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北京市海淀区2011年高三上学期期末考试文科数学试卷

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (文科)
共 40 分) 2011.1

第Ⅰ卷(选择题
选出符合题目要求的一项.
1. sin 240 的值为 A. ?

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

2. 若等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 + a3 = 6 ,则 S4 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 9

3. 设 α , β 为两个不同的平面,直线 l ? α ,则“ l ⊥ β ”是“ α ⊥ β ”成立的 A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 某部门计划对某路段进行限速,为调查限速 60 km/h 是 否合理,对通过该路段的 300 辆汽车的车速进行检测,将所 得数据按 [ 40,50 ) , [50, 60) , [60, 70) , [70,80] 分组, 绘制成如图所示的频率分布直方图.则这 300 辆汽车中车速 低于限速的汽车有 A.75 辆 B.120 辆 C.180 辆 D.270 辆 5.点 P (2, t ) 在不等式组 ?

频率 组距

0.035 0.030 a 0.010 O 40 50 60 70 80
车速

?x ? y ? 4 ≤ 0 表示的平面区域内, ?x + y ? 3 ≤ 0

则点 P (2, t ) 到直线 3 x + 4 y + 10 = 0 距离的最大值为 A. 2 B. 4 C. 6 D.8
2 2 2 1 1

6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为 A.12 B.6 C. 4 D.2
2

正视图
2 1

左视图

1 7. 已知函数 f ( x ) = sin x ? x, x ∈ [0, π] , 3 1 cos x0 = ( x0 ∈ [0, π ] ) ,那么下面结论正确的是 3
A. f ( x ) 在 [0, x0 ] 上是减函数

俯视图

B. f ( x ) 在 [ x0 , π ] 上是减函数

1

C.

?x ∈ [0, π] , f ( x ) > f ( x0 )

D. ?x ∈ [0, π] , f ( x ) ≥ f ( x0 )

8. 已知椭圆 E :

x2 y2 + = 1 ,对于任意实数 k ,下列直线被椭圆 E 所截弦长与 l : m 4

y = kx + 1 被椭圆 E 所截得的弦长不可能相等的是 ...
A. kx + y + k = 0 B. kx ? y ? 1 = 0 C. kx + y ? k = 0 D. kx + y ? 2 = 0

把答案填在题中横线上. 二、填空题:本大题共 6 小题 每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上 填空题 本大题共 小题,每小题 共 把答案填在题中横线上
9. 若直线 l 经过点(1,2)且与直线 2 x + y ? 1 = 0 平行,则直线 l 的方程为__________.
开始

10.某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入 4, 则输出的 S 为 .

输入i

S = 0; n = 0


n<i



S = S + 2n + 1
n = n +1

输出S 结束

11.椭圆

x2 y 2 + = 1 的右焦点 F 的坐标为 25 16
.

.则顶点在原点的抛物线 C 的焦点也为

F ,则其标准方程为

12.在一个边长为 1000 米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站,若向此区域内随机 投放一个爆破点, 则爆破点距离监测站 200 米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破 点被监测到的概率为_______. 13 已知向量 a = (1, t ), b = ( ?1, t ) .若 2a ? b 与 b 垂直, 则 | a |= ___ .

14.在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点.定义 P (x1 , y1 )、Q (x2 , y2 )两点之间的“直角 距离”为 d ( P, Q ) = x1 - x2 + y1 - y2 为. 若点 A (-1,3),则 d ( A, O ) = ; .

1, 已知 B ( 0),点 M 为直线 x - y + 2 = 0 上动点,则 d ( B, M ) 的最小值为

2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明 演算步骤或证明过 解答题 小题 共 解答应写出文字说明, 解答应写出文字说明 程.
15. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) =

1 3 sin x + cos x , x ∈ R . 2 2

(I)求函数 f (x ) 的周期和值域; (II)记 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( A) = 求角 C 的值.

3 3 , 且a = b, 2 2

3

16. (本小题满分 13 分) 某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团) 围棋社 高中 初中 45 15 戏剧社 30 10 书法社

a
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人,结果围棋社被抽出 12 人. (I) 求这三个社团共有多少人? (II) 书法社从 3 名高中和 2 名初中成员中,随机选出 2 人参加书法展示,求这 2 人中初、 高中学生都有的概率.

