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2014届高三数学一轮复习《三角函数的图象与性质》理 新人教B版

[第 19 讲

三角函数的图象与性质]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.[2013·石家庄 质检] 下列函数中,周期是π ,又是偶函数的是( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x 2.[2013·唐山模拟] 函数 f(x)= 3sin2x+cos2x( ) π π ? ? A.在?- ,- ?单调递减 6? ? 3 ?π π ? B.在? , ?单调递增 ?6 3? ? π ? C.在?- ,0?单调递减 ? 6 ? π ? ? D.在?0, ?单调递增 6? ? 3.函数 f(x)=cos2x+2sinx 的最小值和最大值分别为( ) A.-3,1 B. -2,2 3 3 C.-3, D.-2, 2 2 4 .[2013·太原外国语学校模拟 ] 下列函数中,以 π 为最小正周期的偶函数,且在

?π ,π ?上为减函数的是( ?2 ? ? ?
A.y=sin2x+cos2x B.y=|sinx| 2 C.y=cos x D.y=tanx

)

能力提升

?π π ? 5.下列函数中,周期为π ,且在? , ?上为减函数的是( ?4 2? π? ? A.y=sin?2x+ ? 2? ? π ? ? B.y=cos?2x+ ? 2? ? ? π? C.y=sin?x+ ? 2? ? π ? ? D.y=cos?x+ ? 2? ?

)

? π? ? π? 6.函数 y=sin?x- ?在区间?0, ?上( ) 4? 2? ? ? A.单调递增且有最大值 B.单调递增但无最大值 C.单调递减且有最大值 D.单调递减但无最大值 ?sinπ x(0≤x≤1), ? 7. 已知函数 f(x)=? 若 a, b, c 互不相等, 且 f(a)=f(b)=f(c), ?log2 012x(x>1), ? 则 a+b+c 的取值范围是( ) A.(2,2 013) B.(2,2 014) C.(3,2 013) D.(3,2 014) 1? ? 8. 已知函数 y=sinx 的定义域为[a, b], 值域为?-1, ?, 则 b-a 的值不可能是( ) 2 ? ? π 2π 4π A. B. C.π D. 3 3 3 π 9.[2013·唐山模拟] 若 x= 是函数 f(x)= 3sinω x+cosω x 图象的一条对称轴, 6 当 ω 取最小正数时( ) π π ? ? A.f(x)在?- ,- ?单调递减 6? ? 3 ?π π ? B.f(x)在 ? , ?单调递增 ?6 3? ? π ? C.f(x)在?- ,0?单调递减 ? 6 ? ? π? D.f(x)在?0, ?单调递增 6? ? π? ? 2 10.函数 f(x)=sin?2x- ?-2 2sin x 的最小正周期是________. 4? ? π? ? ?π ? ?π ? 且 f(x)在区间?π ,π ?有最小值, 11. 已知 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0), f? ?=f? ?, ?6 3? 3? ? ?6? ?3? ? ? 无最大值,则 ω =________. ? π? ? π ? x∈[0, 12. 函数 f(x)=sin?x+ ?- 3cos?x+ ?, 2π ]的单调递减区间是________. 3? 3? ? ? ? ?π ?? 13. [2013·泉州四校联考] 设 f(x)=asin2x+bcos2x, 其中 a, b∈R.若 f(x)≤?f? ?? ? ? 6 ?? 对 一切 x∈R 恒成立,则 ?11π ?=0;②?f?7π ??<?f?π ??; ①f? ? ? ? 12 ?? ? ? 5 ?? ? 12 ? ? ? ?? ? ? ?? ③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; π 2π ? ? ④f(x)的单调递增 区间是?kπ + ,kπ + ?(k∈Z); 6 3 ? ? ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f( x)的图象不相交. 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号).
14.(10 分)[2013·山西五校调研] 设函数 f(x)= 3cos x+sinxcosx- (1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求在[0,3π )内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和.
2

3 . 2

15.(13 分)[2013·黄冈模拟] 已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,0≤φ ≤π )为偶 函数,其图象上相邻的两个最低点间的距离为 2π . (1)求 f(x)的解析式; π π π 1 2π (2)若 α ∈- , ,fα + = ,求 sin2α + 的值. 3 2 3 3 3

难点突破 π? ? ? π? ? π? 16.(12 分)已知函数 f(x)=cos?2x- ?+2sin?x- ?sin?x+ ?. 3? 4? 4? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; ? π π? (2)求函数 f(x)在区间?- , ?上的值域. ? 12 2 ?

