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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算 理

第五节 数系的扩充、复数的概念与四则运算 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示形式及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 知识梳理 一、复数的有关概念 1.复数的概念. 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 a,b 分别是它的________和________.若 ________,则 a+bi 为实数,若________,则 a+bi 为虚数,若________,则 a+bi 为纯虚 数. 2.复数相等:a+bi=c+di?________(a,b,c,d∈R). 3.共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?________(a,b,c,d∈R). 4.复平面. 建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.________叫做实轴,________叫做虚 轴.实轴上的点都表示________;除原点外,虚轴上的点都表示________;各象限内的点都 表示________. 5.复数的模. → 向量OZ的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,记作________或________,即|z|=|a+bi|= ________. 6.复数的几何意义. 一一对应 (1)复数 z=a+bi 复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R). (2)复数 z=a+bi(a,b∈R) → 平面向量OZ. 答案:1.实部 虚部 b=0 b≠0 a=0 且 b≠0 2.a=c 且 b=d 3.a=c,b=-d 4.x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 2 2 5.|z| |a+bi| \r(a +b ) 二、复数代数形式的运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 1.z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 2.z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. z1 a+bi ac+bd bc-ad 3. = = + i(c+di≠0). z2 c+di c2+d2 c2+d2 三、常见运算规律 1.i 的幂运算:i4n=1;i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i(其中 n∈N). 2 2 2.(a+bi)(a-bi)=a +b . 第 1 页 共 4 页 3.(1±i) =±2i. 1+i 1-i 4. =i, =-i. 1-i 1+i 1 3 1 3 1 3 1 3 5.1 的立方根是 1,- + i,- - i;-1 的立方根是-1, + i, - i. 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 2 6.设 ω =- + i,则 ω = ω ,1+ω +ω =0. 2 2 四、复数运算所满足的运算律 1.加法交换律: z1+z2=z2+z1. 2.加法结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 3.乘法运算律:(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ;(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;(3)(z1+z2)z3=z1z3 +z2z3. 五、复数加减法的几何意义 → → 1.复数加法的几何意义:如果复数 z1,z2 分别对应于向量OP1,OP2,那么,以 OP1,OP2 → 为两边作平行四边形 OP1SP2,对角线 OS 表示的向量 OS 就是 z1+z2 的和所对应的向量. → → 2.复数减法的几何意义:两个复数的差 z1-z2 与连接向量Oz1,Oz2的终点,并指向被减 → 数的向量z2z1对应. 六、几个重要的结论 1.|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2). 2.z· z =|z|2=| z |2. 3.若 z 为虚数,则|z|2≠z2. 基础自测 i 1.(2013·潮州二模)设 i 为虚数单位,则复数 等于( 2+i 1 2 1 2 A. + i B.- + i 5 5 5 5 1 2 1 2 C. - i D.- - i 5 5 5 5 i = 2+i 答案:A 解析: - + - = 1+2i 1 2 = + i.故选 A. 5 5 5 ) 2 2.(2013·广州一模)已知 =1+bi,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则 a+bi 1-i =( ) A.1+2i B.2+I C.2-I D.1-2i 解析:由 =1+bi,即 + i=1+bi,得 a=2,b=1.故选 B. 1-i 2 2 答案:B 3.设 i 为虚数单位,则 1-i+i -i +i -…+i =________. 解析:根据 i (n∈N )的周期性知,-i+i -i +i =-i +i -i +i =…=0, n * 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 20 a a a a 第 2 页 共 4 页 ∴1-i+i -i +i -…+i =1. 答案:1 4.若(1-2i)i=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则 ab=________. 解析: 由(1-2i)i=i-2i =2+i=a+bi, 根据复数相等的条件可得 a=2, b=1, ∴ab =2. 答案:2 2 2 3 4 20 1.(2013·江西卷)已知集合 M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则 复数 z=( ) A.-2i B.2i C.-4i D.4i 4 解析:由 M∩N={4}得 zi=4,z= =-4i. i 答案:C 2.(2013·天津卷)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则 a+bi= ________. 解析:由(a+i)(1+i)=bi 得 a-1+(a+1)i=bi, ?a-1=0, ?a=1, ? ? ∴? ∴? ∴a+bi=1+2i. ?a+1=b, ?b=2, ? ? 答案:1+2i 1 - 1.(2013·梅州二模)复数 z= (i 为虚数单位)的共轭复数 z 是( 1-i 1

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