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永年区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

永年区实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设 D、 E、 F 分别是△ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点, 且 与 ( ) B.同向平行 D.既不平行也不垂直 ) B.[0.2} C.[1,2] D.(﹣∞,2] ) A.互相垂直 C.反向平行 A.[1,+∞)   3. 设 0<a<1,实数 x,y 满足 ,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是( =2 , =2 , =2 , 则

姓名__________

分数__________

2. 已知函数 f(x)=x2﹣2x+3 在[0,a]上有最大值 3,最小值 2,则 a 的取值范围(

A.

B.

C.

D.

4. 已知函数 f(2x+1)=3x+2,且 f(a)=2,则 a 的值等于( A.8 A.4 B.1 C.5 D.﹣1

) ) D. 3 3

5. 如图是某几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为( B.5 C. 3 2

6. 已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则 b=( A.10 B.9 C.8 D.5 )



7. 关于函数 f ( x) ?

2 ? ln x ,下列说法错误的是( x

(A) x ? 2 是 f ( x) 的极小值点

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( B ) 函数 y ? f ( x) ? x 有且只有 1 个零点 (C)存在正实数 k ,使得 f ( x) ? kx 恒成立 (D)对任意两个正实数 x1 , x2 ,且 x2 ? x1 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4 8. 过抛物线 y=x2 上的点 A.30° B.45° 的切线的倾斜角( C.60° ) D.135° )

  9. 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率是( A. B. C. D.

10.在《张邱建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布比同数递减,初日织五尺, 末一日织一尺,计织三十日”,由此推断,该女子到第 10 日时,大约已经完成三十日织布总量的( A.33% A、 f ( ?25) ? f (11) ? f (80) C、 f (11) ? f (80) ? f ( ?25) A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? B.若 ? ? ? ? m, m / / n ,则 ? / / ? C.若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? B.49% C.62% 11.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 [0, 2] 上是增函数,则 B、 f (80) ? f (11) ? f ( ?25) D、 f ( ?25) ? f (80) ? f (11) ) ) D.88%

12.若 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列为真命题的是(

二、填空题
13.已知各项都不相等的等差数列 ?an ? ,满足 a2 n ? 2an ? 3 ,且 a6 ? a1 ? a21 ,则数列 ?
2

? Sn ? 项中 n ?1 ? ?2 ?

的最大值为_________. 14.下列说法中,正确的是  .(填序号) ①若集合 A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素,则 k=1; ②在同一平面直角坐标系中,y=2x 与 y=2﹣x 的图象关于 y 轴对称; ③y=( )﹣x 是增函数; ④定义在 R 上的奇函数 f(x)有 f(x)?f(﹣x)≤0.   x ? ?3 ? a ,x ? 1 15.设函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数的取值范围是 ? ?? ? x ? 3a ?? x ? 2a ? ,x ? 1



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16.已知 i 是虚数单位,且满足 i2=﹣1,a∈R,复数 z=(a﹣2i)(1+i)在复平面内对应的点为 M,则“a=1”是“点 M 在第四象限”的      条件(选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”)   17.函数 f(x)=2ax+1﹣3(a>0,且 a≠1)的图象经过的定点坐标是      . 18.函数 f ( x) ? x ? 2( a ? 1) x ? 2 在区间 ( ??, 4] 上递减,则实数的取值范围是
2



三、解答题
19.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数). (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值.

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,过点 F1 作垂直 8 4 于轴的直线,直线 l2 垂直于点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M .
20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 : (1)求点 M 的轨迹 C2 的方程; (2)过点 F2 作两条互相垂直的直线 AC、BD ,且分别交椭圆于 A、B、C、D ,求四边形 ABCD 面积 的最小值.

21.如图的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出 (单位:cm). (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC′,证明:BC′∥面 EFG.
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22.已知函数 f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},且对定义域内的任意 x,y 都有 f(x﹣y)= 成立,且 f(1)=1,当 0<x<2 时,f(x)>0. (1)证明:函数 f(x)是奇函数; (2)试求 f(2),f(3)的值,并求出函数 f(x)在[2,3]上的最值.  

