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龙马潭区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

龙马潭区一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知双曲线和离心率为 sin

座号_____

姓名__________

分数__________

? 的椭圆有相同的焦点 F1、F2 , P 是两曲线的一个公共点,若 4
) C.

cos ?F1 PF2 ?
A.

1 ,则双曲线的离心率等于( 2 5 B. 2
) B. C.

6 2

D.

7 2

2. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点 M(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之 和的最小值为( A.3

D. ) D. 260

3. 在下面程序框图中,输入 N ? 44 ,则输出的 S 的值是( A. 251 B. 253 C. 255

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【命题意图】本题考查阅读程序框图,理解程序框图的功能,本质是把正整数除以 4 后按余数分类. 4. 阅读如下所示的程序框图,若运行相应的程序,则输出的 S 的值是( A.39 B .21 C.81 ) D.102

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5. 设方程|x2+3x﹣3|=a 的解的个数为 m,则 m 不可能等于( A.1 B.2
2



C.3
2

D.4

x y ? ? 1 的左右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 是 C 上异于 A1, A2 的任意一点,且直线 PA1 斜率的 4 3 取值范围是 ?1, 2? ,那么直线 PA2 斜率的取值范围是( )
6. 椭圆 C : A. ? ? , ? ? 4 2

? 3 ?

1? ?

B. ? ? , ? ? 4 8

? 3 ?

3? ?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ? ,1?

?3 ? ?4 ?

【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识,意在考查函数与方程思想和 基本运算能力. 7. 如图,棱长为的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 是侧面对角线 BC1 , AD1 上一点,若 BED1F 是菱形,则其在底面 ABCD 上投影的四边形面积( A. ) C.

3? 2 2 D. 4 2 8. 设集合 A={1,2,3}, B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数为( )。
1 2
B.

3 4

A3 B4 C5 D6

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9. 四棱锥的八条棱代表 8 种不同的化工产品,由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没 有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存 放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( A.96 B.48 C.24 +θ)= ,则 sin2θ=( C. ) D. ) D.0

10.(2011 辽宁)设 sin( A.﹣ B.﹣

11.如图, ABCD ? A1B1C1D1 为正方体,下面结论:① BD // 平面 CB1D1 ;② AC1 ? BD ;③ AC1 ? 平 面 CB1D1 .其中正确结论的个数是( )

A.

B.

C.

D. ,

12.如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C、B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为( ﹣ ),∠AOC=α,若|BC|=1,则 cos2 ﹣sin cos ﹣ 的值为( )

A.

B.

C.﹣

D.﹣

二、填空题
13.直线 ax+ by=1 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△ AOB 是直角三角形(O 是坐 . . . 标原点),则点 P(a,b)与点(1,0)之间距离的最小值为 法调查培训结果. 已知男员工抽取了 16 人,则女员工应抽取人数为 15.设 A={x|x≤1 或 x≥3},B={x|a≤x≤a+1},A∩B=B,则 a 的取值范围是

14.某公司对 140 名新员工进行培训,新员工中男员工有 80 人,女员工有 60 人,培训结束后用分层抽样的方

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16.一船以每小时 12 海里的速度向东航行,在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°,行驶 4 小时后,到达 C 处, 看到这个灯塔 B 在北偏东 15°,这时船与灯塔相距为 海里. .(填上所有 17.已知函数 y=f(x),x∈I,若存在 x0∈I,使得 f(x0)=x0,则称 x0 为函数 y=f(x)的不动点;若存在 x0∈I, 使得 f(f(x0))=x0,则称 x0 为函数 y=f(x)的稳定点.则下列结论中正确的是 正确结论的序号) ①﹣ ,1 是函数 g(x)=2x2﹣1 有两个不动点; ②若 x0 为函数 y=f(x)的不动点,则 x0 必为函数 y=f(x)的稳定点; ③若 x0 为函数 y=f(x)的稳定点,则 x0 必为函数 y=f(x)的不动点; ④函数 g(x)=2x2﹣1 共有三个稳定点; ⑤若函数 y=f(x)在定义域 I 上单调递增,则它的不动点与稳定点是完全相同. 18.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为 .