4

17. (本小题满分 13 分) 如图,棱柱 ABCD— A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 为菱形 , AC ∩ BD = O ,侧棱 AA1 ⊥BD, 点 F 为 DC1 的中点. (I) 证明: OF // 平面 BCC1 B1 ; (II)证明:平面 DBC1 ⊥ 平面 ACC1 A1 .

D 1 A 1 B1

C1

F

D
O
A

C

B

5

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = x 2 +
2a 3 + 1, 其中 a > 0 . x

(I)若曲线 y = f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 y = 1 平行,求 a 的值; (II)求函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值.
19. (本小题满分 14 分)

已知圆 O : x 2 + y 2 = 4 ,点 P 为直线 l : x = 4 上的动点.
(I)若从 P 到圆 O 的切线长为 2 3 ,求 P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长;

(II)若点 A( ?2, 0), B (2, 0) ,直线 PA, PB 与圆 O 的另一个交点分别为 M , N ,求证:直线

MN 经过定点 (1,0) .

6

20. (本小题满分 14 分) 已知集合 A = {1, 2,3,? , 2n} ( n ∈ N ) .对于 A 的一个子集 S, 若存在不大于 n 的正整数
*

m,使得对于 S 中的任意一对元素 s1 , s2 ,都有 s1 ? s2 ≠ m ,则称 S 具有性质 P. (Ⅰ)当 n = 10 时,试判断集合 B = { x ∈ A x > 9} 和 C = x ∈ A x = 3k ? 1, k ∈ N * 是否具有性 质 P?并说明理由. (II)若集合 S 具有性质 P,试判断集合 T = (2n + 1) ? x x ∈ S )是否一定具有性质 P?并 说明理由.

{

}

{

}

7

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学(文) 2011.1 .

答案及评分参考 答案及评分参考
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 选择题( 小题, 选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 C 5 B 6 D 7 B

8 D

第 II 卷(非选择题 共 110 分) 小题, 有两空的题目, 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 共 30 分.有两空的题目,第一空 3 分,第二空 填空题( 2 分) 9. 2 x + y ? 4 = 0 12. 10. 19 13. 11. (3, 0) 14. 4 3
y 2 = 12 x

π
25

2

小题, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 解答题(
15. (共 13 分)

解: I)∵ f ( x ) = (

1 3 π cos x = sin( x + ) , sin x + 2 2 3

............................... 3 分 ................................4 分

∴ f ( x) 的周期为 2π (或答: 2kπ , k ∈ Z , k ≠ 0 ).
因为 x ∈ R ,所以 x +

π
3

∈R ,
...............................5 分

所以 f ( x ) 值域为 [ ?1,1] . (II)由(I)可知, f ( A) = sin( A +

π
3

) ,

...............................6 分

∴ sin( A +

π
3

)=

3 , 2 4π 3

...............................7 分

∵0 < A < π , ∴

π
3

3 π 2π ∴A+ = , 3 3

< A+

π

<

,

..................................8 分

得到 A =

π
3

.

...............................9 分

8

∵a =

3 a b = b, 且 2 sin A sin B

,

....................................10 分

3 b 2 = b , ∴ sin B 3 2
∵0 < B < π , ∴C = π ? A ? B =
16. (共 13 分) 解: (I)围棋社共有 60 人, 由

∴ sin B = 1 ,

....................................11 分

∴B =

π
2

.

....................................12 分 ....................................13 分

π
6

.

...................................1 分 ...................................3 分 ...................................5 分

60 × 30 = 150 可知三个社团一共有 150 人. 12

(II)设初中的两名同学为 a1 , a2 ,高中的 3 名同学为 b1 , b2 , b3 ,

随机选出 2 人参加书法展示所有可能的结果: {a1 , a2 },{a1 , b1},{a1 , b2 },{a1 , b3},{a2 , b1},

{a2 , b2 }, {a2 , b3},{b1 , b2 },{b1 , b3},{b2 , b3} ,共 10 个基本事件. ..................................8 分
设事件 A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有” , ..................................9 分 6 个基本事件.

