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江苏省南通市2013届高三第三次调研测试数学试题


江苏省南通市 2013 届高三第三次调研测试
数学参考答案及评分建议
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知集合 A ? ? ?2,? , B ? ? ?1, ? ,则 A U B ? 1 2
2) 【答案】 (?2,



. 开始
S ?0 S ? S ? 400

2. 设复数 z 满足 (3 ? 4i)z ? 5 ? 0 ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的 模为 ▲ . 【答案】 1 ▲ .

3. 右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 【答案】 2400 4. “ M ? N ”是“ log2 M ? log 2 N ”成立的

S≤2000

Y



条件.

N 输出S 开始
(第 3 题)

(从“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选择一个 , , 正确的填写) 【答案】必要不充分 5. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的 100 辆 机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示.该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为 60 km/h~120 km/h,则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 【答案】 15 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上 纵坐标为 1 的一点到焦点的距离为 3,则焦点到准线的距离为 ▲ ▲ . 0.0175 0.0150 0.0100 0.0050 0.0025

频率 组距

40 60 80 100 120 140 速度/ km/h
(第 5 题)

. 【答案】4

2 3 4 5 6 7 8 9 7. 从集合 ?1,,,,,,,, ? 中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的 3 倍

的概率为



. 【答案】 1 12

8. 在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P 为圆 C : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上的任意一点,点 Q (2 a ,
a?3)

( a ? R ),则线段 PQ 长度的最小值为





y 5

【答案】 5 ? 2 9. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (A ? 0 , ? ? 0 , 0≤? ? 2?) 在 R 上 的部分图象如图所示,则 f (2013) 的值为 【答案】 ? 5 3 2 ▲ .
?1

O

5

11 x

(第 9 题)

10.各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a2 ? a1 ? 1.当 a 3 取最小值时,数列 ?an ? 的通项公式

an=





【答案】 2 n ?1

?ax2 ? 2 x ? 1,≥0, x ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 2 是偶函数,直线 y ? t 与函数 y ? f ( x) 的图象自左向 ? x ? bx ? c,x ? 0 ?
右依次交于四个不同点 A ,B ,C ,D . AB ? BC , 若 则实数 t 的值为 ▲ . 【答案】? 7 4

0) 12.过点 P(?1, 作曲线 C : y ? e x 的切线,切点为 T1 ,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 ,过点
H1 再作曲线 C 的切线,切点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,?,依次下去,得到第
n ? 1 (n ? N) 个切点 Tn ?1 .则点 Tn ?1 的坐标为



. 【答案】 n,n e

?

?

13. 在平面四边形 ABCD 中, E, 分别是边 AD, 的中点, AB ? 1 ,EF ? 2 , ? 3 . 点 F BC 且 CD
uuu uuu r r uuu uuu r r 若 AD ? BC ? 15 ,则 AC ? BD 的值为



. 【答案】 13

14.已知实数 a1,a2,a3,a4 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,a1a42 ? a2a4 ? a2 ? 0 ,且 a1 ? a2 ? a3,则 a4 的取值范围是 二、解答题 15.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,四条侧棱长均相等. (1)求证: AB // 平面 PCD ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 ABCD . 证明: 在矩形 ABCD 中,AB // CD , 又 AB ? 平面 PCD , (1)
CD ? 平面 PCD ,所以 AB // 平面 PCD .???6 分





? 【答案】 ?1 ? 5 , 1 ? 5 2 2

?

?

P

(2)如图,连结 BD ,交 AC 于点 O ,连结 PO ,
BD 在矩形 ABCD 中,点 O 为 AC, 的中点,

A
O

D
C

B
(第 15 题)

又 PA ? PB ? PC ? PD ,故 PO ? AC , PO ? BD ,? 9 分
BD 又 AC I BD ? O , AC, ? 平面 ABCD ,所以 PO ? 平面 ABCD ,

???12 分

又 PO ? 平面 PAC ,所以平面 PAC ? 平面 ABCD . 16.在△ABC 中,角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c.已知 (1)求角 B 的大小; (2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围. 解: (1)在△ABC 中,

???14 分
2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c 2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B ,???3 分 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C

因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin A cos B ? sin C cos B , 所以 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) ? sin A , 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 ,因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π . 2 3 ???5 分 ???7 分

(2) T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 1 (1 ? cos 2 A) ? 3 ? 1 (1 ? cos 2C ) 2 4 2

? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4π ? 2 A ? ? 4 2 4 2? 3 ? ?

?

?

? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3

?

?

?

?

