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尚义县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

尚义县民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. “1<m<3”是“方程 A.充分不必要条件 C.充要条件 + =1 表示椭圆”的( )

姓名__________

分数__________

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

2. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x),当 0<x≤1 时,f(x)=2x,则 f (2015)=( A.2 B.﹣2 C.﹣ D.

3. 已知函数 f ? x ? 1? ? A.1 A、 28 ? 6 5 C、 56 ? 12 5

2x ? 1 ,则曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1 ,f ?1?? 处切线的斜率为( x ?1 B. ?1 C.2

) D. ?2

4. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 B、 30 ? 6 5 D、 60 ? 12 5 ) C.1?{0,1} D.{1}∈{0,1}

5. 下列关系正确的是( A.1?{0,1}

B.1∈{0,1}

2 2 6. 已知函数 f ( x) ? 3x ? 2ax ? a ,其中 a ? (0,3] , f ( x) ? 0 对任意的 x ?? ?1,1? 都成立,在 1

和两数间插入 2015 个数,使之与 1,构成等比数列,设插入的这 2015 个数的成绩为 T ,则 T ? ( A. 2
2015

) D. 2
2015 2

B. 3

2015

C. 3

2015 2

7. 如图所示为某几何体的正视图和侧视图,则该几何体体积的所有可能取值的集合是(



A.{ ,

} B.{ , ,

} C.{V| ≤V≤ }

D.{V|0<V≤ }

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8. 已知向量 =(1,1,0), =(﹣1,0,2)且 k + 与 2 ﹣ 互相垂直,则 k 的值是( A.1 B. C. D. ) D.3 ) D.b<0 )



9. 抛物线 y=﹣x2 上的点到直线 4x+3y﹣8=0 距离的最小值是( A. B. C.

10.若函数 y=x2+bx+3 在[0,+∞)上是单调函数,则有( A.b≥0 B.b≤0 C.b>0

11.函数 y ? A sin(? x ? ? ) 在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为( A. y ? 2sin(2 x ?

?
3

)

B. y ? 2sin(2 x ?

2? ) 3

C. y ? 2 sin( ?

x 2

?

) D. y ? 2sin(2 x ? ) 3 3

?

12.在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好 是 A 样本数据都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 )

二、填空题
13.无论 m 为何值时,直线(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0 恒过定点 14.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是____. 15.如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由 块木块堆成. .

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16.不等式

的解为



17.已知定义域为(0,+∞)的函数 f(x)满足:(1)对任意 x∈(0,+∞),恒有 f(2x)=2f(x)成立; (2)当 x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.给出如下结论: ①对任意 m∈Z,有 f(2m)=0;②函数 f(x)的值域为[0,+∞);③存在 n∈Z,使得 f(2n+1)=9;④“函 数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Z,使得(a,b)?(2 ,2 结论的序号是 . .
k k+1

)”;其中所有正确

18.双曲线 x2﹣my2=1(m>0)的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 的值为

三、解答题
19.已知圆 C 经过点 A(﹣2,0),B(0,2),且圆心在直线 y=x 上,且,又直线 l:y=kx+1 与圆 C 相交于 P、Q 两点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若 ,求实数 k 的值; (Ⅲ)过点(0,1)作直线 l1 与 l 垂直,且直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点,求四边形 PMQN 面积的最大值.

20.已知正项等差{an},lga1,lga2,lga4 成等差数列,又 bn= (1)求证{bn}为等比数列. (2)若{bn}前 3 项的和等于 ,求{an}的首项 a1 和公差 d.

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21.函数 f(x)=sin2x+

sinxcosx.

(1)求函数 f(x)的递增区间; (2)当 x∈[0, ]时,求 f(x)的值域.

22.(本题满分 15 分) 如图 AB 是圆 O 的直径, C 是弧 AB 上一点, VC 垂直圆 O 所在平面, D , E 分别为 VA , VC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 VBC ; (2)若 VC ? CA ? 6 ,圆 O 的半径为 5 ,求 BE 与平面 BCD 所成角的正弦值.

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系,线面等基础知识,意在考查空间想象能力和运算求解能力.

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23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 ,点 F1 , F2 为其左、右焦点,直线的参数方程为 3cos ? ? 4sin 2 ?
2

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (为参数, t ? R ). ? ?y ? 2 t ? ? 2 (1)求直线和曲线 C 的普通方程;
(2)求点 F1 , F2 到直线的距离之和.

24.(本小题满分 13 分)

1 1 ,数列 {an } 满足: a1 ? , an?1 ? f (an ), n ? N ? . 2 1? x ? a ? ?1 ? (Ⅰ)若 ?1 , ?2 为方程 f ( x) ? x 的两个不相等的实根,证明:数列 ? n ? 为等比数列; a ? ? ? n 2? ? (Ⅱ)证明:存在实数 m ,使得对 ?n ? N , a2n?1 ? a2n?1 ? m ? a2n?2 ? a2n .
设 f ( x) ? )

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尚义县民族中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:若方程 + =1 表示椭圆,

则满足

,即



即 1<m<3 且 m≠2,此时 1<m<3 成立,即必要性成立, 当 m=2 时,满足 1<m<3,但此时方程 分性不成立 故“1<m<3”是“方程 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键. + =1 表示椭圆”的必要不充分条件, + =1 等价为 为圆,不是椭圆,不满足条件.即充

2. 【答案】B 【解析】解:因为 f(x+3)=f(x),函数 f(x)的周期是 3, 所以 f(2015)=f(3×672﹣1)=f(﹣1); 又因为函数 f(x)是定义 R 上的奇函数,当 0<x≤1 时,f(x)=2 , 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2, 即 f(2015)=﹣2. 故选:B. 【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用,属于基础题,解答此题的关键是分析出 f(2015)=f (3×672﹣1)=f(﹣1). 3. 【答案】A 【解析】
x

