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高中立体几何知识点总结

高中立体几何知识点总结(覆盖高中阶段所有推论及细节)

一、

平面.

1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注:两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.(①两个平面平行,②两个平 面相交) 3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面.(①三条直线在一 个平面内平行,②三条直线不在一个平面内平行) [注]:三条直线可以确定三个平面,三条直线的公共点有 0 或 1 个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.(X、Y、Z 三个方向) 二、 空间直线.

1. 空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且 有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一 平面内 [注]: ①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线. (×) (可能两条直线平行,也可能是点和直线等) ②直线在平面外,指的位置关系:平行或相交 ③若直线 a、b 异面,a 平行于平面 ,b 与 的关系是相交、平行、在 平面 内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或 两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有 直线,也可以是其他图形)
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⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×)(并非是从平 面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段) ⑦ 是夹在两平行平面间的线段,若 ,则 的位置关系为相交或平行 或异面. 2. 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) 3. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方 向相同,那么这两个角相等(如下图). (二面角的取值范围 ) (直线与直线所成角 ) (斜线与平面成角 ) (直线与平面所成角 ) (向量与向 量所成角 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直 线所成锐角(或直角)相等. 5. 两异面直线的距离:公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直. 是异面直线, 则过 外一点 P, 过点 P 且与 都平行平面有一个或没有, 但与 距离相等的点在同一平面内. ( 或 在这个做出的平面内不能 叫 与 平行的平面)
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三、

直线与平面平行、直线与平面垂直.

1. 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一 条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行,线面平 行”) [注]:①直线 与平面 内一条直线平行,则 ∥ . (×)(平面外一 条直线) ②直线 与平面 内一条直线相交,则 与平面 相交. (×)(平面上 一条直线) ③若直线 与平面 平行,则 平面内必存在无数条直线与已知直线平 行. (√)(不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面, 那么另一条也平行于这个平面. (×)(可能在此平面内) ⑤平行于同一直线的两个平面平行.(×)(两个平面可能相交) ⑥平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或者异 面) ⑦直线 与平面 、 所成角相等,则 ∥ .(×)( 、 可能相交) 3. 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过 这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线 面平行,线线平行”)

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4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且 只有一条直线和一个平面垂直, 过一点有且只有一个平面和一条直线 垂直. ? 若 ⊥ , ⊥ ,得 ⊥ (三垂线定理), 得不出 ⊥ . 因为 ⊥ ,但 不垂直 OA. ? 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一: 如果一条直线和一个平面内的两条相 交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面.(“线线垂直,线 面垂直”) 直线与平面垂直的判定定理二: 如果平行线中一条直线垂直于一个平 面,那么另一条也垂直于这个平面. 推论:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. [注]:①垂直于同一平面的两个平面平行.(×)(可能相交,垂直 于同一条直线的两个平面平行) ②垂直于同一直线的两个平面平行.(√)(一条直线垂直于平行的 一个平面,必垂直于另一个平面) ③垂直于同一平面的两条直线平行.(√) 5. ⑴垂线段和斜线段长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线 段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较 长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长;③垂线段 比任何一条斜线段短.

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[注]:垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条 直线.(×)] ⑵射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相 等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 四、 平面平行与平面垂直.

1. 空间两个平面的位置关系:相交、平行. 2. 平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面,哪么这两个平面平行.(“线面平行,面面平行”) 推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两 个平面平行. [注]:一平面间的任一直线平行于另一平面. 3. 两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面 相交,那么它们交线平行.(“面面平行,线线平行”) 4. 两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角, 则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二:如果一个平面与一条直线垂直,那么经过 这条直线的平面垂直于这个平面.(“线面垂直,面面垂直”) 注:如果两个二面角的平面对应平面互相垂直,则两个二面角没有什 么关系. 5. 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.

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推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三 平面. 证明:如图,找 O 作 OA、OB 分别垂直于 , 因为 则 . 6. 两异面直线任意两点间的距离公式: ( 为锐角取加, 为钝取减, 综上,都取加则必有 ) 7. ⑴最小角定理: ( 为最小角,如图) ⑵最小角定理的应用(∠PBN 为最小角) 简记为:成角比交线夹角一半大,且又比交线夹角补角一半长,一定 有 4 条. 成角比交线夹角一半大,又比交线夹角补角小,一定有 2 条. 成角比交线夹角一半大,又与交线夹角相等,一定有 3 条或者 2 条. 成角比交线夹角一半小, 又与交线夹角一半小, 一定有 1 条或者没有. 五、 棱锥、棱柱.

