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重庆潼南柏梓中学2012年高三模拟题(十六)


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重庆柏梓中学高三数学模拟试题(十六)
命题人 一、选择题(5×10=50 分)
1.已知集合 A ? x x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x log x 4 ? 2 ,则 A ? B ? ( A. ??2,1, 2? B. ?1, 2? C. ?2? D. ??2, 2?

蒋红伟


?

?

?

?

2.设 x, y ? R ,那么“ x ? y ? 0 ”是“

x ? 1 ”的( y



A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知直线 y ? kx ? 1与曲线 y ? x 3 ? ax ? b 切于点 (1,3) ,则 b 的值为( A.3 B. ? 3 C.5 D. ? 5 )

3 π , 0 ? ? ? π ,则 tan(? ? ) =( ) 5 4 1 1 A. B. ? 1 C. D. ? 7 5 7 5.下列函数中,既是偶函数,又在 ?0,?? ? 上单调递减的函数是(
4.已知 cos ? ? A. y ? ln

)

1 x

B. y ? x 3

C. y ? 2

x

D. y ? cos x

6.圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 5a ? 0 关于直线 y ? x ? 2b 成轴对称图形,则 a ? b 的取值范围是( A. (4,?? ) B. (?? ,0) C. (?4,?? ) D. (?? ,4)



7.已知关于 x 的二项式 ( x ? A.1 B. ? 1

a
3

x

) n 展开式的二项式系数之和为 32,常数项为 80,则 a 的值为(
D. ? 2



C.2

8.在区间 ? 0,1? 内任取两个实数,则这两个实数的和大于 A.

1 的概率为( 3



2 9

B.

7 9

C.

17 18

D.

1 18

9.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 36, an?1 ? an ? 2n ,则 A.10 B.11 C.12 D.13

an 的最小值为( n



10. P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,且 PA ? 平面 ABCD, PB ? 2 2, PC ? 17, PD ? 锥 P ? ABCD 的体积等于( A.2 B.4 C.6 ) D.12

13 ,则四棱

二、填空题(5×5=25 分)
11.若数列 ?an ?满足 2an ? 2an?1 ? d (n ? 2) ,且 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 的方差为 4,则 d =_______

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1

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12.把编号为 1、2、3、4、5 的 5 位运动员排在编号为 1、2、3、4、5 的 5 条跑道中,若有且只有两位 运动员的编号与其所在跑道编号相同,则不同的排法种数共有________种 13.已知三角形 ABC的顶点 A ? ?4,0 ? , C ? 4,0 ? , B 在椭圆

x2 y2 sin A ? sin C ? ? 1 上,则 ? ____ 25 9 sin B

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则实数 a ? 14.椭圆 4 a2 a 2 ? ? 15.向量 a ? (3, 4) 在向量 b ? (1, 0) 方向上的投影为_____

三、解答题(75 分)
16. (本题满分 13 分)已知函数f ? x ? = a0 + a1x + a2 x + a3 x + ??? + an x
2 3 n

? n ? N ? 的图象经过
?

点 (0,0) 和 (1, n 2 ) (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 ? an an +1 ?

17. (本小题满分 13 分)已知书架中甲层有英语书 2 本和数学书 3 本,乙层有英语书 1 本和数学书 4 本. 现从甲、乙两层中各取两本书. (1)求取出的 4 本书都是数学书的概率. (2)求取出的 4 本书中恰好有 1 本是英语书的概率.

18. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? R, 0 ? ? ? ? ) 在 x ?

?
12

时取得最大

值 4. (1) 求 f ( x) 的解析式;

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2

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2 ? 12 (2) 若 f ( ? ? ) ? ,求 sin? . 3 12 5

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19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

x3 ? (a ? 1) x 2 ? 4ax ? b, 其中a、b ? R 3
1 ,求 a、b 的值; 2

(1)若函数 f (x) 在 x ? 3 处取得极小值是 (2)求函数 f (x) 的单调递增区间;

(3)若函数 f ( x) 在 (?1,1) 上有且只有一个极值点, 求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分)如图,三棱锥 P ? ABC 中,侧面 PAC ? 底面 ABC ,

?APC ? 90? ,且 AB ? 4 , AP ? PC ? 2, BC ? 2 2 .
(1)求证: PA ? 平面 PBC ; (2)若 E 为侧棱 PB 的中点,求直线 AE 与底面 ABC 所成角的正弦值.
A

P

E C B

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21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,其中 F2 也是 a 2 b2

2 抛物线 C2 : y ? 4 x 的焦点, M 是 C1 与 C 2 在第一象限的交点,且 | MF2 |?

5 . 3

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)已知菱形 ABCD 的顶点 A, C 在椭圆 C1 上,顶点 B , D 在直线 7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上,求直线 AC 的方程.

高三数学模拟试题(十六)参考答案
BBADA DCCBB 11. ? 2 12.20 13.

5 4

14.1

15.3

2 16.解: (1) f ?0 ? =0,则 a0 ? 0 ,因 f ?1? ? n 2 ,则 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? n 2 当 n ? 2 时, a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ?1 ? n ,所以 an ? 2n ? 1,又因为 a1 ? 1 ? S1 ,所以 an ? 2n ? 1

(2)因为

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

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4

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所以 S n ?

