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察雅县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

察雅县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知抛物线 x2=﹣2y 的一条弦 AB 的中点坐标为(﹣1,﹣5),则这条弦 AB 所在的直线方程是( A.y=x﹣4 B.y=2x﹣3 C.y=﹣x﹣6 D.y=3x﹣2 ) B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 0 ) 2. 经过点 M ?1,1? 且在两轴上截距相等的直线是( A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 1 或 y ? 1 )

姓名__________

分数__________

3. 已知 PD⊥矩形 ABCD 所在的平面,图中相互垂直的平面有(

A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 4. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则复数

A. 1 ? i B. 1 ? i C. 2 ? i 【命题意图】本题考查复数的有关概念,复数的四则运算等基础知识,意在考查学生的基本运算能力. 5. 已知 {an } 是等比数列, a2 ? 2,a5 ? A. ?

2 ? z2 ? ( z D. 2 ? i



1 ,则公比 q ? ( 4

) C.2 D.

1 2

B.-2

1 2

6. 实数 x,y 满足不等式组

,则下列点中不能使 u=2x+y 取得最大值的是(



A.(1,1) B.(0,3) C.( ,2) D.( ,0) 7. 阅读右图所示的程序框图,若 m ? 8, n ? 10 ,则输出的 S 的值等于( A.28 ( ) B.36 C.45 D.120 )

8. 一个几何体的三视图如图所示,正视图与侧视图为全等的矩形,俯视图为正方形,则该几何体的体积为

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(A) 8 ( B ) (C)

4

8 3 4 3
) B. 6 10 +3 5 +14 D. 4 10 + 3 5 +15

(D)

9. 如图所示,网格纸表示边长为 1 的正方形,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( A. 6 10 + 3 5 +15 C. 6 10 + 3 5 +15

【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识,意在考查空间想象能力和基本运算能力.
2 10. B 两点, 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, 点 O 是原点, 若|AF|=3, 则△ AOF 的面积为 (



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A.

B.

C.

D.2

11.如右图,在长方体

中,

=11,

=7,

=12,一质点从顶点 A 射向 次到第 次反射点之间的线 )

点 段记为

,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将 , , 将线段

竖直放置在同一水平线上, 则大致的图形是 (

A

B

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C

D
12.已知 α∈(0,π),且 sinα+cosα= ,则 tanα=( A. B. C. D. )

二、填空题
13.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(﹣2 是 . ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程

?y ? m ? 14.设 m ? R ,实数 x , y 满足 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,若 2 x ? y ? 18 ,则实数 m 的取值范围是___________. ?3x ? 2 y ? 6 ? 0 ?
【命题意图】本题考查二元不等式(组)表示平面区域以及含参范围等基础知识,意在考查数形结合的数学思 想与运算求解能力. 15.已知函数 ,则 __________; 的最小值为__________.

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16.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E 为 AB 的中点,CE=3,异面直线 A1C1 与 CE 所成角的余弦值为 ,且四边形 ABB1A1 为正方形,则球 O 的直径为 . .

17.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合为

18.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. ①若 AC=BD,则四边形 EFGH 是 ②若 AC⊥BD,则四边形 EFGH 是 ; .

三、解答题
19.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7}. (1)求 A∪B; (2)求(?UA)∩B; (3)求?U(A∩B).

20.如图所示的几何体中,EA⊥平面 ABC,BD⊥平面 ABC,AC=BC=BD=2AE= (1)求证:CM⊥EM; (2)求 MC 与平面 EAC 所成的角.

,M 是 AB 的中点.

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21.24.(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲. 已知函数 f(x)=|x+1|+2|x-a2|(a∈R). (1)若函数 f(x)的最小值为 3,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,若直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象围成一个三角形,求 m 的范围,并求围成的三 角形面积的最大值.

22.已知函数 f ? x ? ? x ? bx ? a ln x .
2

(1)当函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 5x ? 5 ? 0 ,求函数 f ? x ? 的解析式; (2)在(1)的条件下,若 x0 是函数 f ? x ? 的零点,且 x0 ? ? n, n ? 1? , n ? N ,求的值;
*

?

?

(3)当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 有两个零点 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,且 x0 ?

x1 ? x2 ,求证: f ? ? x0 ? ? 0 . 2

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23.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 由圆弧 C1 和圆弧 C2 相接而成,两相接点 M,N 均在直线 x=5 上,圆弧 C1 的圆心是坐标原点 O,半径为 13;圆弧 C2 过点 A(29,0). (1)求圆弧 C2 的方程; (2)曲线 C 上是否存在点 P,满足 ?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由.