23.已知{an}为等比数列,a1=1,a6=243.Sn 为等差数列{bn}的前 n 项和,b1=3,S5=35. (1)求{an}和{Bn}的通项公式; (2)设 Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,求 Tn.  

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24.我市某校某数学老师这学期分别用 m,n 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班(人数均为 60 人, 入学数学平均分和优秀率都相同,勤奋程度和自觉性都一样).现随机抽取甲、乙两班各 20 名的数学期末考 试成绩,并作出茎叶图如图所示. (Ⅰ)依茎叶图判断哪个班的平均分高? (Ⅱ)现从甲班所抽数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学,用 ξ 表示抽到成绩为 86 分的人数, 求 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅲ)学校规定:成绩不低于 85 分的为优秀,作出分类变量成绩与教学方式的 2×2 列联表,并判断“能否在犯 错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?” 下面临界值表仅供参考: P(K2≥k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

(参考公式:K2=

,其中 n=a+b+c+d)

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永年区实验中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:如图所示, △ABC 中, =2 , =2 , =2 , 根据定比分点的向量式,得 = = + = , + = , + ,

以上三式相加,得 + 所以, + =﹣ , 与 反向共线.

【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题,是基础题目.   2. 【答案】C 【解析】解:f(x)=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,对称轴为 x=1. 所以当 x=1 时,函数的最小值为 2. 当 x=0 时,f(0)=3. 由 f(x)=3 得 x2﹣2x+3=3,即 x2﹣2x=0,解得 x=0 或 x=2. ∴要使函数 f(x)=x2﹣2x+3 在[0,a]上有最大值 3,最小值 2,则 1≤a≤2. 故选 C. 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质,利用配方法是解决二次 函数的基本方法.   3. 【答案】A

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【解析】解:0<a<1,实数 x,y 满足 轴对称,

,即 y=

,故函数 y 为偶函数,它的图象关于 y

在(0,+∞)上单调递增,且函数的图象经过点(0,1), 故选:A. 【点评】本题主要指数式与对数式的互化,函数的奇偶性、单调性以及特殊点,属于中档题.   4. 【答案】B 【解析】解:∵函数 f(2x+1)=3x+2,且 f(a)=2,令 3x+2=2,解得 x=0, ∴a=2×0+1=1. 故选:B.   5. 【答案】D 【解析】 试题分析:因为根据几何体的三视图可得,几何体为下图 AD, AB, AG 相互垂直,面 AEFG ? 面

ABCDE , BC // AE , AB ? AD ? AG ? 3, DE ? 1 ,根据几何体的性质得: AC ? 3 2, GC ? 32 ? (3 2) 2

? 27 ? 3 3, GE ? 32 ? 42 ? 5 , BG ? 3 2, AD ? 4, EF ? 10, CE ? 10 ,所以最长为 GC ? 3 3 .

考点:几何体的三视图及几何体的结构特征. 6. 【答案】D 【解析】解:∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0,即 cos2A= ∴cosA= , 又 a=7,c=6, 根据余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc?cosA,即 49=b2+36﹣ 解得:b=5 或 b=﹣ 则 b=5. 故选 D  
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,A 为锐角,

b,

(舍去),

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7. 【答案】 C

【解析】

2 1 x?2 ? ? 2 , f '(2) ? 0 ,且当 0 ? x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,函数递减,当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 , x2 x x 2 1 函 数 递 增 , 因 此 x ? 2 是 f ( x) 的 极 小 值 点 , A 正 确 ; g ( x) ? f ( x) ? x , g '( x) ? ? 2 ? ? 1 x x 1 7 ( x ? )2 ? 2 4 , 所 以 当 x ? 0 时 , g '( x) ? 0 恒 成 立 , 即 g ( x) 单 调 递 减 , 又 g ( 1 ) ? 2e ? 1 ? 1 ? 0 , ?? 2 x e e 2 f ( x) 2 ln x 所以 g ( x) 有零点且只有一个零点, B 正确 ; 设 h( x ) ? , 易知当 x ? 2 g (e 2 ) ? 2 ? 2 ? e 2 ? 0 , ? 2? e x x x 2 ln x 2 1 1 1 2 2 2 f ( x) 时, h( x) ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ,对任意的正实数 k ,显然当 x ? 时, ? k ,即 ?k, x x x x x x x k x x f ( x) ? kx ,所以 f ( x) ? kx 不成立,C 错误;作为选择题这时可得结论,选 C,下面对 D 研究,画出函数草 f '( x) ? ?