三、解答题
19.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 . (1)若 a ? ?4 求不等式 f ? x ? ? 6 的解集; (2)若 f ? x ? ? x ? 3 的解集包含 ?0,1? ,求实数的取值范围.

20.已知函数 (Ⅰ)求 的解析式; (Ⅱ)若对于任意 (Ⅲ)证明:函数

,且 ,都有

. ,求 的最小值; 的下方.

的图象在直线

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21.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (2)当 PD= AB,且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

22.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, E , F , G, H 分别是 AB, AC, PC, BC 的中点,且

PA ? PB, AC ? BC .

(1)证明: AB ? PC ;

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(2)证明:平面 PAB ? 平面 FGH .

23.(1)计算:(﹣

)0+lne﹣

+8

+log62+log63; ,π),求 cosθ 的值.

(2)已知向量 =(sinθ,cosθ), =(﹣2,1),满足 ∥ ,其中 θ∈(

24.一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成 一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出函数的定义域.

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龙马潭区一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】 试题分析:设椭圆的长半轴长为 a1 ,双曲线的实半轴长为 a2 ,焦距为 2c , PF 1 ? m , PF 2 ? n ,且不妨设

1 ,? 由余弦定理可知: 2 a 2 3a 2 1 3 2 ? 2 ? 4 ,解 4c 2 ? m2 ? n 2 ? mn,?4c 2 ? a12 ? 3a2 ,? 1 ? 2 ? 4 ,设双曲线的离心率为,则 c c 2 2 e ( ) 2 6 得e ? .故答案选 C. 2

m ? n ,由 m ? n ? 2a1 , m ? n ? 2a2 得 m ? a1 ? a2 , n ? a1 ? a2 ,又 cos ?F1 PF2 ?

考点:椭圆的简单性质. 【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义,由 P 为公共点,可把焦半径 接着用余弦定理表示 cos ?F1 PF2 ? PF 1 、PF 2 的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴 a1 , a2 来表示,
2

1 , 2

成为一个关于 a1 , a2 以及的齐次式,等式两边同时除以 c ,即可求得离心率.圆锥曲线问题在选择填空中以考 查定义和几何性质为主. 2. 【答案】B 【解析】解:依题设 P 在抛物线准线的投影为 P′,抛物线的焦点为 F, 则 F( ,0), 依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|, 则点 P 到点 M(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和, d=|PF|+|PM|≥|MF|= = . .

即有当 M,P,F 三点共线时,取得最小值,为 故选:B.

【点评】本题主要考查抛物线的定义解题,考查了抛物线的应用,考查了学生转化和化归,数形结合等数学思 想. 3. 【答案】B

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4. 【答案】D111.Com] 【解析】 试题分析:第一次循环: S ? 3, n ? 2 ;第二次循环: S ? 21, n ? 3 ;第三次循环: S ? 102, n ? 4 .结束循环, 输出 S ? 102 .故选 D. 1 考点:算法初步. 5. 【答案】A
2 2 【解析】解:方程|x +3x﹣3|=a 的解的个数可化为函数 y=|x +3x﹣3|与 y=a 的图象的交点的个数, 2 作函数 y=|x +3x﹣3|与 y=a 的图象如下,



结合图象可知, m 的可能值有 2,3,4; 故选 A. 6. 【答案】B

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7. 【答案】B 【解析】 试题分析:在棱长为的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, BC1 ? AD1 ? 2 ,设 AF ? x ,则 2 ? x ? 1 ? x2 ,

2 3 2 2 ,即菱形 BED1F 的边长为 2 ? ,则 BED1F 在底面 ABCD 上的投影四边形是底边 ? 4 4 4 3 3 为 ,高为的平行四边形,其面积为 ,故选 B. 4 4
解得 x ? 考点:平面图形的投影及其作法. 8. 【答案】B 【解析】由题意知 x=a+b,a∈A,b∈B,则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此集合 M 共有 4 个元素,故选 B 9. 【答案】 B 【解析】 排列、组合的实际应用;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的, 没有公共点的两条棱代 表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品, 求安全存放的不同方法的种数.首先需要把四棱锥个顶点设出来,然后分析到四棱锥没有公共点的 8 条棱分 4 组,只有 2 种情况.然后求出即可得到答案. 【解答】解:8 种化工产品分 4 组,设四棱锥的顶点是 P,底面四边形的个顶点为 A、B、C、D. 分析得到四棱锥没有公共点的 8 条棱分 4 组,只有 2 种情况, (PA、DC;PB、AD;PC、AB;PD、BC)或(PA、BC;PD、AB;PC、AD;PB、DC)
4 那么安全存放的不同方法种数为 2A4 =48.

