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2017届辽宁省大连市高三3月双基测试数学(文)试卷(带解析)


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2017 届辽宁省大连市高三 3 月双基测试数学(文)试卷(带 解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1.已知集合 = {2,3,4}, = {|2 < 16},则 ∩ =( ) A. ? B. {2} C. {2,3,4} D. {2,3} 2.设复数满足 + = (2 ? ),则 =( ) A. 1 + 3 B. ?1 + 3 C. 1 ? D. ?1 + log1 , > 0, 3.已知函数() = { 2 则((2))的值为( ) 3, ≤ 0, A. ?
1 3

B. ?3

C.

1 3

D. 3 )

4.长方体长,宽,高分别为3,2, 3,则长方体的外接球体积为( A. 12 B.
32 3



C. 8

D. 4 )

5.等差数列{}的前项和为,且满足4 + 10 = 20,则13 =( A. 6 B. 130 C. 200 D. 260 2 2 6.已知直线 = 与圆 + ? 4 + 2 = 0相切,则 值为( ) A. ± 3 B. ±
3 3

C. ±

3 2

D. ± 1

7. 在空间直角坐标系 ? 中, 一个四面体的顶点坐标分别是(1,0,2), (1,2,0), (1,2,1), (0,2,2),若正视图以 平面为投射面,则该四面体左(侧)视图面积为( ) A.
1 2

B. 1

C. 2

D. 4

8.函数() = sin + cos的图象向右平移 ( > 0)个单位长度后所得函数为偶函数, 则 的最小值为( ) A.

4

B.


3

C.

3 4

D.

5 6

9. 已知过抛物线2 = 4焦点的直线 交抛物线于、 两点 (点在第一象限) , 若 = 3, 则直线 的斜率为( ) A. 2 B.
1 2

C.

3 2

D.

3

10.等差数列{}的公差 ≠ 0,且3 ,5 ,15称等比数列,若1 = 3,为数列{}的
试卷第 1 页,总 5 页

前项和,则的最大值为( ) A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 11.若正整数 除以正整数 后的余数为,则记为 ≡ (mod ),例如10 ≡ 4(mod6),如 图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节,执行该框 图,输入 = 2, = 3, = 5,则输出的 =( )

A. 6

B. 9

C. 12

D. 21

12.“一支医疗救援队里的医生和护士,包括我在内,总共是13名.下面讲到的人员情 况,无论是否把我计算在内,都不会有任何变化.在这些医务人员中:①护士不少于医 生;②男医生多于女护士;③女护士多于男护士;④至少有一位女医生.”由此推测这 位说话人的性别和职务是( ) A. 男护士 B. 女护士 C. 男医生 D. 女医生

试卷第 2 页,总 5 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.已知如图所示的矩形,长为 12,宽为 5,在矩形内随机地投掷 1000 颗黄豆,数得 落在阴影部分的黄豆为 600 颗,则可以估计阴影部分的面积约为__________.

2 + ≤ 4, 14.若实数,满足约束条件{ ? ≥ 1, 则目标函数 = 3 + 最大值为__________. ? 2 ≤ 2, 15.在锐角中,= 3 ,= + ,则 =__________. 16.已知函数() = || ? (∈ )有三个零点,则 的取值范围为__________. 评卷人 得分 三、解答题 17. 已知的内角, , 的对边分别为, , , 且满足cos2 ? cos2 ? sin2 = sinsin. (1)求角; (2)若 = 2 6,的中线 = 2,求面积的值. 18.为了增强中小学生运动健身意识,某校举办中小学生体育运动知识竞赛,学校根据 男女生比例从男生中随机抽取 120 人,女生中随机抽取 100 人,进行成绩统计分析,其 中成绩在 80 分以上为优秀,根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女 生成绩频率分布直方图如图: 男生成绩: 分数段 频数 9 [50,60] 10 (60,70] 21 (70,80] 57 (80,90] (90,100] 23


女生成绩:

