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2012—2013学年度南昌市高三第二次模拟测试卷数学(理科)扫描版_图文

2012—2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题目 答案 1 A
2 9

2 A

3 B

4 A

5 C

6 B

7 D

8 A

9 C

10 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5,共 20 分) 11. 3; 12. ; 13. 4 14. s in 2 A ? s in 2 B ? s in 2 C ? 2 s in 2 B s in 2 C c o s 2 A
2 2 2

三、选做题(本题共 5 分) 15. ① 2 2 ② { x | x ? ? 1 或 x ? 2}

四、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.解 : )由题意可 知, 第 3 组的人数为 0 . 0 6? 5? 1 0 0 0? 3 0 , 第 4 组 的人数为 (1 0 0 .0 4 ? 5 ? 1 0 0 0 ? 2 0 0 ,第 5 组的人数为 0 .0 2 ? 5 ? 1 0 0 0 ? 1 0 0 。???????3 分 所以利用分层抽样在 6 0 0 名志愿者中抽取 1 2 名志愿者,每组抽取的人数为: 第3组
12 600
0 3

? 3 0 0 ? 6 ,第 4 组

12 600

? 2 0 0 ? 4 ,第 5 组

12 600

? 1 0 0 ? 2 ?????6 分

(2) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,
P (? ? 0 ) ? C6C6 C 12 P (? ? 3 ) ? C6
3 3 3

? 1 11

1 11

, P ( ? ? 1) ?

C 6C 6 C 12
3

1

2

?

9 22

, P (? ? 2 ) ?

C6C6 C 12
3

2

1

?

9 22



?

,??????????????????????????10 分

C 12

所以, ? 的分布列为:
?
p

0
1 11 ?? ?

1
9 22

2
9 22

3
1 11

所以 ? 的数学期望 E ? ? 1 .5 ????????????????????????12 分 17.解: (1) m ? n ? (s in x ? c o s x , ) ,所以
2 f ( x ) ? (s in x ? c o s x ) s in x ?
2 2

1

1 2

? s in

2

x ? s in x c o s x ?

1 2

?

1 2

s in 2 x ?

1 2

c o s 2 x ,?3 分

即 f (x) ? 当 x ? [0,
?
2

s in ( 2 x ?

?
4

) ,????????????????????????4 分

] 时, 2 x ?

?
4

? [?

?
4

,

3? 4

] , s in ( 2 x ?

?
4 1 2 ,

) ? [? 2 2

2 2

, 1] ,

所以当 x ? [ 0 , (2)由 f (
B 2

?
2

] 时,函数 y ? f ( x ) 的值域是 [ ?
2 5 2

] ;???????????6 分

) ?

,得 s in ( B ?

?
4

) ?

3 5

,又 B ?

?
4

? (?

?
4

,

?
4

),

所以 c o s ( B ?

?
4

) ?

4 5

,???????????????????????????8 分
?
4 )?

因此” c o s B ? c o s [ ( B ?

?
4

] ? cos( B ?

?
4

) cos

?
4

? s in ( B ?

?
4

) s in

?
4

?

2 10

,

??9 分

2 2 2 由余弦定理 b ? a ? c ? 2 a c c o s B ,得 9 8 ?

32 25

c ? c ? 2?
2 2

4 5

2

c ?
2

2 10

, ??11 分

所以: c ? 5 2 , a ? 8 。??????????????????????????12 分 18.解: (1)设第一行依次组成的等差数列的公差是 d ,等比数列的公比是 q ( q ? 0 ) , 则 a 2 , 3 ? q a 1 , 3 ? q (1 ? 2 d ) ? q (1 ? 2 d ) ? 6 , ?????????????????2 分
a3
, 2

? q a
2

1 , 2

?

q( 1 ? d ? )
2

2

, q ( 1 ? d) ? 8 ?????????????????4 分

解得: d ? 1, q ? 2 ,所以: a 1, 2 ? 2 ? a n , 2 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ;???????????6 分 (2) b n ?
Sn ? ( 1 2 1 2 ? ? n 2 2 2
2 n

? ( ? 1) n ,
n

? ?

3 2
3

?? ? ?? ? 1 2 ? 1 2 n 2
2

n 2
n

) ? ( ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( ? 1) n ) ,???????????8 分
n

记Tn ?

2 2
2

3 2
3

n 2 ?
n

,则 T n ?
2 1 2
3

1

1 2 ? 2
2

? n
n ?1

2 2
3

?