???11 分

因为 0 ? A ? 2π , 所以 0 ? 2 A ? 4π , 故 π ? 2 A ? π ? 5π , 因此 ?1 ≤ cos 2 A ? π ? 1 , 3 3 3 3 3 3 2 所以 3 ? T ≤ 9 . ???14 分 2 4 17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图 1 是单层玻璃,厚度为 8 mm;图 2 是双层 中空玻璃, 厚度均为 4 mm, 中间留有厚度为 x 的空气隔层. 根据热传导知识, 对于厚度为 d 的均匀介质,两侧的温度差为 ?T ,单位时间内,在单位面积上通过的热量 Q ? k ? ?T ,其 d 中 k 为热传导系数.假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相 等. (注:玻璃的热传导系数为 4 ? 10?3 J ? mm/ ? C ,空气的热传导系数为 2.5 ? 10?4 J ? mm/ ?C . ) (1)设室内,室外温度均分别为 T1 ,T2 ,内层玻璃外侧温度为 T1? ,外层玻璃内侧温度 为 T2? , 且 T1 ? T1? ? T2? ? T2 .试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积 上通过的热量(结果用 T1 , T2 及 x 表示) ; (2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的 4%,应 如何设计 x 的大小? 墙 T1 8 室内 墙 图1
(第 17 题)

?

?

墙 T2 T1 4 室外 室内 墙 图2
T1? T2?

T2 4 室外

x

解: (1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为 Q1 ,
Q2 ,则 Q1 ? 4 ? 10?3 ?

T1 ? T2 T1 ? T2 , ? 8 2 000

???2 分

Q2 ? 4 ? 10?3 ?

T1 ? T1? T ? ? T2? T ? ? T2 ? 2.5 ? 10?4 ? 1 ? 4 ? 10?3 ? 2 4 x 4

???6 分

?

T1 ? T ? T ? 1? T ? 2 T ? ? T 2 T1 ? T ? ? T ? 1? T ? ? T ? ? T 1 2 1 2 2 ? ? ? 4 x 4 4 ? x 4 ? 4 ? 10?3 2.5 ? 10? 4 4 ? 10? 3 4 ? 10?3 2.5 ? 10? 4 4 ? 10?

2 3

?

T1 ? T2 .???9 分 4 000 x ? 2 000

(2)由(1)知

Q2 . ? 1 , 当 1 ? 4%时,解得 x ? 12 (mm) 2x ? 1 Q1 2 x ? 1

答:当 x ? 12 mm 时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的 4%.???14 分
2 y2 0) 离心率为 2 . 18. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, , 2 a b

分别过 O , F 的两条弦 AB , CD 相交于点 E (异于 A , C 两点) ,且 OE ? EF . (1)求椭圆的方程; (2)求证:直线 AC , BD 的斜率之和为定值.
C

y
A E
O

F

D

x

(1)解:由题意,得 c ? 1 , e ? c ? 2 ,故 a ? 2 , a 2 从而 b ? a ? c ? 1 ,
2 2 2

B
(第 18 题)

所以椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 . 2

2



???5 分 (2)证明:设直线 AB 的方程为 y ? kx , ② ???7 分

直线 CD 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) , ③ 由①②得,点 A , B 的横坐标为 ?

2 , 2k 2 ? 1
???9 分

由①③得,点 C , D 的横坐标为

2k 2 ? 2(k 2 ? 1) , 2k 2 ? 1

kx k k 记 A( x1, 1 ) , B( x2, 2 ) , C ( x3, (1 ? x3 )) , D( x4, (1 ? x4 )) , kx

则直线 AC , BD 的斜率之和为

kx1 ? k (1 ? x3 ) kx2 ? k (1 ? x4 ) ? x1 ? x3 x2 ? x4

?k? ?k?

( x1 ? x3 ? 1)( x2 ? x4 ) ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ? 1) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) 2( x1 x2 ? x3 x4 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x3 ? x4 ) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )
???13 分

2(k 2 ? 1) ? 4k 2 2 ? ?2 ? ? 2 ??0? 2 2 2k ? 1 ? 0 . ? k ? ? 2k ? 1 2 k ? 1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )

???16 分

19.已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列,数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为 q (q ? 1) 的等比数列.

(1)若 a5 ? b5 , q ? 3 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和; (2)若存在正整数 k (k≥2) ,使得 ak ? bk .试比较 a n 与 bn 的大小,并说明理由. 解: (1)依题意, a5 ? b5 ? b1q5?1 ? 1? 34 ? 81 , 故 d ?

a5 ? a1 81 ? 1 ? ? 20 , 5 ?1 4

所以 an ? 1 ? 20( n ? 1) ? 20 n ?19 , ???3 分 令 Sn ? 1?1 ? 21? 3 ? 41? 32 ? ??? ? (20n ? 19) ? 3n?1 , 则 3Sn ? ①

1? 3 ? 21? 32 ? ??? ? (20n ? 39) ? 3n?1 ? (20n ? 19) ? 3n , ②

① ? ②得, ?2Sn ? 1+20 ? 3 ? 32 ? ??? ? 3n?1 ? (20n ? 19) ? 3n ,

?

?

? 1+20 ?