试卷第 3 页,总 5 页

(Ⅰ)根据上述数据完成下列2 × 2列联表: 优秀 男生 女生 合计 非优秀 合计





根据此数据你认为能否有99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛成绩是否优秀与性别 有关? 参考公式:2 = (+)(+)(+)(+), ( = + + + ) ,
(? )2

(2 ≥ 0 ) 0

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(Ⅱ)在这 220 人中,学校按男、女比例采用分层抽样的方式从成绩优秀的学生中抽取 6 人进行培训,最后再从中随机抽取 2 人参加全市中小学生体育运动知识竞赛,求这 2 人是一男一女的概率. 19.如图,已知四棱锥 ? 中,底面为菱形, ⊥平面,为上任意一 点.

(Ⅰ)证明:平面 ⊥平面; (Ⅱ)试确定点的位置,使得四棱锥 ? 的体积等于三棱锥 ? 体积的 4 倍. 20.已知函数() = ln + +1( ∈ ) . (Ⅰ)若函数()在区间(0,4)上单调递增,求的取值范围; (Ⅱ)若函数 = ()的图象与直线 = 2相切,求的值. 21.已知椭圆:2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点1 与抛物线2 = ?4的焦点重合,椭圆
2 2

的离心率为 2 , 过点 ( , 0)作斜率存在且不为 0 的直线 , 交椭圆于, 两点, 点( , 0), 4
且 ? 为定值. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 的值. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系下,点是曲线 = 2(0 < < )上的动点,(2,0),线段的中点为,以
试卷第 4 页,总 5 页

2

5

极点为原点,极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求点的轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ) 若轨迹上点 处的切线斜率的取值范围是[? 3, ? 3 ], 求点 横坐标的取值范围. 23.选修 4-5:不等式选讲 设函数() = | + 4|. (Ⅰ)若 = (2 + ) + (2 ? )最小值为 4,求的值; (Ⅱ)求不等式() > 1 ? 的解集.
2 1 3

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.D 【解析】因 = {2,3,4}, = {| < 4},故 ∩ = {2,3},应选答案 D。 2.C 【解析】因 = 2 ? 2 ? = + 1,故 = 1 ? ,应选答案 C。 3.C 【解析】因(2) = log1 2 = ?1,故((2)) = (?1) = 3?1 = 3,应选答案 C。
2

1

4.B 【解析】因长方体的对角线 = 9 + 4 + 3 = 16 = 4,故该正方体的外接球的直径2 = 4, 即 = 2,所以其外接球的体积 = 3 3 =
4 32 3

,应选答案 B。

5.B 【解析】因等差数列的性质可得1 + 13 = 4 + 10 = 20,故由等差数列的前项和公式可得

13 =
6.D

13(1 +13 ) 2

= 130,应选答案 B。

【解析】因圆心为(2,0),半径 = 2,故点到直线距离公式可得 =

2| |
2 1+

= 2,解之得

= ± 1,应选答案 D。
7.B

【解析】 如图,左视图应 ,所以其面积为 = 2 × 1 × 2 = 1,应选答案 B。 8.C 【解析】 因() = 2sin( + 4), 向右平移 ( > 0) 个单位长度后所得函数为() = 2sin( ?

1

+ 4), 由题设可知(0) = 2sin(0 ? + 4) = ± 2, 即sin(4 ? ) = ± 1, 也即4 ? = + 2,
故 = ? ? 4,由于 > 0,所以 min = 4 ,应选答案 C。

3











答案第 1 页,总 7 页

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9.D 【解析】 设(1 , 1 ), (2 , 2 ), (1,0), 则由题设可得1 = 32 + 2, |1 | = 3|2 |, 即{ 解之得{ ,则直线 斜率 = 1 = 2 3