24.已知斜率为 2 的直线 l 被圆 x2+y2+14y+24=0 所截得的弦长为

,求直线 l 的方程.

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察雅县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A
2 2 【解析】解:设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2=﹣2,x1 =﹣2y1,x2 =﹣2y2.

两式相减可得,(x1+x2)(x1﹣x2)=﹣2(y1﹣y2) ∴直线 AB 的斜率 k=1, ∴弦 AB 所在的直线方程是 y+5=x+1,即 y=x﹣4. 故选 A, 2. 【答案】D 【解析】

考 点:直线的方程. 3. 【答案】D 【解析】解:∵PD⊥矩形 ABCD 所在的平面且 PD?面 PDA,PD?面 PDC, ∴面 PDA⊥面 ABCD,面 PDC⊥面 ABCD, 又∵四边形 ABCD 为矩形 ∴BC⊥CD,CD⊥AD ∵PD⊥矩形 ABCD 所在的平面 ∴PD⊥BC,PD⊥CD ∵PD∩AD=D,PD∩CD=D ∴CD⊥面 PAD,BC⊥面 PDC,AB⊥面 PAD, ∵CD?面 PDC,BC?面 PBC,AB?面 PAB, ∴面 PDC⊥面 PAD,面 PBC⊥面 PCD,面 PAB⊥面 PAD 综上相互垂直的平面有 5 对 故答案选 D 4. 【答案】A 【 解 析 】

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5. 【答案】D 【解析】 试题分析:∵在等比数列 {a n } 中, a 2 ? 2, a 5 ? 考点:等比数列的性质. 6. 【答案】 D 【解析】解:由题意作出其平面区域, 将 u=2x+y 化为 y=﹣2x+u,u 相当于直线 y=﹣2x+u 的纵截距, 故由图象可知, 使 u=2x+y 取得最大值的点在直线 y=3﹣2x 上且在阴影区域内, 故(1,1),(0,3),( 而点( 故选 D. ,2)成立,

a 1 1 1 3 ,? q ? 5 ? ,? q ? . 4 a2 8 2

,0)在直线 y=3﹣2x 上但不在阴影区域内,

故不成立;

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【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,注意点在阴影区域内;属于中档题. 7. 【答案】C 【解析】 解析: 本题考查程序框图中的循环结构.S ?
m 8 2 Cn ? C10 ? C10 ? 45 ,选 C.

n n ?1 n ? 2 ? ? ? 1 2 3

?

n ? m ?1 m ? Cn , n? 1 0 时, , 当m ?8 m

8. 【答案】A 【解析】

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1 根据三视图可知,该几何体是长方体中挖去一个正四棱锥,故该几何体的体积等于 2 ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 8 3 9. 【答案】C
【解析】还原几何体,由三视图可知该几何体是四棱锥,且底面为长 6 ,宽 2 的矩形,高为 3,且 VE ^ 平面

1 1 1 ABCD , 如 图 所 示 , 所 以 此 四 棱 锥 表 面 积 为 S = 2 创 6 ? 10 + 创 2 3+ 创 2 2 2 2

45 + 2 ? 6

= 6 10 + 3 5 +15 ,故选 C.
V 46 C 46 2 6 B

10

10 3 D E 1 1

A

10.【答案】B
2 【解析】解:抛物线 y =4x 的准线 l:x=﹣1.

∵|AF|=3, ∴点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3 ∴1+xA=3 ∴xA=2, ∴yA=±2 , = . ∴△AOF 的面积为 故选:B. 【点评】本题考查抛物线的定义,考查三角形的面积的计算,确定 A 的坐标是解题的关键. 11.【答案】C 【解析】根据题意有: A 的坐标为:(0,0,0),B 的坐标为(11,0,0),C 的坐标为(11,7,0),D 的坐标为(0,7,0); A1 的坐标为:(0,0,12),B1 的坐标为(11,0,12),C1 的坐标为(11,7,12),D1 的坐标为(0,7, 12); E 的坐标为(4,3,12) (1)l1 长度计算 所以:l1=|AE|= =13。