则事件 A 共有 {a1 , b1},{a1 , b2 },{a1 , b3},{a2 , b1},{a2 , b2 },{a2 , b3}

...................................11 分

∴ P ( A) =

6 3 = . 10 5 3 . 5
................................13 分

故参加书法展示的 2 人中初、高中学生都有的概率为 17. (共 13 分) 解: (I)∵ 四边形 ABCD 为菱形且 AC ∩ BD = O ,

∴ O 是 BD 的中点 .
又点 F 为 DC1 的中点,

...................................2 分

∴ 在 ?DBC1 中, OF // BC1 ,

...................................4 分

∵ OF ? 平面 BCC1 B1 , BC1 ? 平面 BCC1 B1 ,
∴ OF // 平面 BCC1 B1 .
(II)∵ 四边形 ABCD 为菱形,
9

...................................6 分

∴ BD ⊥ AC ,

...................................8 分

又 BD ⊥ AA1 ,AA1 ∩ AC = A, 且 AA1 , AC ? 平面 ACC1 A1 ,.................................10 分

∴ BD ⊥ 平面 ACC1 A1 ,
∵ BD ? 平面 DBC1 ,
∴ 平面 DBC1 ⊥ 平面 ACC1 A1 .
18. (共 13 分) 解: f ′( x) = 2 x ?
2a 3 2( x3 ? a 3 ) = ,x ≠0. x2 x2

................................11 分

................................13 分

.........................................2 分

(I)由题意可得 f ′(1) = 2(1 ? a3 ) = 0 ,解得 a = 1 ,

........................................3 分

此时 f (1) = 4 ,在点 (1, f (1)) 处的切线为 y = 4 ,与直线 y = 1 平行. 故所求 a 值为 1. (II)由 f ′( x) = 0 可得 x = a , a > 0 , ①当 0 < a ≤ 1 时, f ′( x) > 0 在 (1, 2] 上恒成立 , 所以 y = f ( x) 在 [1, 2] 上递增, 所以 f ( x) 在 [1, 2] 上的最小值为 f (1) = 2a 3 + 2 . ②当 1 < a < 2 时,
x f ′( x) f ( x)

........................................4 分 ........................................ 5 分

.....................................6 分 ........................................7 分

(1, a )

a

( a, 2)



0



....................................10 分

极小
......................................11 分

由上表可得 y = f ( x) 在 [1, 2] 上的最小值为 f (a) = 3a 2 + 1 . ③当 a ≥ 2 时, f ′( x) < 0 在 [1, 2) 上恒成立, 所以 y = f ( x) 在 [1, 2] 上递减 . 所以 f ( x) 在 [1, 2] 上的最小值为 f (2) = a 3 + 5 . 综上讨论,可知:

......................................12 分 .....................................13 分

当 0 < a ≤ 1 时, y = f ( x) 在 [1, 2] 上的最小值为 f (1) = 2a 3 + 2 ;

10

当 1 < a < 2 时, y = f ( x) 在 [1, 2] 上的最小值为 f (a) = 3a 2 + 1 ; 当 a ≥ 2 时, y = f ( x) 在 [1, 2] 上的最小值为 f (2) = a 3 + 5 . 19. (共 14 分) 解:根据题意,设 P(4, t ) . (I)设两切点为 C , D ,则 OC ⊥ PC , OD ⊥ PD , 由题意可知 | PO |2 =| OC |2 + | PC |2 , 即 42 + t 2 = 22 + (2 3) 2 , 解得 t = 0 ,所以点 P 坐标为 (4,0) . 在 Rt ?POC 中,易得 ∠POC = 60 ,所以 ∠DOC = 120 . 所以两切线所夹劣弧长为
2π 4π ×2= . 3 3

............................................2 分 ...........................................3 分 ............................................4 分
...........................................5 分