3 2
3

?? ? 2
n ?1

n
n ?1


n? 2 2
n n

两式相减得: T n ?
2

1

?? ? n? 2 2
n

1 2
n

? 1?

n? 2 2

,所以 T n ? 2 ?
n ?1 2 ? 2?

,??10 分

所以 n 为偶数时, S n ?

? 2?

, n 为奇数时, S n ? ?

n? 2 2

。??12 分

19. (1)证明:在菱形 A B E F 中,因为 ? A B E ? 6 0 ? ,所以△ A E F 是等边三角形, 又 H 是线段 E F 的中点,所以 A H ? E F ? A H ? A B , 因为平面 A B E F ? 平面 A B C D ,所以 A H ? 平面 A B C D ,所以 A H ? B C ;??2 分 在 直 角 梯 形 A B C D 中 , A B ? 2 A D? 2 C D 4 , ? B A D ? ? C D A ? 9 0 ? , 得 到 : ?
AC ? BC ? 2 2 ,从而 A C
2

? BC

2

? A B ,所以 A C ? C B ,????????4 分
2

所以 C B ? 平面 A H C ,又 B C ? 平面 B C E ,所以平面 A H C ? 平面 B C E ;???6 分 (2)由(1) A H ? 平面 A B C D ,如图,分别 以 A D , A B , A H 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴 建立空间直角坐标系, 则 A ( 0 , 0 , 0 ), B ( 0 , 4 , 0 ), C ( 2 , 2 , 0 ), D ( 2 , 0 , 0 ) ,
3 ) , H ( 0 , 0 , 3 ) , G (1, 3 , 0 ) ???7 ???? ???? ???? ? 设点 M 的坐标是 ( 0 , m , 3 ) ,则 G M , A F , A D 共面, E (0, 2, 3 ), F (0 , ? 2 ,



所以存在实数 ? , ? 使得:

???? ? ???? ???? G M ? ? A D ? ? A F ? ( ? 1, m ? 3 ,

3 ) ? (2 ? , 0, 0 ) ? (0, ? 2 ? ,

3? )



得到: 2 ? ? ? 1, m ? 3 ? ? 2 ? , 3 ?

3 ? ? m ? 1 .即点 M 的坐标是: ( 0 , 1, 3 ) , ???8 分 ???? 由(1)知道:平面 A H C 的法向量是 B C ? ( 2 , ? 2 , 0 ) , ? 设平面 A C M 的法向量是 n ? ( x , y , z ) , ? ???? ?n ? AC ? 0 ? ? ? ?( x, y, z ) ? (2, 2, 0) ? 0 ?x ? ? y ? ? ? ? 则: ? ? ???? ,?????????9 分 ? ? ( x , y , z ) ? ( 0 , 1, 3 ) ? 0 ? y ? ? 3z ?n ? AM ? 0 ? ? ? ? 令 z ? 3 ,则 y ? ? 3, x ? 3 ,即 n ? ( 3 , ? 3 , 3 ) ,

所以 c o s ? n , B C ? ?
2

? ????

12 2? 21

?

42 7

,??????????????????11 分
42 7

即平面 A C H 与平面 A C M 所成角的余弦值是

。?????????????12 分

20.解: (1)由 e ?

3 2

?

c a

2 2

?

3 4

? a

2

? 4 b ,???????????????2 分
2

又点 P ( 2 , 3 ) 在椭圆上, 所以椭圆方程是:
x
2

4 4b
2

?

3 b
2

?1? b

2

? 4 , ??????????????4 分

?

y

2

? 1 ;???????????????????????5 分 y ? 3 ? x? 4 6

16

4

(2)当 l 垂直 x 轴时, M ( 2 , 3 ) , N ( 2 , ? 3 ) ,则 A N 的方程是:
B M 的方程是:
y 3 ? x? 4 ?2



,交点 G 的坐标是: (8 , ? 2 3 ) ,猜测:存在常数 t ? 8 ,

即直线 l ' 的方程是: x ? 8 使得 l ' 与 A N 的交点 G 总在直线 B M 上, ????????6 分 证明:设 l 的方程是 y ? k ( x ? 2 ) ,点 M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) , G (8 , y G ) 将 l 的方程代入椭圆 C 的方程得到: x ? 4 k ( x ? 2 ) ? 1 6 ,
2 2 2

即: (1 ? 4 k ) x ? 1 6 k x ? 1 6 k ? 1 6 ? 0 ,??????????????????7 分
2 2 2 2

从而: x 1 ? x 2 ?
????