故选 B. 【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用,其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断,把空间 几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖.
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10.【答案】A

【解析】解:由 sin(

+θ)=sin

cosθ+cos

sinθ=

(sinθ+cosθ)= ,

两边平方得:1+2sinθcosθ= ,即 2sinθcosθ=﹣ , 则 sin2θ=2sinθcosθ=﹣ . 故选 A 【点评】 此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、 两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化 简求值,是一道基础题. 11.【答案】 D 【解析】

考 点:1.线线,线面,面面平行关系;2.线线,线面,面面垂直关系. 【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题,属于中档题型,多项选择题是容易出错的一个题,当考察线面平 行时, 需证明平面外的线与平面内的线平行, 则线面平行, 一般可构造平行四边形, 或是构造三角形的中位线, 可证明线线平行,再或是证明面面平行,则线面平行,一般需在选取一点,使直线与直线外一点构成平面证明 面面平行,要证明线线垂直,可转化为证明线面垂直,需做辅助线,转化为线面垂直. 12.【答案】 A 【解析】解:∵|BC|=1,点 B 的坐标为( 又∠AOC=α,∴∠AOB= ∴sin( ﹣α)= ﹣( = . ﹣α)]=cos , cos( ﹣α)+sin sin( ﹣α) ﹣α,∴cos( ,﹣ ﹣α)= ),故|OB|=1,∴△BOC 为等边三角形,∴∠BOC= ,﹣sin( ﹣α)=﹣ , ,

∴cosα=cos[ = +

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∴sinα=sin[ = ∴ = 故选:A. ﹣ cos2

﹣( = ﹣sin ﹣

﹣α)]=sin . cos ﹣ = =

cos(

﹣α)﹣cos

sin(

﹣α)

(2cos ,

2

﹣1)﹣ sinα=

cosα﹣ sinα

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,三角恒等变换,属于中档题.

二、填空题
13.【答案】 .

【解析】解:∵△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点), ∴圆心到直线 ax+ 即 d= = by=1 的距离 d= , ,

2 2 整理得 a +2b =2,

则点 P(a,b)与点 Q(1,0)之间距离 d= ∴点 P(a,b)与点(1,0)之间距离的最小值为 故答案为: . .

=





【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式,考查学生的计算能力. 14.【答案】12 【解析】

考点:分层抽样 15.【答案】 a≤0 或 a≥3 .

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【解析】解:∵A={x|x≤1 或 x≥3},B={x|a≤x≤a+1},且 A∩B=B, ∴B?A, 则有 a+1≤1 或 a≥3, 解得:a≤0 或 a≥3, 故答案为:a≤0 或 a≥3. 16.【答案】 24 【解析】解:根据题意,可得出∠B=75°﹣30°=45°, 在△ABC 中,根据正弦定理得:BC= 则这时船与灯塔的距离为 24 故答案为:24 . 海里. =24 海里,

17.【答案】 ①②⑤ 【解析】解:对于①,令 g(x)=x,可得 x= 定点,故②正确;
2 2 2 对于③④,g(x)=2x ﹣1,令 2(2x ﹣1) ﹣1=x,因为不动点必为稳定点,所以该方程一定有两解 x=﹣ ,

或 x=1,故①正确;

对于②,因为 f(x0)=x0,所以 f(f(x0))=f(x0)=x0,即 f(f(x0))=x0,故 x0 也是函数 y=f(x)的稳

1,
2 由此因式分解,可得(x﹣1)(2x+1)(4x +2x﹣1)=0

还有另外两解 不动点,故③④错误;

,故函数 g(x)的稳定点有﹣ ,1,

,其中

是稳定点,但不是

对于⑤,若函数 y=f(x)有不动点 x0,显然它也有稳定点 x0; 若函数 y=f(x)有稳定点 x0,即 f(f(x0))=x0,设 f(x0)=y0,则 f(y0)=x0 即(x0,y0)和(y0,x0)都在函数 y=f(x)的图象上,