图 可看出(0,2)的时候递减的更快,所以 x1 ? x2 ? 4 8. 【答案】B 【解析】解:y=x2 的导数为 y′=2x, 在点 的切线的斜率为 k=2× =1,

设所求切线的倾斜角为 α(0°≤α<180°), 由 k=tanα=1, 解得 α=45°. 故选:B.

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【点评】本题考查导数的运用 : 求切线的斜率,考查直线的倾斜角的求法,考查运算能力,属于基础题.   9. 【答案】A 【解析】解:从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5), (1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共 10 个 , 取出的 3 个数可作为三角形的三边边长,根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有(2,3,4) ,( 2,4,5),(3,4,5)共 3 个, 故取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率 P= 故选:A. 【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件.   10.【答案】B 【 解 析 】 .

11.【答案】D 【解析】∵ f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,∴ f ( x ? 8) ? ? f ( x ? 4) ,∴ f ( x ? 8) ? f ( x) , ∴ f ( x) 的周期为 8 ,∴ f ( ?25) ? f ( ?1) , f (80) ? f (0) ,

f (11) ? f (3) ? f (?1 ? 4) ? ? f (?1) ? f (1) ,
又∵奇函数 f ( x) 在区间 [0, 2] 上是增函数,∴ f ( x) 在区间 [ ?2, 2] 上是增函数, ∴ f ( ?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D. 12.【答案】C 【解析】 试题分析:两个平面垂直,一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面,所以 A 不正确;两个平面平行,两 个平面内的直线不一定平行,所以 B 不正确;垂直于同一平面的两个平面不一定垂直,可能相交,也可能平 行,所以 D 不正确;根据面面垂直的判定定理知 C 正确.故选 C. 考点:空间直线、平面间的位置关系.

二、填空题

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13.【答案】 【解析】

考 点:1.等差数列的通项公式;2.等差数列的前项和. 【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式 . 等差数列的通项公式及前项和公式 , 共涉及

a1 , an , d , n, S n 五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公
式在解题中起到变量代换作用,而 a1 , d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 14.【答案】 ②④  【解析】解:①若集合 A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素,则 k=1 或 k=0,故错误; ②在同一平面直角坐标系中,y=2x 与 y=2﹣x 的图象关于 y 轴对称,故正确; ③y=( )﹣x 是减函数,故错误; ④定义在 R 上的奇函数 f(x)有 f(x)?f(﹣x)≤0,故正确. 故答案为:②④ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了集合,指数函数的,奇函数的图象和性质,难度中档.   ?1 1 ? 15.【答案】 ? , ? ? [3 ,? ?) ?3 2? 【 解 析 】

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考 点:1、分段函数;2、函数的零点. 【方法点晴】本题考查分段函数,函数的零点,以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论 的思想、数形结合思想和转化化归思想,综合性强,属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想, 对 g ? x ? ? 3x ? a 于轴的交点个数进行分情况讨论,特别注意: 1. 在 x ? 1 时也轴有一个交点式,还需 3a ? 1 且

