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教育部课题2.1.2


教育部重点课题新教育子课题

《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》

温州市瓯海区三溪中学 张明

一、⑴在平面中直线与直线之间的位置关系有几种事实? 注意是事实。事实是什么意思?即它是客观存在的,这种事 实是不以人的主观努力而改变的,不以人的意志而转移的, 不管人有没有在,它总是存在着,就算人类灭亡了,它也依旧 存在 。我们人类只不过是发现它们,不是发明它们。 ⑵、在空间中直线与直线的位置关系有几种事实?注意是 事实。这种事实是不以人的主观努力而改变的,不以人的意志 而转移的,不管人有没有在,它总是存在着,就算人类灭亡了, 它也依旧存在 。我们人类只不过是发现它们,不是发明它们。

观察实例
复习:平面内两条直线的位置关系 相交直线 平行直线

a o b

a b
平行直线 (无公共点)

相交直线 (有一个公共点)

D
B

A
两路相交

C

立交桥

立交桥中, 两条路线AB, CD

既不平行,又不相交

看一下生活中的例子:
B

C

D A

立交桥中, 两条路线AB, CD

1.异面直线的定义。(就像刚出生的婴儿要取个名字,以及给名字内含,且 名字要取得形象和直观。异面直线是我们刚发现的新事物,注意:数学上的名 字不会无缘无故取的,每个名字都有内含和历史。)

如何定义?不在一个平面内的两条直线称异面直线可以吗? 答:不可以。不在一个平面内那就在另一个平面内。所以是不 在任何一个平面内。 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

位置关系

公共点个数

是否共面

相交

只有一个 没有

共面 共面

平行
异面

没有

不共面

2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现

b a
(1)

它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.

A

?

如图:

a

?
?
b
(3)

a

?

b
(2)

思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。

b
a

a

M

b

a

b

?

?

?

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线

a与b是平行直线

空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按是否在 同一平面内分 平行直线

不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 无公共点 平行直线 异面直线

3.异面直线的判定方法: (1)定义法:由定义判定两直线不可能在 同一平面内.(借助反证法)
例:设a、b是异面直线,点A、B在直线a上,点C、D在直线b 上,求证直线AC、BD也为异面直线。

(1)在如图所示的正方体中,指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线?
D1 A1 B1 C1

D A

C

B

⑵已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1 上的点,那么MN与AB所在的直线相交吗?
D1
A1

M
B1

C1
N

D A
B

C

探究:图2.1-15是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方 体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有_ _对。

总结:1、在平面中直线和直线的位置关系只有两个儿子,在空间中有且 只有三个儿子,没有第四个儿子。我只有一个儿子. 2、正面:不在任何一个平面内即不共面。反面:在一个平面内即共面。

平行公理 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.

a//b ? 即:a、b、c为直线,则 ? ? a // c c//b ? 注:
1.直线a,b,c 两两平行,可记为a // b // c . 2.公理4所表述的性质,叫做空间平行线的传递性. 3.证明空间两直线平行 的方法:
(1) 定义法:一要证两直线在同一平面内;二要证 两直线没有公共点(反证法) (2) 公理法

例2 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边 A 形EFGH是平行四边形.
证明: 连结BD

∵ EH是△ABD的中位线 1 E ∴EH ∥BD且EH = 2 BD D 1 同理,FG ∥BD且FG = BD 2 G ∴EH ∥FG且EH =FG C F ∴EFGH是一个平行四边形 B 立体问题平面化是解立体几何时最主要、最 常用的一种方法。 变式:如果再加上条件AC=BD,那么四边形 EFGH是什么图形?

H

3. 等角定理
定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。

A B
C

?

D
E
1、在平面中有等角定理吗?

?

F

2、构造两个全等的三角形来证明,利用公理4,但比较难。

等角定理
等角定理1:如果一个角的两边和另 一个角的两边分别对应平行,那么这 两个角相等或互补.
D
A B

E

C

A1

D1 E1 C1

B1

推论:如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行且方向相同,那么这两个角相等.

1、问平面图形的结论都可以推广到空间中来吗?
答:一般要经过证明,在平面中结论是正确的,在空间中不 一定。比如在平面中同事垂直于一条直线的两条直线平行在空间 中是不成立的。

4.两条异面直线所成的角
在空间中任选一点O, 如图所示,a,b是两条异面直线, 任选
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 则这两条线所成

的锐角θ (或直角), 称为异面直线a,b所成的角. 平 b′ b 移 θ a′ ? O P O a a′ 若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b.

如果两条异面直线所成的角为直角,就说两条 直线互相垂直,记作a⊥b。
b

a'
?

?

a

O

记作:a ? b

注1:异面直线a、b所成角,只与a、b的相互位置有关, 而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.

注2:异面直线所成角的取值范围: 0? ? ? ? 90? 注3:求异面直线所所成角的步骤: 一作、二证、三求解
O a’ a b

两条异面直线所成的角研究 思路就是把空间问题转化为 平面问题,可以转化的原因 是等角定理。

α

探究(1)观察长方体ABCD-A′B′C′D′,有没有两条棱所在的 直线是互相垂直的异面直线? (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另 一条直线是否也与这条直线垂直? (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

小结:
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 辅助平面衬托法 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理: 空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 异面直线的求法: 一作(找)、二证、三求解


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