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1? 1 1 1 1 1 ? n ? ?1 ? ? - - ? ? ? ? ? = 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1

17.解(1)设“从甲层取出的 2 本书均为数学书”的事件为 A ,“从乙层取出的 2 本书均为数学书” 的事件 为 B ,由于 A、B 相互独立,记“取出的 4 本书都是数学书的概率” P 1
2 C 32 C 4 9 P ? P( AB) ? P( A) P(B) ? 2 ? 2 ? 1 C 5 C 5 50

6分

(2)设“从甲层取出的 2 本书均为数学书, 从乙层取出的 2 本书中, 本是英语, 本是数学” 的事件为 C , “从 1 1 甲层取出的 2 本书中, 本是英语, 本是数学, 1 1 从乙层取出的 2 本书中均为数学” 的事件为 D , 由于 C, D 互斥,记“取出的 4 本书中恰好有 1 本是英语书的概率”为 P2

P2 ? P(C ? D) ? P(C) ? P( D) =
18. (1) f ( x) ? 4 sin( x ? 3

1 1 1 2 C 32 C 4 C 2 C 3 C 4 12 ? 2 ? ? 2 ? C 52 C 5 C 52 C 5 25

13 分

?
4

)

(2) f (

5 2 ? ? ? ? 12 ? 2 ? ? ) ? 4 sin ?3( ? ? ) ? ? ? , sin ? ? ? 5 3 12 12 4? 5 ? 3
' 2

19.解: 1)? f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 4a (

......2 分 解得: b ? ?4
'

? f ' (3) ? 9 ? 6(a ? 1) ? 4a ? 0
' 2

得 a?

3 1 ? f (3) ? 2 2

4分

(2)? f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 4a ? ( x ? 2a )( x ? 2)

令 f ( x) ? 0,即x ? 2a或x ? 2

当 a ? 1时,x ? 2a, x ? 2 ,即 f (x) 的单调递增区间为 (??,2)和(2a,??) 当 a ? 1时,f ( x) ? ( x ? 2) ? 0 ,即 f (x) 的单调递增区间为 (??,??)
' 2

当 a ? 1时,x ? 2a, x ? 2 ,即 f (x) 的单调递增区间为 (??,2a )和(2,??) (3)由题意可得: ?

8分

?a ? 1 ? f (?1) ? f (1) ? 0
' '

? (2a ? 1)(2a ? 1) ? 0

?

1 1 ?a? 2 2
12 分

1 1 ? a 的取值范围 (? , ) 2 2
20. 【解】(1) 证明:由 ?APC ? 90? 知, PA ? PC , 又 AP ? PC ? 2 ,所以 AC ? 2 2 , 2分

又 AB ? 4 , BC ? 2 2 ,所以 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 , 所以 ?ACB ? 90? ,即 BC ? AC , 又平面 ACP ? 平面 ABC ,平面 ACP ? 平面 ABC = AC , BC ? 平面 ABC , BC ? 平面 ACP ,所以 AP ? BC , 5分

3分

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又 PC ? BC ? C ,所以 PA ? 平面 PBC (2)如图,取 AC 中点 O,连接 PO、OB,并取 OB 中点 H,连接 AH、EH, 因为 PA=PC,所以 PO⊥AC,同(Ⅰ)易证 PO ? 平面 ABC , 又 EH ? PO ,所以 EH ? 平面 ABC ,????????8 分

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6分
P

E C A O H B

EH 则 ? EAH 为直线 AE 与底面 ABC 所成角,且 sin ?EAH ? ??10 分 AE
1 1 2 又 PO ? AC ? 2 ,也所以有 EH ? PO ? , 2 2 2
由(Ⅰ)已证 AP ? 平面 PBC ,所以 AP ? PB ,即 PB ? 故 AE ? PA2 ? PE 2 ? 7 , 于是 sin ?EAH ?

AB 2 ? AP 2 ? 2 3, PE ? 3 ,

EH 2 1 14 ? ? ? AE 2 14 7

所以直线 AE 与底面 ABC 所成角的正弦值为 21.解: (1)设 M ( x1 , y1 ),? F2 (1,0),| MF2 | ?

14 .??12 分 14

5 5 2 2 .由抛物线定义, x1 ? 1 ? ,? x1 ? ,? y1 ? 4 x1 , 3 3 3

? y1 ?

2 6 2 2 6 4 8 .? M ( , ),? M 在 C1 上,? 2 ? 2 ? 1 ,又 b 2 ? a 2 ? 1 3 3 3 9a 3b
? a 2 ? 4 或 a2 ?

? 9a 4 ? 37a 2 ? 4 ? 0
∴椭圆 C1 的方程为

1 2 ? c 舍去.?a2 ? 4, b2 ? 3 9

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)∵直线 BD 的方程为 7 x ? 7 y ? 1 ? 0, ABCD 为菱形,

? AC ? BD ,设直线 AC 的方程为 y ? ?x ? m

? y ? ?x ? m ? 2 ? 7 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 12 ? 0,? A 、 C 在椭圆 C1 上, ?x y2 ?1 ? ? ?4 3
?? ? 0,? m 2 ? 7,?? 7 ? m ? 7 .
设 A( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8m . 7 8m 6m . ? 2m ? 7 7

y1 ? y2 ? (? x1 ? m) ? (? x2 ? m) ? ?( x1 ? x2 ) ? 2m ? ?

? AC 的 中 点 坐 标 为 (
BD : 7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上,

4m 3m 4m 3m 为 , ) , 由 ABCD 菱形 可知, 点 ( , ) 在直线 7 7 7 7

?7 ?

4m 3m ?7? ? 1 ? 0, m ? ?1 7 7
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? m ? ?1? (? 7, 7)
∴直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 .

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