1 = 32 + 2 1 = 92 ,

1 = 3

2 3?0 3?1

= 3,应选答案 D。

10.D 【解析】由题设(1 + 4)2 = (1 + 2)(1 + 14),即(3 + 4)2 = (3 + 2)(3 + 14),解之得

= ?2, = 0 (设去) , 所以 = 3 +

(?1)
2

× (?2) = ?2 + 4, 故当 = 2时, = ?2 + 4

取最大值() = 8 ? 4 = 4,应选答案 D。 点睛:本题考查的是等差数列的通项公式及前项和等基础知识基本思想方法的综合运用。 解答时充分借助题设条件建立方程(组) ,然后通过解方程(组) ,求得首项和公差,最后建 2 立前项和的二次函数 = ? + 4,借助二次函数的知识求的最大值。 11.A 【 解 析 】 由 题 设 当 = 1 时 , = 0(mod2), = 0(mod3), = 1(5) 都 不 成 立 ; 然 后 = 1 + 1 = 2, 此时 = 0(mod2), = 0(mod3), = 1(5)也不成立, 则当 = 2 + 1 = 3时, = 0(mod2), = 0(mod3), = 1(5) 都 不 成 立 ; --------- , 直 到 = 1 + 5 = 6 时 , = 0(mod2), = 0(mod3), = 1(5)同时成立,应选答案 A. 点睛:解答本题的关键要搞清楚算法流程图中的运算程序,逐一进行循环操作,直至算法程 序结束。 解答本题时, 要对 的取值逐一验证是否满足 = 0(mod2), = 0(mod3), = 1(5), 经检验当 = 6时, = 0(mod2), = 0(mod3), = 1(5)同时成立,运算程序结束。 12.A 【解析】由题设可知:若说话人是女护士,则②的说法不正确,即答案 B 不真;若说话人是 男医生,则③的说法不正确,即答案 C 错误;若说话人是女医生,则①的说法不真,据此 可推测该说话人应是男护士人,应选答案 A。 点睛: 本题考查的是推理与证明中的推理和论证能力的问题。 解答时要综合运用好题设中所 提供的有关有效信息,逐一作出真假的判定。推理时有时从正面进行推断,有时也从反面进 行推证,即推理的方式有直接证明与间接证明两条途径。 13.36 【解析】由题意可知这是几何概型问题的应用。因为 = 600, = 1000,所以落在阴影部分 的 概 率 为 =
600 1000

= 0.6 , 又 矩 形 的 面 积 为 = 12 × 5 = 60 , 故 阴 影 部 分 的 面 积 约 为

= 0.6 × 60 = 36,应填答案36。
14.6

答案第 2 页,总 7 页

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【解析】 画出不等式组表示的区域,如图,结合图形可知当动直线 = 3 + 经过点 (2,0) 时, max = 3 × 2 + 0 = 6,应填答案6。 点睛: 本题是典型的线性规划问题, 解答这类问题的思路是先准确画出不等式组表示的区域, 然后再将目标函数看成平行线束,平行移动该动直线,数形结合,观察出经过可行域的边界 点时,目标函数取得最大最小值,从而使得问题获解。 15.3 【解析】由题设可得 + = 3( ? ) ,即 4= 3 + ,也即 = + ,则
4 4 3 1

= 4 , = 4,故 = 3,应填答案3。
16.(0, )
1

3

1



【解析】

答案第 3 页,总 7 页

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由题设可得|| = ,令() = ,则/ () = ( + 1) ,当 < ?1时,/ () < 0 ,函数 () = 单调递减;当 > ?1时,/ () > 0,函数() = 单调递增,故当当 = ?1时, 函数() = 取最小值min () = ? , 画出该函数的图像如图, 结合图像可知当0 < < 时,

1 1

函数有三个零点,应填答案(0, )。 点睛:解答本题的关键是搞清函数() = 的图像的变化规律,再研究函数() = ||的 变化规律,结合函数() = 的图像进行翻折即可画出如图所示的函数() = ||的图像, 数形结合可得答案。 值得注意的是在 < 0的情形下, () = || > 0, 且() = || ≤ , 这一点容易忽视。 17. (I) = ;(II) = 3.
3 2 1

1

【解析】 (I)由已知得:sin2 + sin2 ? sin2 = ?sinsin, 由正弦定理得:2 + 2 ? 2 = ? , 由余弦定理可得cos = ∵ 0 < < ,∴ =
1 2 2 3