课时作业(十九) 【基础热身】 1.D [解析] 周期是π 的函数是 y=sin2x 和 y=cos2x,其中 y=cos2x 是偶函数. 1 ? 3 ? 2.D [解析] f(x)= 3sin2x+cos2x=2? sin2x+ cos2x? 2 ?2 ? π π? π? ? ? =2?sin2xcos +cos2xsin ?=2sin?2x+ ?. 6 6 6? ? ? ? π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 6 2 π π? ? 知 f(x)的增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z, 3 6? ? ? π? ∴f(x)在?0, ?单调递增. 6? ? 1?2 3 ? 2 3.C [解析] ∵f(x )=1-2sin x+2sinx=-2?sinx- ? + , 2? 2 ? 1 3 ∴当 sinx= 时,f(x)max= ,当 sinx=-1 时,f(x)min=-3;故选 C. 2 2 ?π ? 4.B [解析] 由函数为偶函数,排除 A,D;由在? ,π ?上为减函数,排除 C,故选 ?2 ? B. 【能力提升】 5.A [解析] 选项 C,D 中函数周期为 2π ,所以错误, 3π ? π ? ?π π ? 当 x∈? , ?时,2x+ ∈?π , ?, 2 ? 2 ? ?4 2? π? ? 函数 y=sin?2x+ ?为减函数, 2? ? π? ? 而函数 y=cos?2x+ ?为增函数,所以选 A. 2? ? π π π π 3π 6.A [解析] 由- ≤x- ≤ ,得- ≤x≤ , 2 4 2 4 4 ? π? ? π 3π ? 则函数 y=sin?x- ?在区间?- , ?上是增函数, 4 4 ? ? ? ? 4 2 ? π ? ? π 3π ? ? π? 又?0, ?? ?- , ?,所以函数在?0, ?上是增函数,且有最大值 ,故选 A. 2? ? 4 4 ? 2? 2 ? ? 7.A [解析] 数形结合法,画出函数 f(x)的简图,作直线 y=h,移动此直线观察直线 a+b 1 y=h 与函数 f(x)的图象有三个交点的情形,不妨设 a<b<c,则 = ,1<c<2 012, 2 2 ∴2<a+b+c<2 013. 1? ? 8.A [解析] 画出函数 y=sinx 的简图,要使函数的值域为?-1, ?,则函数定义 域 2? ? 5π 13π ? ? 为?2kπ + ,2kπ + ,k∈Z 或其子集,又定义域为[a,b],则 a,b 在同一个 k 所 6 6 ? ? ? 3π 5π 13π 对应的区间内,且[a,b]必须含 2kπ + ,还有 2kπ + 、2kπ + 之一,知 b-a 2 6 6 ?2π 4π ? 的取值范围为? , ?,故选 A. 3 ? ? 3 π? π π π ? 9.D [解析] f(x)=2sin?ω x+ ?,由 ω + =kπ + 得 ω =6k+2,取最小正 6? 6 6 2 ?