(II)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , Q(1,0) , 依题意,直线 PA 经过点 A( ?2,0), P (4, t ) ,
t 可以设 AP : y = ( x + 2) , 6
............................................6 分

t ? ? y = ( x + 2) 和圆 x + y = 4 联立,得到 ? 6 ? x2 + y2 = 4 ?
2 2



代入消元得到, (t 2 + 36) x 2 + 4t 2 x + 4t 2 ? 144 = 0 ,

......................................7 分

因为直线 AP 经过点 A( ?2,0), M ( x1 , y1 ) ,所以 ?2, x1 是方程的两个根, 所以有 ?2 x1 =
4t 2 ? 144 , t 2 + 36 x1 = 72 ? 2t 2 , t 2 + 36 ..................................... 8 分 ..................................9 分

t 72 ? 2t 2 24t t 代入直线方程 y = ( x + 2) 得, y1 = ( 2 + 2) = 2 . 6 6 t + 36 t + 36

? y = ( x ? 2) t 同理,设 BP : y = ( x ? 2) ,联立方程有 ? , 2 2 2 2 ?x + y = 4 ?
代入消元得到 (4 + t 2 ) x 2 ? 4t 2 x + 4t 2 ? 16 = 0 , 因为直线 BP 经过点 B (2,0), N ( x2 , y2 ) ,所以 2, x2 是方程的两个根,
2 x2 = 4t 2 ? 16 2t 2 ? 8 , x2 = 2 , t2 + 4 t +4

?

t

11

t 2t 2 ? 8 ?8t t 代入 y = ( x ? 2) 得到 y2 = ( 2 ? 2) = 2 . 2 2 t +4 t +4

.....................11 分

若 x1 = 1 ,则 t = 12 ,此时 x2 =
2

2t 2 ? 8 =1 t2 + 4

显然 M , Q , N 三点在直线 x = 1 上,即直线 MN 经过定点 Q (1,0) ............................12 分 若 x1 ≠ 1 ,则 t ≠ 12 , x2 ≠ 1 ,
2

所以有 k MQ

24t ?8t 2 2 y1 ? 0 8t y2 ? 0 ?8t = = t + 36 = ................13 分 , k NQ = = t +4 = 2 2 2 2 x1 ? 1 72 ? 2t 12 ? t x2 ? 1 2 t ? 8 t ? 12 ?1 ?1 t 2 + 36 t2 + 4

所以 k MQ = k NQ ,

所以 M , N , Q 三点共线,

即直线 MN 经过定点 Q (1,0) . 综上所述,直线 MN 经过定点 Q (1,0) .
.......................................14 分

20. (共 14 分)

解: (Ⅰ)当 n = 10 时,集合 A = {1,2,3,? ,19,20} ,

B = { x ∈ A x > 9} = {10,11,12,?,19, 20} 不具有性质 P .
因为对任意不大于 10 的正整数 m, 都可以找到集合 B 中两个元素 b1 = 10 与 b2 = 10 + m , 使得 b1 ? b2 = m 成立 . 集合 C = x ∈ A x = 3k ? 1, k ∈ N * 具有性质 P .

...................................1 分

...................................3 分

{

}

....................................4 分
*

因为可取 m = 1 < 10 ,对于该集合中任意一对元素 c1 = 3k1 ? 1, c2 = 3k2 ? 1 , k1 , k 2 ∈ N 都有 c1 ? c2 = 3 k1 ? k2 ≠ 1 .

............................................6 分

(Ⅱ)若集合 S 具有性质 P ,那么集合 T = {(2n + 1) ? x x ∈ S } 一定具有性质 P . ..........7 分 首先因为 T = {(2n + 1) ? x x ∈ S } ,任取 t = (2n + 1) ? x0 ∈ T , 其中 x0 ∈ S , 因为 S ? A ,所以 x0 ∈ {1, 2, 3,..., 2n} , 从而 1 ≤ (2n + 1) ? x0 ≤ 2n , t ∈ A, 所以 T ? A 即
...........................8 分

12

由 S 具有性质 P ,可知存在不大于 n 的正整数 m, 使得对 S 中的任意一对元素 s1 , s2 ,都有 s1 ? s2 ≠ m , 对上述取定的不大于 n 的正整数 m, 从集合 T = {(2n + 1) ? x x ∈ S } 中任取元素 t1 = 2n + 1 ? x1 , t2 = 2n + 1 ? x2 , 其中 x1 , x2 ∈ S , 都有 t1 ? t2 = x1 ? x2 ; ..................................9 分

因为 x1 , x2 ∈ S ,所以有 x1 ? x2 ≠ m ,即 t1 ? t2 ≠ m 所以集合 T = {(2n + 1) ? x x ∈ S } 具有性质 P . .............................14 分

说明:其它正确解法按相应步骤给分. 说明:其它正确解法按相应步骤给分.

13


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