅助角公式以及正弦余弦定理.本题是常 规题目,但紧扣考试说明,万变不离其“本”(教材).

命题方向

方程思想

[例 3]

在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,

AB=14,∠BDA=60° ,∠BCD=135° ,求 BC 的长.

[分析]

欲求 BC,在△BCD 中,已知∠BCD,∠BDC 可

求, 故须再知一条边; 而已知∠BDA 和 AB、 AD, 故可在△ABD 中,用正弦定理或余弦定理求得 BD.这样在△BCD 中,由正弦 定理可求 BC.

[解析]

在△ABD 中,设 BD=x,由余弦定理:BA2=BD2

+AD2-2BD· AD· cos∠BDA 即 142=x2+102-2· 10x· cos60° , 整理得:x2-10x-96=0, 解之:x1=16,x2=-6(舍去), BC BD 由正弦定理得: = , sin∠CDB sin∠BCD 16 ∴BC=sin135° · sin30° =8 2.

(2010~2011· 河南汤阴县一中高二期中)在锐角△ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a=2csinA. (1)确定角 C 的大小; 3 3 (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为 2 ,求 a+b 的值.

[解析] 2sinCsinA.

(1) 由 3 a = 2csinA 及 正 弦 定 理 得 , 3 sinA =

3 ∵sinA≠0,∴sinC= . 2 π ∵△ABC 是锐角三角形,∴C= . 3

π 3 3 (2)∵C=3,△ABC 面积为 2 , 1 π 3 3 ∴ absin = ,即 ab=6.① 2 3 2 ∵c= 7,∴由余弦定理得 π a +b -2abcos3=7,即 a2+b2-ab=7.②
2 2

由②变形得(a+b)2=3ab+7.③ 将①代入③得(a+b)2=25,故 a+b=5.

探索延拓创新

命题方向

综合应用

[例 4]

在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、

π 4 c,B= ,cosA= ,b= 3. 3 5 (1)求 sinC 的值; (2)求△ABC 的面积.

[分析] (1)已知角 B 和 cosA,利用内角和定理及两角和与 差的三角函数,可求 sinC. (2)利用正弦定理求三角形面积需要两边及夹角,已知边 b 及三内角,可利用正弦定理再求出一边,然后求面积.

[解析]

(1)∵角 A、B、C 为△ABC 的内角,

π 4 且 B= ,cosA= , 3 5 2π 3 ∴C= 3 -A,sinA=5.
?2π ? ∴sinC=sin? 3 -A?= ? ?

3+4 3 3 1 2 cosA+2sinA= 10 .

3+4 3 3 (2)由(1)知 sinA= ,sinC= . 5 10 π 又∵B=3,b= 3, bsinA 6 ∴在△ABC 中,由正弦定理得 a= sinB =5. 3+4 3 1 1 6 ∴△ ABC 的面积 S = 2 absinC = 2 × 5 × 3 × 10 = 36+9 3 . 50

(2010~2011· 山东苍山高二期中)设锐角三角形 ABC 的内 角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a2+c2-b2= 3ac. (1)求角 B 的大小; (2)求 cosA+sinC 的取值范围.

[解析]

3 (1)∵a +c -b = 3ac,∴cosB= 2 ,
2 2 2

π ∵0<B<π,∴B= . 6
? ? π (2)cosA+sinC=cosA+sin?π-6-A? ? ? ?π ? 1 ? ? =cosA+sin 6+A =cosA+ cosA+ 2 ? ?

3 sinA 2



? π? 3sin?A+3?, ? ?

5π ∵△ABC 为锐角三角形,A+C= 6 ,

π ? ?0<A<2 ∴? ?0<5π-A<π 2 ? 6 2π π 5π ∴ 3 <A+3< 6 ,

π π ,∴ <A< , 3 2

? π? 3 1 ∴2<sin?A+3?< 2 . ? ? ? π? 3 3 ∴ < 3sin?A+3?< . 2 ? ? 2

所以,cosA+sinC

? 的取值范围为? ? ?

3 3? ? , ?. 2 2?

名师辩误做答

[例 5]

在△ABC 中,角 A,B,C 满足 2B=A+C,B 的

对边 b=1,求 a+c 的取值范围. [错解] ∵2B=A+C,A+B+C=π,

π 2π ∴B=3,C= 3 -A, bsinA bsinC 2 3 ∴a+c= sinB + sinB = 3 (sinA+sinC) 2 3 2π = 3 [sinA+sin( 3 -A)]

π = 3sinA+cosA=2sin(A+6), π π 7π ∵0<A<π,∴ <A+ < , 6 6 6 1 π 1 ∴-2<sin(A+6)<2, ∴-1<a+c<1,又 a+c>0,∴0<a+c<1.

[辨析]

错解中前面还照顾到了 A 与 C 的相互制约关系,

π 后面在讨论 sin(A+ )的取值范围时又忽略了.误把(0,π)作为 6 π π 7π 1 A 的取值范围;另一处错误是,由6<A+6< 6 得出-2<sin(A+ π 1 π 7π )< ,事实上 sinx 在( , )上不单调. 6 2 6 6

[正解]

在原解答中把“∵0<A<π”后面的去掉,换为 2π ,∴0<A< , 3

?0<A<π ?0<C<π ∵? ?C=2π-A 3 ? π π 5π ∴6<A+6< 6 ,

1 π ∴2<sin(A+6)≤1,∴1<a+c≤2.

课堂巩固训练

一、选择题 1.在△ABC 中,已知 3b=2 3asinB,且 cosB=cosC,则 △ABC 的形状是( A.等边三角形 C.直角三角形
[答案] A

) B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

[解析]

由 cosB=cosC 知 B=C, 由 3b=2 3asinB, 得 3sinB

3 π =2 3sinAsinB.即 sinA= ,所以 A= .因而△ABC 为等边三 2 3 角形.

2.根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是 ( ) A.a=8,b=16,A=30° 有两解 B.b=18,c=20,B=60° 有一解 C.a=5,b=2,A=90° 无解 D.a=30,b=25,A=120° 有一解
[答案] D

[解析]

8 16 先看 A 项,由sin30° =sinB得 sinB=1,一解;

再看 B 项,c>b,B=60° ,csinB=10 3<18=b,故有两解; C 选项,由勾股定理得 c= 21一解; D 项,A=120° 为钝角,且 a>b,B、C 为锐角,一解.

3. 已知△ABC 中, AB= 3, AC=1, 且 B=30° , 则△ABC 的面积等于( 3 A. 2 ) 3 B. 4

3 3 3 C. 或 3 D. 或 2 4 2
[答案] D

[解析]

AC AB 3 由正弦定理 = 得,sinC= , sinB sinC 2

∵AB>AC,∴C>B, ∴C=60° 或 120° , ∴A=90° 或 30° , 1 3 3 ∴S△ABC=2AB· ACsinA= 2 或 4 .

二、填空题 tanA-tanB c-b 4.在△ABC 中,若 = ,∠A=______. c tanA+tanB

[答案]

60°

[解析]

sinA sinB - cosA cosB sinC-sinB 由正弦定理得, sinA sinB = sinC , + cosA cosB

sin?A-B? sinC-sinB 即: = sinC , sin?A+B? ∵sin(A+B)=sinC,∴sin(A-B)=sinC-sinB, ∴sinB=sin(A+B)-sin(A-B), 1 即 sinB=2sinBcosA,∴cosA= ,∴∠A=60° . 2


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