1. 棱柱. ⑴①直棱柱侧面积: ( 为底面周长, 是高)该公式是利用直棱柱 的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积: ( 是斜棱柱直截面周长, 是斜棱柱的侧棱长) 该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. ⑵{四棱柱} {平行六面体} {直平行六面体} {长方体} {正四棱柱} {正方体}. {直四棱柱} {平行六面体}={直平行六面体}.
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⑶棱柱具有的性质: ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;直棱柱的各 个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多 边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注:①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. (×) (直棱柱不能保证底面是钜形可如图) ②(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体: 定理一:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分. [注]:四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二: 长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平 方和. 推论一: 长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为 , . 则 推论二:长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 , 则 . [注]:①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面体的两个 平行的平面可以为矩形) ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(应是各侧面都是 正方形的直棱柱才行)
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③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×)(只能推 出对角线相等,推不出底面为矩形) ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面 的两条边垂直. (两条边可能相交,可能不相交,若两条边相交,则 应是充要条件) 2. 棱锥:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三 角形. [注]:①一个棱锥可以四各面都为直角三角形. ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以 . ⑴①正棱锥定义: 底面是正多边形; 顶点在底面的射影为底面的中心. [注]:i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角 形) ii. 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一 定相等 iii. 正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角 形(即侧棱相等);底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积: (底面周长为 ,斜高为 ) ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式: (侧面与底面成的二面角为 ) 附: 以知 ⊥ , , 为二面角 . 则 ①, ②, ③ ①②③得 . 注:S 为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法).
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⑵棱锥具有的性质: ①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形 底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高). ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正 棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. ⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置: ①棱锥的侧棱长均相等, 则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等, 则顶点在底面上的射影为底面 多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等, 则顶点在底面上的射影为底面 多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等, 则顶点在底面上的射影为底面多 边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直, 则顶点在底面上的射影为三角形的垂 心. ⑦每个四面体都有外接球,球心 0 是各条棱的中垂面的交点,此点到 各顶点的距离等于球半径; ⑧每个四面体都有内切球,球心 是四面体各个二面角的平分面的交 点,到各面的距离等于半径. [注]:i. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱 锥.(×)(各个侧面的等腰三角形不知是否全等)
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ii. 若一个三角锥,两条对角线互相垂直,则第三对角线必然垂直. 简证:AB⊥CD,AC⊥BD BC⊥AD. 令 得 ,已知 则 . iii. 空间四边形 OABC 且四边长相等, 则顺次连结各边的中点的四边 形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等,则顺次连结各边的中点的四边是 一定是正方形. 简证:取 AC 中点 ,则 平面 90°易知 EFGH 为平行四边形 EFGH 为 长方形.若对角线等,则 为正方形. 3. 球:⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式: . ②球的体积公式: . ⑵纬度、经度: ①纬度: 地球上一点 的纬度是指经过 点的球半径与赤道面所成的角 的度数. ②经度:地球上 两点的经度差,是指分别经过这两点的经线与地轴 所确定的二个半平面的二面角的度数,特别地,当经过点 的经线是 本初子午线时,这个二面角的度数就是 点的经度. 附:①圆柱体积: ( 为半径, 为高) ②圆锥体积: ( 为半径, 为高) ③锥形体积: ( 为底面积, 为高)
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4. ①内切球:当四面体为正四面体时,设边长为 a, , , 得 . 注:球内切于四面体: ②外接球:球外接于正四面体,可如图建立关系式. 六. 空间向量. 1. (1)共线向量:共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段 所在直线互相平行或重合. 注:①若 与 共线, 与 共线,则 与 共线.(×) [当 时,不成 立] ②向量 共面即它们所在直线共面.(×) [可能异面] ③若 ∥ ,则存在小任一实数 ,使 .(×)[与 不成立] ④若 为非零向量,则 .(√)[这里用到 之积仍为向量] (2)共线向量定理:对空间任意两个向量 , ∥ 的充要条件是存 在实数 (具有唯一性),使 . (3)共面向量:若向量 使之平行于平面 或 在 内,则 与 的关系 是平行,记作 ∥ . (4)①共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面 的充要条件是存在实数对 x、y 使 . ②空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C,则 是 PABC 四点共面的充 要条件.(简证: P、A、B、C 四点共面) 注:①②是证明四点共面的常用方法.

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2. 空间向量基本定理:如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在一个唯一的有序实数组 x、y、z,使 . 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P, 都存在 唯一的有序实数组 x、y、z 使 (这里隐含 x+y+z≠1). 注:设四面体 ABCD 的三条棱, 其 中 Q 是△BCD 的重心,则向量 用 即证. 3. (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横 坐标),y 轴是纵轴(对应为纵轴),z 轴是竖轴(对应为竖坐标). ①令 =(a1,a2,a3), ,则 ∥ (用到常用的向量模与向量之间的转化: ) ②空间两点的距离公式: . (2)法向量:若向量 所在直线垂直于平面 ,则称这个向量垂直于 平面 ,记作 ,如果 那么向量 叫做平面 的法向量. (3)用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 的法向量,A B 是平面 的一条射线,其中 ,则点 B 到平面 的距离为 . ②利用法向量求二面角的平面角定理:设 分别是二面角 中平面 的 法向量,则 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小( 方向 相同,则为补角, 反方,则为其夹角).

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③证直线和平面平行定理:已知直线 平面 , ,且 CDE 三点不共线, 则 a∥ 的充要条件是存在有序实数对 使 .(常设 求解 若 存在即 证毕,若 不存在,则直线 AB 与平面相交). II. 竞赛知识要点 一、四面体. 1. 对照平面几何中的三角形,我们不难得到立体几何中的四面体的 类似性质: ①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点, 这一点叫做此四面体的外 接球的球心; ②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点, 这一点叫做 此四面体的内接球的球心; ③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点, 这一点叫做此 四面体的重心,且重心将每条连线分为 3︰1; ④12 个面角之和为 720° 每个三面角中任两个之和大于另一个面角, , 且三个面角之和为 180° . 2. 直角四面体:有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直 角四面体,相当于平面几何的直角三角形. (在直角四面体中,记 V、 l、S、R、r、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半 径、内切球半径及侧面上的高),则有空间勾股定理:S2△ABC+S2△BCD +S2△ABD=S2△ACD. 3. 等腰四面体:对棱都相等的四面体称为等腰四面体,好象平面几 何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面
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对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体, 反之也可以将一个等腰 四面体拼补成一个长方体. (在等腰四面体 ABCD 中,记 BC = AD =a,AC = BD = b,AB = CD = c,体积为 V,外接球半径为 R,内接球半径为 r,高为 h), 则有 ①等腰四面体的体积可表示为 ; ②等腰四面体的外接球半径可表示为 ; ③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等, 且可表示为 ; ④h = 4r. 二、空间正余弦定理. 空间正弦定理:sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin ∠CBD/sin∠C-BA-D 空间余弦定理:cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBD cos∠A-BC-D

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