2a ? 1 ;2. 当 g ?1? ? 3 ? a ? 0 时, g ? x ? 与轴无交点,但 h ? x ? 中 x ? 3a 和 x ? 2a ,两交点横坐标均满足 x ? 1 .
16.【答案】 充分不必要  【解析】解:∵复数 z=(a﹣2i)(1+i)=a+2+(a﹣2)i, ∴在复平面内对应的点 M 的坐标是(a+2,a﹣2), 若点在第四象限则 a+2>0,a﹣2<0, ∴﹣2<a<2, ∴“a=1”是“点 M 在第四象限”的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要. 【点评】本题考查条件问题,考查复数的代数表示法及其几何意义,考查各个象限的点的坐标特点,本题是一 个基础题.   17.【答案】 (﹣1,﹣1) . 【解析】解:由指数幂的性质可知,令 x+1=0 得 x=﹣1,此时 f(﹣1)=2﹣3=﹣1, 即函数 f(x)的图象经过的定点坐标是(﹣1,﹣1), 故答案为:(﹣1,﹣1).   18.【答案】 a ? ?3 【解析】 试 题 分 析 : 函 数 f ? x ? 图 象 开 口 向 上 , 对 称 轴 为 x ? 1 ? a , 函 数 在 区 间 ( ??, 4] 上 递 减 , 所 以

1 ? a ? 4, a ? ?3 .
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考点:二次函数图象与性质.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0), ∴f'(x)=ex﹣a, 由 f'(x)=ex﹣a=0 得 x=lna, 由 f'(x)>0 得,x>lna,此时函数单调递增, 由 f'(x)<0 得,x<lna,此时函数单调递减, 即 f(x)在 x=lna 处取得极小值且为最小值, 最小值为 f(lna)=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1. (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立, 等价为 f(x)min≥0, 由(1)知,f(x)min=a﹣alna﹣1, 设 g(a)=a﹣alna﹣1, 则 g'(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna, 由 g'(a)=0 得 a=1, 由 g'(x)>0 得,0<x<1,此时函数单调递增, 由 g'(x)<0 得,x>1,此时函数单调递减, ∴g(a)在 a=1 处取得最大值,即 g(1)=0, 因此 g(a)≥0 的解为 a=1, ∴a=1.   20.【答案】(1) y ? 8 x ;(2)
2

64 . 9

【解析】 试题分析:(1)求得椭圆的焦点坐标,连接 MF2 ,由垂直平分线的性质可得 MP ? MF2 ,运用抛物线的定 义,即可得到所求轨迹方程;(2)分类讨论:当 AC 或 BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,此时四
2

边形 ABCD 面积 S ? 2b .当直线 AC 和 BD 的斜率都存在时,不妨设直线 AC 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ,则直 线 BD 的方程为 y ? ?

1 ?x ? 2? .分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系,利用弦长公式可得 AC , k 1 利用四边形 ABCD 面积 S ? AC BD 即可得到关于斜率的式子, 再利用配方和二次函数的最值求法, BD . 2

即可得出.

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(2) 当直线 AC 的斜率存在且不为零时, 直线 AC 的斜率为, A( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) , 则直线 BD 的斜率为 ?

1 , k

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 直线 AC 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立 ? x 2 y 2 ,得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 8 ? 0 .111] ?1 ? ? 4 ?8 8k 2 8k 2 ? 8 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 32 (k 2 ? 1) 1 1 | AC |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? .由于直线 BD 的斜率为 ? ,用 ? 代换上式中的。可得 2 k k 2k ? 1 2 32 (k ? 1) | BD |? . k2 ? 2 1 16(k 2 ? 1) 2 ∵ AC ? BD ,∴四边形 ABCD 的面积 S ? | AC | ? | BD |? 2 . 2 (k ? 2)(2k 2 ? 1)
(k 2 ? 2) ? (2k 2 ? 1) 2 3(k 2 ? 1) 2 64 2 2 由于 (k ? 2)(2k ? 1) ? [ ,当且仅当 k ? 2 ? 2k ? 1 ,即 ] ?[ ] ,∴ S ? 2 2 9 k ? ?1 时取得等号.
2 2