π? ? ? π? 数为 2,所以 f(x)=2sin?2x+ ?,其在?0, ?单调递增. 6? 6? ? ? π ? ? 10.π [解析] f(x)=sin?2x+ ?- 2,故最小正周期为π . 4? ? π? 14 ? ?π ? ?π ? 11. [ 解析 ] 依题 f(x) = sin ?ω x+ ? (ω >0) , f ? ? = f ? ? ,且 f(x) 在区间 3? 3 ? ?6? ?3? π π π π ? , ?有最小值,无最大值,∴区间? , ?为 f(x)的一个半周期的子区间,且知 f(x) ?6 3? ?6 3? ? ? ? ? π π + 6 3 π π π 3π 14 的图象关于 x= = 对称,∴ ·ω + =2kπ + ,k∈Z,取 k=0 得 ω = . 2 4 4 3 2 3 π 3 π ? ? 12.? , ? [解析] 本题主要考查两角和与差的正弦和余弦公式, y=Asin(ω x+φ ) 2 ? ?2 的单调性.属于基础知识、基本运算的考查. ? π? ? π? f(x)=sin?x+ ?- 3cos?x+ ? 3? 3? ? ? π π π π =sinxcos +cosxsin - 3cosxcos -sinxsin =2sinx, 3 3 3 3 ? π? ? π? ? π 3π ? ∴函数 f(x)=sin?x+ ?- 3cos?x+ ?,x∈[0,2π ]的单调递减区间是? , ?. 3 3 2 ? ? ? ? ? ?2 13 . ① ② ③ [ 解 析 ] 因 为 f(x) = asin2x + bcos2x = a +b sin(2x + θ ) , 若 π? π ? ?π ?? ? ?11π ?=0 正 f(x)≤?f? ??对一切 x∈R 恒成立,θ = ,f(x)= a2+b2sin?2x+ ?,①f? ? 6? 6 ? ? 6 ?? ? ? 12 ? 确; ? ?7π ?? ? ?π ?? ②?f? ??<?f? ??正确;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数正确;④错误,⑤错误. ? ? 12 ?? ? ? 5 ?? 14.解:(1)f(x)= = 3 1 3 (cos2x+1)+ sin2x- 2 2 2
2 2

π? 3 1 ? cos2x+ sin2x=sin?2x+ ?, 3? 2 2 ? π π π 故 T=π .由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 3 2 5 π 得 kπ - π ≤x≤kπ + , 12 12 5 π? ? 所以 f(x)单调递增区间为?kπ - π ,kπ + ?(k∈Z). 12 12? ? π? π π π ? (2)令 f(x)=1,即 sin?2x+ ?=1,则 2x+ =2kπ + (k∈Z).于是 x=kπ + 3? 3 2 12 ? π? ? π ? 13π π ? (k∈Z),∵0≤x<3π ,且 k∈Z,∴k=0,1,2,则 +?π + ?+?2π + ?= . 12? ? 12? 12 ? 4 13 ∴在[0,3π )内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和为 π . 4 15.解:(1)因为周期为 2π ,所以 ω =1,又因为 0≤φ ≤π ,f(x)为偶函数, π ? π? 所以 φ = ,则 f(x)=sin?x+ ?=cosx. 2? 2 ? π? 1 π ? 5π ? ? (2)因为 cos?α + ?= ,又 α + ∈?0, ?, 3? 3 6 ? 3 ? ?

π? 2 2 ? 所以 sin?α + ?= , 3? 3 ? 2π ? π? ? π? ? ? 所以 sin?2α + ?=2sin?α + ?cos?α + ? 3 ? 3? ? 3? ? ? 2 2 1 4 2 =2× × = . 3 3 9 【难点突破】 π? ? ? π? ? π? 16.解:(1)f(x)=cos?2x- ?+2sin?x- ?sin?x+ ? 3? 4? 4? ? ? ? 1 3 = cos2x+ sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) 2 2 1 3 2 2 = cos2x+ sin2x+sin x-cos x 2 2 1 3 = cos2x+ sin2x-cos2x 2 2 π ? ? =sin?2x- ?. 6? ? 2π π π π kπ ∴周期 T= =π .对称轴方程为 2x- = +kπ ,即 x= + ,k∈Z. 2 6 2 3 2 π π π 5 π π ? ? ? ? (2)∵x∈?- , ?,∴2x- ∈?- , ?, 6 ? 6 ? 3 ? 12 2 ? π? ? ? π π? ∵f(x)=sin?2x- ?在区间?- , ?上单调递增, 6? ? ? 12 3 ? ?π π ? 在区间? , ?上单调递减, ?3 2? π ∴当 x= 时,f(x)取最大值 1. 3 3 ?π ? 1 ? π? 又∵f?- ?=- <f? ?= , 2 ?2? 2 ? 12? π 3 ∴当 x=- 时,f(x)取最小值- , 12 2 3 ? ? ? π π? ∴函数 f(x)在区间?- , ?上的值域为?- ,1?. 12 2 ? ? ? 2 ?


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