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假设 x0>y0,因为 y=f(x)是增函数,则 f(x0)>f(y0),即 y0>x0,与假设矛盾; 假设 x0<y0,因为 y=f(x)是增函数,则 f(x0)<f(y0),即 y0<x0,与假设矛盾; 故 x0=y0,即 f(x0)=x0,y=f(x)有不动点 x0,故⑤正确. 故答案为:①②⑤. 【点评】本题考查命题的真假的判断,新定义的应用,考查分析问题解决问题的能力. 18.【答案】 A .

【解析】解:由乙说:我没去过 C 城市,则乙可能去过 A 城市或 B 城市, 但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市,则乙只能是去过 A,B 中的任一个, 再由丙说:我们三人去过同一城市, 则由此可判断乙去过的城市为 A. 故答案为:A. 【点评】本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.

三、解答题
19.【答案】(1) ? ??,0? ? ?6, ??? ;(2) ? ?1,0? . 【解析】 试题分析:(1)当 a ? ?4 时, f ? x ? ? 6 ,利用零点分段法将表达式分成三种情况,分别解不等式组,求得 解集为 ? ??,0? ? ?6, ??? ;(2) f ? x ? ? x ? 3 等价于 x ? a ? 2 ? x ? 3 ? x ,即 ?1 ? x ? a ? 1 ? x 在 ?0,1? 上 恒成立,即 ?1 ? a ? 0 . 试题解析: (1)当 a ? ?4 时, f ? x ? ? 6 ,即 ?

解得 x ? 0 或 x ? 6 ,不等式的解集为 ? ??,0? ? ?6, ??? ;

x?2 x?4 ? 2? x?4 ? 或? 或? , ?4 ? x ? 2 ? x ? 6 ?4 ? x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 4 ? x ? 2 ? 6 ?

考 点:不等式选讲. 20.【答案】 【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性

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【试题解析】(Ⅰ)对 所以 所以 (Ⅱ)由 因为 所以对于任意 设 令 当 x 变化时, ,则 ,解得 与 . ,

求导,得 ,解得 . ,得 ,都有 . 的变化情况如下表: . , ,



所以当

时, ,都有 .

. 成立,

因为对于任意 所以 . 所以 的最小值为 (Ⅲ)证明:“函数 等价于“ 即要证 所以只要证 由(Ⅱ),得 所以只要证明当 设 所以 令 由 所以 所以 故函数 21.【答案】 . ,得 , ,解得

的图象在直线 ”, , . ,即 时, , (当且仅当 即可.

的下方”

时等号成立).

. ,所以 ,即 在 . 上为增函数.

的图象在直线

的下方.

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【解析】(Ⅰ)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵PD⊥底面 ABCD, ∴PD⊥AC,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC⊥平面 PDB. (Ⅱ)解:设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∴O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴OE∥PD, ,

又∵PD⊥底面 ABCD, ∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO, 在 Rt△AOE 中, ,

∴∠AEO=45°,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45°.

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及直线与平面所成的角,考查空间想象能力、运算能力和 推理论证能力,属于基础题. 22.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】

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考 点:平面与平面平行的判定;空间中直线与直线的位置关系. 23.【答案】 【解析】(本小题满分 12 分) 解析:(1)原式=1+1﹣5+2+1=0; ∴sinθ=﹣2cosθ,①…(9 分) 又 sin2θ+cos2θ+=1,② 由①②解得 cos2θ= ,…(11 分) ∵θ∈( ,π),∴cosθ=﹣ . …(12 分) …(6 分) (2)∵向量 =(sinθ,cosθ), =(﹣2,1),满足 ∥ ,

【点评】本题考查对数运算法则以及三角函数的化简求值,向量共线的应用,考查计算能力. 24.【答案】

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【解析】解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为 xcm, 在 Rt△EOF 中, ∴ ∴ 依题意函数的定义域为{x|0<x<10} , ,

【点评】本题是一个函数模型的应用,这种题目解题的关键是看清题意,根据实际问题选择合适的函数模型, 注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围.

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