2 +2 ? 2 2

=? .
2

1

.
2 2

(II)由|| = | + | = 2可得: + + 2 ? = 16, 即2 + 2 ? = 16,由余弦定理得2 + 2 + = 24,∴ = 4. ∴ = sin =
2 1 3 4

= 3.
8 15

18. (I)见解析: (II)() =



【解析】 (I)男生成绩优秀的人数为:57 + 23 = 80人,非优秀的人数为:120 ? 80 = 40人, 女生成绩优秀的人数为:100 × (0.25 + 0.15) = 40人,非优秀的人数为:100 ? 40 = 60人, 优秀 男生 女生 合计 80 40 120 非优秀 40 60 100 合计 120 100 220

220(80 × 60 ? 40 × 40)2 ≈ 15.644 > 10.828 120 × 100 × 120 × 100 ∴有99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛成绩是否优秀与性别有关. (II)由(I)中数据可得男女比例为 2:1, ∴抽取的 6 人中男生 4 人,用1 、2 、3 、4 代表;女生有 2 人,用 1、2 代表. 抽 取 2 人 基 本 事 件 空 间 为 = {(1 , 2 ), (1 , 3 ), (1 , 4 ), (1 , 1 ), (1 , 2 ), (2 , 3 ), (2 , 4 ), (2 , 1 ), (2 , 2 ), (3 , 4 ), (3 , 1 ), (3 , 2 ),(4 , 1 ),(4 , 2 ),(1 , 2 )}, 这两人一男一女为事件 = {(1 , 1 ),(1 , 2 ),(2 , 1 ),(2 , 2 ),(3 , 1 ),(3 , 2 ),(4 , 1 ),

2 =

答案第 4 页,总 7 页

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(4 , 2 )}, ∴() =
中基本事件数 中基本事件总数

= 15.

8

19. (Ⅰ)见解析;(Ⅱ)为的中点. 【解析】 (Ⅰ)证明:∵ ⊥平面,平面,∴ ⊥ , 又∵底面为菱形,∴ ⊥ , ∩ = , ?平面, ?平面,∴ ⊥平面, 又 ?平面, ∴平面 ⊥平面. (Ⅱ)若四棱锥的体积被平面分成3: 1两部分,则三棱锥 ? 的体积是整个四棱锥体 积的4, 设三棱锥 ? 的高为,底面的面积为, 则3 ? 2 ? ? = 4 ? 3 ? ,由此得 = 2 ,故此时为的中点.
1 1 1 1 1 1

点睛:立体几何是高考必考考点之一。这类问题一般都由一个证明题和一个计算题 构成, 旨在考查空间的直线与平面的位置关系及简单几何体的体积面积的计算等基础知识基 本方法的综合运用问题。解答本题的第一问时,先证明直线与平面垂直,进而运用面面垂直 的判定定理证明面面垂直。 第二问则是计算三棱锥的体积的逆向推断问题, 解答时运用三棱 锥的体积公式构建方程,推测点的存在及位置。 20. (Ⅰ) ≥ ?4;(Ⅱ) = 4. 【解析】 (Ⅰ)′ () = +
1

(+1)? (+1)
2

=

(+1)2 +

(+1)2



∵函数()在区间(0,4)上单调递增,∴′() ≥ 0在(0,4)上恒成立, ∴( + 1)2 + ≥ 0, 即 ≥ ?
1

2 +2+1

= ?( + ) ? 2在(0,4)上恒成立,

1

∵ + ≥ 2,取等号条件为当且仅当 = 1, ∴ ≥ ?4. (Ⅱ)设切点为(0, 0 ),则0 = 20 ,′ (0 ) = 2,0 = ln0 + ∴ + (
0

0 , 0 +1

1



2 0 +1)