易知,当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时,四边形 ABCD 的面积 S ? 8 . 综上,四边形 ABCD 面积的最小值为 考点:椭圆的简单性质.1 【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得 | MP |?| MF2 | ,运用抛物线的定义,即可得所求的 轨迹方程.第二问分类讨论,当 AC 或 BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为 2b .当直线
2

64 . 9

AC 和 BD 的斜率都存在时,分别设出 AC , BD 的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得

AC , BD ,从而利用四边形的面积公式求最值.
21.【答案】 【解析】解:(1)如图 (2)它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥, 设长方体体积为 V1,小三棱锥的体积为 V2,则根据图中所给条件得:V1=6×4×4=96cm3,

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V2= ? ?2?2?2= cm3, ∴V=v1﹣v2= cm3

(3)证明:如图,

在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,连接 AD′,则 AD′∥BC′ 因为 E,G 分别为 AA′,A′D′中点,所以 AD′∥EG,从而 EG∥BC′, 又 EG?平面 EFG,所以 BC′∥平面 EFG;

  2016 年 4 月 26 日 22.【答案】 【解析】(1)证明:函数 f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称. 又 f(x﹣y)= ,

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=f[(1﹣x) ﹣1]= 所以 f(﹣x)

=

=

=

=

= 故函数 f(x)奇函数. (2)令 x=1,y=﹣1,则 f(2)=f[1﹣(﹣1)]= 令 x=1,y=﹣2,则 f(3)=f[1﹣(﹣2)]= ∵f(x﹣2)= ∴f(x﹣4)= 则函数的周期是 4. = ,



= = = ,





先证明 f(x)在[2,3]上单调递减,先证明当 2<x<3 时,f(x)<0, 设 2<x<3,则 0<x﹣2<1, 则 f(x﹣2)= 设 2≤x1≤x2≤3, 则 f(x1)<0,f(x2)<0,f(x2﹣x1)>0, 则 f(x1)﹣f(x2)= ∴f(x1)>f(x2), 即函数 f(x)在[2,3]上为减函数, 则函数 f(x)在[2,3]上的最大值为 f(2)=0,最小值为 f(3)=﹣1. 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断,以及函数的最值及其几何意义等有关知识,综合性较强,难度较 大.   23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵{an}为等比数列,a1=1,a6=243, ∴1×q5=243,解得 q=3, ∴ . ∵Sn 为等差数列{bn}的前 n 项和,b1=3,S5=35. , ,即 f(x)=﹣ <0,

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∴5×3+

d=35,解得 d=2,

bn=3+(n﹣1)×2=2n+1. (Ⅱ)∵Tn=a1b1+a2b2+…+anbn, ∴ ①

② ①﹣②得: , 整理得: 的合理运用.   24.【答案】   【解析】 【专题】综合题;概率与统计. 【分析】(Ⅰ)依据茎叶图,确定甲、乙班数学成绩集中的范围,即可得到结论; (Ⅱ)由茎叶图知成绩为 86 分的同学有 2 人,其余不低于 80 分的同学为 4 人,ξ=0,1,2,求出概率,可得 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅲ)根据成绩不低于 85 分的为优秀,可得 2×2 列联表,计算 K2,从而与临界值比较,即可得到结论. 【解答】解:(Ⅰ)由茎叶图知甲班数学成绩集中于 60﹣9 之间,而乙班数学成绩集中于 80﹣100 分之间,所以 乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉ (Ⅱ)由茎叶图知成绩为 86 分的同学有 2 人,其余不低于 80 分的同学为 4 人,ξ=0,1,2 P(ξ=0)= = ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ┉┉┉┉┉┉ . 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题,注意错位相减法

则随机变量 ξ 的分布列为 ξ 0 P 数学期望 Eξ=0× +1× +2×

1

2

= 人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉

(Ⅲ)2×2 列联表为

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甲班 优秀 不优秀 合计 ┉┉┉┉┉ K2= 3 17 20

乙班 10 10 20

合计 13 27 40 ≈5.584>5.024

因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关.┉┉ 【点评】本题考查概率的计算,考查独立性检验知识,考查学生的计算能力,属于中档题.

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