16k

2 2

1 ? 4k

, x1 x 2 ?

16k

2

? 16
2

因为: A G ? (1 2 , y G ) , A N ? ( x 2 ? 4 , y 2 ) A , N , G 共线 所以: 1 2 y 2 ? ( x 2 ? 4 ) y G , y G ?
???? ???? ?
12 y2 x2 ? 4

????

1 ? 4k

,?????????????????8 分

,??????????????????9 分

又 B G ? ( 4 , y G ) , B M ? ( x1 ? 4 , y 1 ) 要证明 B , M , G 共线,即要证明 4 y 1 ? ( x 1 ? 4 )
12 y2 x2 ? 4

,????????????10 分

即证明: k ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 4 ) ? 3 k ( x 2 ? 2 )( x 1 ? 4 ) , 即: x 1 x 2 ? 2 x 2 ? 4 x 1 ? 8 ? 3 x 1 x 2 ? 6 x 1 ? 1 2 x 2 ? 2 4 , 即: x 1 x 2 ? 5 ( x 1 ? x 2 ) ? 1 6 ? 0 因为: x 1 x 2 ? 5 ( x 1 ? x 2 ) ? 1 6 ?
16k
2

? 16
2

1 ? 4k

?

80k

2 2

1 ? 4k

? 1 6 ? 0 成立,???????12 分

所以点 G 在直线 B M 上。 综上:存在定直线 l ' : x ? 8 ,使得 l ' 与 A N 的交点 G 总在直线 B M 上, t 的值是 8 。??13 分 21.解: (1) g '( x ) ?
2a x ?1 ? 2x ? 2 ? 2( x ? 1 ? a)
2

x ?1

??????????????1 分

当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时, g '( x ) ? 0 ,函数 g ( x ) 在定义域 ( ? 1, ? ? ) 上是增函数;??2 分 当 0 ? 1 ? a ? 1 即 0 ? a ? 1 时,由 ?
? g '( x ) ? 0 ?x ?1 ? 0

得到 ? 1 ?

x ? ? 1? a

或x ?

1 ? a ,??4 分

所以:当 a ? 0 时,函数 g ( x ) 的递增区间是 ( ? 1, ? 1 ? a ) 和 ( 1 ? a , ? ? ) ,递减区间是
(? 1? a, 1? a)

;????????????????????????????5 分
? g '( x ) ? 0 ?x ?1 ? 0

当 1 ? a ? 1 即 a ? 0 时,由 ?

得到: x ?

1? a ,

所以:当 a ? 0 时,函数 g ( x ) 的递增区间是 ( 1 ? a , ? ? ) ,递减区间是 ( ? 1, 1 ? a ) ;??7 分 (2)若函数 g ( x ) 是“中值平衡函数” ,则存在 A ( x 1 , f ( x 1 ) ) , B ( x 2 , f ( x 2 ) ) ( ? 1 ? x 1 ? x 2 ) 使得

g '( x 0 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

2 a ln

1 ? x1 1 ? x2 ? x1 ? x 2 ? 2 ,


1?

2a x1 ? x 2 2

? x1 ? x 2 ? 2 ?

x1 ? x 2

即 a ln

1 ? x1 1 ? x2

?

2 a ( x1 ? x 2 ) 1 ? x1 ? 1 ? x 2

, (*)?????????????????????4 分

当 a ? 0 时, (*)对任意的 ? 1 ? x 1 ? x 2 都成立,所以函数 g ( x ) 是“中值平衡函数” ,且函 数 g ( x ) 的“中值平衡切线”有无数条; ???????????????????8 分 当 a ? 0 时,设
1 ? x1 1 ? x2 ? t ,则方程 ln t ?

2 ( t ? 1) t ?1
? 4

在区间 ( 0 ,1) 上有解,??????10 分
? ( t ? 1)
2 2

记函数 h ( t ) ? ln t ?

2 ( t ? 1) t ?1

,则 h '( t ) ?

1 t

( t ? 1)

2

t ( t ? 1)

? 0 ,???????12 分

所以当 0 ? t ? 1 时, h ( t ) ? h (1) ? 0 ,即方程 ln t ?

2 ( t ? 1) t ?1

在区间 ( 0 ,1) 上无解,

即函数 g ( x ) 不是“中值平衡函数”.?????????????????????14 分


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