=2 ①

答案第 5 页,总 7 页

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且20 = ln0 +

0
0 +1



由①得 = (2 ? )(0 + 1)2代入②得 20 = ln0 + (20 ? 1)(0 + 1)
0

1

即ln0 + 2

2

0

? 0 ? 1 = 0.
1 42 ?+1

令() = ln + 22 ? ? 1,则′ () = + 4 ? 1 =






∵42 ? + 1 = 0的 = ?15 < 0,∴42 ? + 1 > 0恒成立. ∴′()在(0, +∞)上恒为正值,∴()在(0, +∞)上单调递增, ∵(1) = 0,∴0 = 1代入①式得 = 4. 21. (Ⅰ) + 2 = 1;(Ⅱ) 的值为 1 或 .
2 3

2

2

【解析】 (Ⅰ)∵ 2 = ?4的焦点为(?1,0),∴ = 1.又∵ = ∴ = 2, = 1. ∴椭圆的方程为 + 2 = 1.
2

2 2



2

(Ⅱ) 解法一: 由题意, 存在且不为零, 设直线 方程为 = ( ? ),(1 ,1 ), (2 ,2 ),
2

联立方程组{

2

+ 2 = 1,

= ( ? ),
4 2
2

2 消元得(1 + 22 )2 ? 4 2 + 22 ? 2 = 0,

∴1 + 2 =

1+2

,1 ? 2 =
5 5

2 2 2 ?2

1+22


5 5

∴ ? = (1 ? 4)(2 ? 4) + 1 2 = (1 ? 4)(2 ? 4) + 2 (1 ? )(2 ? ) = (1 + 2 )1 2 ? ( + 2 )(1 + 2 ) +
4 5 25 16 2 + 2 =
2 (3 ?5 ?2)2 ?2

1+22

+ ,
16

25

2 ∵ ? 为定值 ,∴3 ? 5? 2= ? 4, 2 即3 ? 5 +2=0,∴ 1 = 1, 2 = 3. 2

∴ 的值为 1 或 .
3

2

点睛:圆锥曲线是高中的重要内容之一,也是高考必考的重要考点之一。本题将抛物线与椭 圆的基本概念、 基础知识有机地整合在一起, 考查学生的运算求解能力及综合运用所学知识 去分析问题解决问题的能力。 第一问借助抛物线的有关知识建立椭圆的方程; 第二问则运用 直线与椭圆的位置关系建构坐标之间关系的方程,借助题设条件进行分析探求。 22. (Ⅰ)( ? 1)2 + 2 = 1?( > 0); (Ⅱ)[ ,
2 3 2+ 3 2

].

【解析】 (Ⅰ)由 = 2(0 < < ),得2 + 2 = 4?( > 0), 设(1 , 1 ),(, ),则 =
1 +2
2

, = 21,即1 = 2 ? 2, 1 = 2,



2 代入2 1 + 1 = 4?(1 > 0), 得(2 ? 2)2 + (2)2 = 4,∴( ? 1)2 + 2 = 1?( > 0); (不写 > 0累计扣 1 分)

答案第 6 页,总 7 页

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(Ⅱ)设 (1 + cos, ),(0 < < ), 设点 处切线 的倾斜角为, 由 斜率范围[? 3, ? 3 ],可得 3 ≤ ≤ 6 , 而 = ? 2,∴6 ≤ ≤ 3, ∴ ≤ 1 + cos ≤
2 3 2+ 3 2 3 2 5








3 2+ 3 2

所以,点 横坐标的取值范围是[2 ,

].

23. (Ⅰ) = ± 2;(Ⅱ)不等式解集为(?∞, ?10) ∪ (?2, +∞). 【解析】 ( Ⅰ ) = (2 + ) + (2 ? )=|2 + + 4| + |2 ? + 4| ≥ |(2 + + 4) ? (2 ? + 4)| = 4, 解得 = ± 2. (Ⅱ)当 > ?4时,+4 > 1 ? 2 , ∈ (?2, +∞); 当 ≤ ?4时,? ? 4 > 1 ? , ∈ (?∞, ? 10),
2 1 1

∴不等式解集为(?∞, ?10) ∪ (?2, +∞).

答案第 7 页,总 7 页


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