3(1 ? 3n?1 ) ? (20n ? 19) ? 3n 1? 3

? (29 ? 20n) ? 3n ? 29 ,

所以 Sn ?

(20n ? 29) ? 3 n ? 29 . ???7 分 2

(2) 因为 ak ? bk , 所以 1 ? (k ? 1)d ? qk ?1 , d ? 即 又 bn ? qn?1 , ???9 分
? q k ?1 ? 1? 所以 bn ? an ? q n ?1 ? ?1 ? (n ? 1) k ?1 ? ? ?

q k ?1 ? 1 qk ?1 ? 1 , 故 an ? 1 ? (n ? 1) , k ?1 k ?1

? 1 ?(k ? 1) ? q n ?1 ? 1? ? (n ? 1) ? q k ?1 ? 1?? ? k ?1 ?

?

q ?1 ? (k ? 1) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ?
(ⅰ)当 1 ? n ? k 时,由 q ? 1 知

???11 分

bn ? an ?

q ?1 ? (k ? n) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? qn?1 ?? ? k ?1 ? ? q ?1 ?(k ? n)(n ? 1)qn?2 ? (n ? 1)(k ? n)q n?1 ? ? k ?1 ?

??

(q ? 1)2 qn?2 (k ? n)(n ? 1) ? 0 , ???13 分 k ?1

(ⅱ)当 n ? k 时,由 q ? 1 知

bn ? an ?

q ?1 ? (k ? 1) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? qk ?1 ? ? (n ? k ) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ? ? q ?1 ?(k ? 1)(n ? k )qk ?1 ? (n ? k )(k ? 1)q k ?2 ? ? k ?1 ?

? (q ? 1)2 qk ? 2 (n ? k ) ? 0
k 综上所述,当 1 ? n ? k 时, an ? bn ;当 n ? k 时, an ? bn ;当 n ? 1, 时, an ? bn .??16 分

(注:仅给出“ 1 ? n ? k 时, an ? bn ; n ? k 时, an ? bn ”得 2 分. ) 20.设 f ( x) 是定义在 (0,? ?) 的可导函数,且不恒为 0,记 gn ( x) ?

f ( x) (n ? N* ) .若对定义 n x

域内的每一个 x ,总有 gn ( x) ? 0 ,则称 f ( x) 为“ n 阶负函数” ;若对定义域内的每一个 x , 总有 ? g n ( x ) ?? ≥0 ,则称 f ( x) 为“ n 阶不减函数” ? g n ( x ) ?? 为函数 g n ( x) 的导函数) ( . (1)若 f ( x) ? a3 ? 1 ? x( x ? 0) 既是“1 阶负函数” ,又是“1 阶不减函数” ,求实数 a 的 x x 取值范围; (2)对任给的“2 阶不减函数” f ( x) ,如果存在常数 c ,使得 f ( x) ? c 恒成立,试判 断 f ( x) 是否为“2 阶负函数”?并说明理由. 解: (1)依题意, g1 ( x) ? 故 [ g1 ( x)]? ? ?

f ( x) a 1 ? 4 ? 2 ? 1 在 (0,? ?) 上单调递增, x x x

4a 2 1 ? ≥ 0 恒成立,得 a ≤ x2 , ???2 分 x5 x3 2
???4 分

因为 x ? 0 ,所以 a ≤ 0 .

而当 a ≤ 0 时, g1 ( x) ? a4 ? 12 ? 1 ? 0 显然在 (0,? ?) 恒成立, x x 所以 a ≤ 0 . ???6 分

(2) ①先证 f ( x )≤ 0 : 若不存 在正实 数 x0 ,使 得 g2 ( x0 ) ? 0 , 则 g2 ( x )≤ 0 恒 成 立. ???8 分 假设存在正实数 x0 ,使得 g2 ( x0 ) ? 0 ,则有 f ( x0 ) ? 0 , 由题意,当 x ? 0 时, g2? ( x)≥0 ,可得 g 2 ( x) 在 (0,? ?) 上单调递增, 当 x ? x0 时,
f ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) ? ? x 恒成立, 恒成立,即 f ( x) ? x2 x0 2 x0 2 f ( x0 ) 2 ? x1 ? m (其中 m 为任意常数) , x0 2

故必存在 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ?

这与 f ( x) ? c 恒成立(即 f ( x) 有上界)矛盾,故假设不成立, 所以当 x ? 0 时, g2 ( x)≤0 ,即 f ( x)≤0 ;???13 分 ②再证 f ( x) ? 0 无解: 假设存在正实数 x 2 ,使得 f ( x2 ) ? 0 , 则对于任意 x3 ? x2 ? 0 ,有
f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,即有 f ( x3 ) ? 0 , x32 x2 2

这与①矛盾,故假设不成立, 所以 f ( x) ? 0 无解,

综上得 f ( x) ? 0 ,即 g2 ( x) ? 0 , 故所有满足题设的 f ( x) 都是“2 阶负函数” .???16 分


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