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(2)l2 长度计算 将平面 A1B1C1D1 沿 Z 轴正向平移 AA1 个单位,得到平面 A2B2C2D2;显然有: A2 的坐标为:(0,0,24),B2 的坐标为(11,0,24),C2 的坐标为(11,7,24),D2 的坐标为(0,7, 24); 显然平面 A2B2C2D2 和平面 ABCD 关于平面 A1B1C1D1 对称。 设 AE 与的延长线与平面 A2B2C2D2 相交于:E2(xE2,yE2,24) 根据相识三角形易知: xE2=2xE=2×4=8, yE2=2yE=2×3=6, 即:E2(8,6,24) 根据坐标可知,E2 在长方形 A2B2C2D2 内。 12.【答案】D
2 【解析】解:将 sinα+cosα= ①两边平方得:(sinα+cosα) =1+2sinαcosα=

,即 2sinαcosα=﹣

<0,

∵0<α<π,∴

<α<π,

∴sinα﹣cosα>0,
2 ∴(sinα﹣cosα) =1﹣2sinαcosα=

,即 sinα﹣cosα= ②,

联立①②解得:sinα= ,cosα=﹣ , 则 tanα=﹣ . 故选:D.

二、填空题
13.【答案】 .

【解析】解:已知





为所求;

故答案为: 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程.属基础题.

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14.【答案】 [?3, 6] . 【 解 析 】

15.【答案】 【解析】【知识点】分段函数,抽象函数与复合函数 【试题解析】 当 当 故 时, 时, 的最小值为 .

故答案为: 16.【答案】 4 或

【解析】解:设 AB=2x,则 AE=x,BC= ∴AC= ,



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2 2 由余弦定理可得 x =9+3x +9﹣2×3×

×



∴x=1 或 或 AB=2

, ,球 O 的直径为 ,球 O 的直径为 . =4, = . ,BC=

∴AB=2,BC=2 故答案为:4 或

17.【答案】 {(x,y)|xy>0,且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1} . 【解析】解:图中的阴影部分的点设为(x,y)则 {x,y)|﹣1≤x≤0,﹣ ≤y≤0 或 0≤x≤2,0≤y≤1} ={(x,y)|xy>0 且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1} 故答案为:{(x,y)|xy>0,且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1}. 18.【答案】 菱形 ; 矩形 . 【解析】解:如图所示:①∵EF∥AC,GH∥AC 且 EF= AC,GH= AC ∴四边形 EFGH 是平行四边形 又∵AC=BD ∴EF=FG ∴四边形 EFGH 是菱形. ②由①知四边形 EFGH 是平行四边形 又∵AC⊥BD, ∴EF⊥FG

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∴四边形 EFGH 是矩形. 故答案为:菱形,矩形

【点评】本题主要考查棱锥的结构特征,主要涉及了线段的中点,中位线定理,构成平面图形,研究平面图形 的形状,是常考类型,属基础题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7}. (1)A∪B={1,2,3,4,5,7} (2)(?UA)={1,3,6,7} ∴(?UA)∩B={1,3,7} (3)∵A∩B={5} ?U(A∩B)={1,2,3,4,6,7}. 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.

20.【答案】 【解析】(1)证明:∵AC=BC= ∴△ABC 为等腰直角三角形, ∵M 为 AB 的中点, ∴AM=BM=CM,CM⊥AB, ∵EA⊥平面 ABC, ∴EA⊥AC, 设 AM=BM=CM=1,则有 AC= ,AE= AC= , = , AB,

在 Rt△AEC 中,根据勾股定理得:EC=

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在 Rt△AEM 中,根据勾股定理得:EM=
2 2 2 ∴EM +MC =EC ,

=



∴CM⊥EM; (2)解:过 M 作 MN⊥AC,可得∠MCA 为 MC 与平面 EAC 所成的角, 则 MC 与平面 EAC 所成的角为 45°.

21.【答案】 【解析】解:(1)f(x)=|x+1|+2|x-a2| -3x+2a -1,x≤-1, ? ? =?-x+2a +1,-1<x<a , ? ?3x-2a +1,x≥a ,
2 2 2 2 2

当 x≤-1 时,f(x)≥f(-1)=2a2+2, -1<x<a2,f(a2)<f(x)<f(-1), 即 a2+1<f(x)<2a2+2, 当 x≥a2,f(x)≥f(a2)=a2+1, 所以当 x=a2 时,f(x)min=a2+1,由题意得 a2+1=3,∴a=± 2. (2)当 a=± 2时,由(1)知 f(x)= -3x+3,x≤-1, ? ? ?-x+5,-1<x<2, ? ?3x-3,x≥2, 由 y=f(x)与 y=m 的图象知,当它们围成三角形时,m 的范围为(3,6],当 m=6 时,围成的三角形面积 1 最大,此时面积为 ×|3-(-1)|×|6-3|=6. 2

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22.【答案】(1) f ? x ? ? x2 ? x ? 6ln x ;(2) n ? 3 ;(3)证明见解析. 【解析】

试 题解析: (1) f' ( x ) ? 2 x ? b ?

? f' (1) ? 2 ? b ? a ? ?5 ?b ? ?1 a ,所以 ? , ?? x ? f (1) ? 1 ? b ? 0 ?a ? 6
6 2x2 ? x ? 6 ? , x x

2 ∴函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? x ? x ? 6ln x( x ? 0) ;

(2) f ( x) ? x ? x ? 6ln x ? f '( x) ? 2 x ? 1 ?
2

因为函数 f ( x ) 的定义域为 x ? 0 ,

(2 x ? 3)( x ? 2) 3 ? 0? x ? ? 或x ? 2, x 2 当 x ? (0, 2) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,
令 f '( x) ? 当 x ? (2, ??) 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增, 且函数 f ( x ) 的定义域为 x ? 0 ,

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2 (3)当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? bx ? ln x ,

2 f ( x1 ) ? x12 ? bx1 ? ln x1 ? 0 , f ( x2 ) ? x2 ? bx2 ? ln x2 ? 0 , ln x1 ? ln x2 2 2 两式相减可得 x1 ? ( x1 ? x2 ) . ? x2 ? b( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? 0 , b ? x1 ? x2 x ?x 1 1 f '( x) ? 2 x ? b ? , f '( x0 ) ? 2 x0 ? b ? ,因为 x0 ? 1 2 , x 2 x0 x ? x2 ln x1 ? ln x2 2 所以 f '( x0 ) ? 2 ? 1 ? ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2

? ?x ?? 2 ? 2 ? 1? ? ? x ln x2 ? ln x1 2( x2 ? x1 ) ? 2 1 ? 1 ? x2 ? ? ? ln ? ? 1 ? ? ?ln x2 ? ln x1 ? ?? x2 ? x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x1 ?1 ? ? x1 ? ? ? ? 2(t ? 1) x 设 2 ? t ? 1 , h(t ) ? ln t ? , t ?1 x1

1 4 (t ? 1)2 ? 4t (t ? 1) 2 ? ? ?0, t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 t (t ? 1) 2 所以 h(t ) 在 (1, ??) 上为增函数,且 h(1) ? 0 , 1 ? 0 ,所以 f '( x0 ) ? 0 . ∴ h(t ) ? 0 ,又 x2 ? x1
∴ h '(t ) ? ?

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考点:1、导数几何意义及零点存在定理;2、构造函数证明不等式. 【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式,属于难题.涉及函数的零点 问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变 化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、 交点的情况, 归根到底还是研究函数的性质, 如单调性、 极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 23.【答案】
2 2 【解析】解:(1)圆弧 C1 所在圆的方程为 x +y =169,令 x=5,

解得 M(5,12),N(5,﹣12)…2 分 则直线 AM 的中垂线方程为 y﹣6=2(x﹣17), 令 y=0,得圆弧 C2 所在圆的圆心为 (14,0), 又圆弧 C2 所在圆的半径为 29﹣14=15,
2 2 所以圆弧 C2 的方程为(x﹣14) +y =225(5≤x≤29)…5 分

(2)假设存在这样的点 P(x,y),则由 PA= 由 由

PO,得 x2+y2+2x﹣29=0 …8 分

,解得 x=﹣70 (舍去) 9 分 ,解得 x=0(舍去),

综上知,这样的点 P 不存在…10 分 【点评】本题以圆为载体,考查圆的方程,考查曲线的交点,同时考查距离公式的运用,综合性强.

24.【答案】
2 2 【解析】解:将圆的方程写成标准形式,得 x +(y+7) =25,

所以,圆心坐标是(0,﹣7),半径长 r=5.… 因为直线 l 被圆所截得的弦长是 所以,弦心距为 即圆心到所求直线 l 的距离为 .… , ,

因为直线 l 的斜率为 2,所以可设所求直线 l 的方程为 y=2x+b,即 2x﹣y+b=0. 所以圆心到直线 l 的距离为 因此, 解得 b=﹣2,或 b=﹣12.… 所以,所求直线 l 的方程为 y=2x﹣2,或 y=2x﹣12. ,…

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即 2x﹣y﹣2=0,或 2x﹣y﹣12=0.… 【点评】本题主要考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方 与弦长一半的平方的和的灵活运用.

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