2x ? 1 1 1 ? 2 ? ,则 f ' ? x ? ? 2 ,所以 f ' ?1? ? 1 . x x x 考点:1、复合函数;2、导数的几何意义.
试题分析:由已知得 f ? x ? ? 4. 【答案】B

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【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥, 所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。 利用垂直关系和三角形面积公式,可得:

S底 ? 10, S后 ? 10, S右 ? 10, S左 ? 6 5 ,
因此该几何体表面积 S ? 30 ? 6 5 ,故选 B. 5. 【答案】B 【解析】解:由于 1∈{0,1},{1}?{0,1}, 故选:B 【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断,其中正确理解集合元素与集合关系的实质,即元素满足 集合中元素的性质,是解答本题的关键. 6. 【答案】C 【解析】 试题分析:因为函数 f ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a 2 , f ( x) ? 0 对任意的 x ?? ?1,1? 都成立,所以 ?

? ? f ? ?1? ? 0 ,解得 ? ? f ?1? ? 0
2015

a ? 3 或 a ? ?1 ,又因为 a ? (0,3] ,所以 a ? 3 ,在和两数间插入 a1, a2 ...a2015 共 2015 个数,使之与,构成等
2 T ? a1 a2 ...a2015 , 比数列, 两式相乘, 根据等比数列的性质得 T ? ? a1a2015 ? T ? a2015 a2 ...a1 ,

? ?1? 3?

2015



T ?3

2015 2

,故选 C.

考点:1、不等式恒成立问题;2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 7. 【答案】D 【解析】解:根据几何体的正视图和侧视图,得;
2 当该几何体的俯视图是边长为 1 的正方形时,它是高为 2 的四棱锥,其体积最大,为 ×1 ×2= ;

当该几何体的俯视图为一线段时,它的底面积为 0,此时不表示几何体; 所以,该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0<V≤ }. 故选:D. 【点评】 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题, 解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么, 是基础题目. 8. 【答案】D 【解析】解:∵ =(1,1,0), =(﹣1,0,2), ∴k + =k(1,1,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2),
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2 ﹣ =2(1,1,0)﹣(﹣1,0,2)=(3,2,﹣2), 又 k + 与 2 ﹣ 互相垂直, ∴3(k﹣1)+2k﹣4=0,解得:k= . 故选:D. 【点评】本题考查空间向量的数量积运算,考查向量数量积的坐标表示,是基础的计算题. 9. 【答案】A 【解析】解:由
2 ,得 3x ﹣4x+8=0.

2 △=(﹣4) ﹣4×3×8=﹣80<0.

所以直线 4x+3y﹣8=0 与抛物线 y=﹣x 无交点. 设与直线 4x+3y﹣8=0 平行的直线为 4x+3y+m=0 联立 ,得 3x ﹣4x﹣m=0.
2

2

2 由△=(﹣4) ﹣4×3(﹣m)=16+12m=0,

得 m=﹣ .
2 所以与直线 4x+3y﹣8=0 平行且与抛物线 y=﹣x 相切的直线方程为 4x+3y﹣ =0.

所以抛物线 y=﹣x 上的一点到直线 4x+3y﹣8=0 的距离的最小值是 故选:A.

2

= .

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了数学转化思想方法,训练了两条平行线间的距离公式,是 中档题. 10.【答案】A
2 【解析】解:抛物线 f(x)=x +bx+3 开口向上,

以直线 x=﹣ 为对称轴,
2 若函数 y=x +bx+3 在[0,+∞)上单调递增函数,

则﹣ ≤0,解得:b≥0, 故选:A. 【点评】本题考查二次函数的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

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11.【答案】B 【解析】

考点:三角函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质. 12.【答案】D 【解析】解:A 样本数据:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88. B 样本数据 84,86,86,88,88,88,90,90,90,90 众数分别为 88,90,不相等,A 错. 平均数 86,88 不相等,B 错. 中位数分别为 86,88,不相等,C 错 A 样本方差 S2= B 样本方差 S2= 故选 D. 【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义,属于基础题. [(82﹣86)2+2×(84﹣86)2+3×(86﹣86)2+4×(88﹣86)2]=4,标准差 S=2, [(84﹣88)2+2×(86﹣88)2+3×(88﹣88)2+4×(90﹣88)2]=4,标准差 S=2,D 正确

二、填空题
13.【答案】 (3,1) . 【解析】解:由(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0,得 即(2x+y﹣7)m+(x+y﹣4)=0, ∴2x+y﹣7=0,① 且 x+y﹣4=0,② ∴一次函数(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0 的图象就和 m 无关,恒过一定点. 由①②,解得解之得:x=3 y=1 所以过定点(3,1); 故答案为:(3,1) 14.【答案】 27 【解析】由程序框图可知:

S

0 1

1 2

6 3

27 4

n

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4 ? 3 符合,跳出循环.
15.【答案】 4 【解析】解:由三视图可以看出此几何体由两排两列,前排有一个方块,后排左面一列有两个木块右面一列有 一个, 故后排有三个,故此几何体共有 4 个木块组成. 故答案为:4.

16.【答案】 {x|x>1 或 x<0} .

【解析】解: 即 即 x(x﹣1)>0 解得 x>1 或 x<0 故答案为{x|x>1 或 x<0} 【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法.注意不等式的解 以解集形式写出 17.【答案】 ①②④ . 【解析】解:∵x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x. ∴f(2)=0.f(1)= f(2)=0. ∵f(2x)=2f(x),
k k ∴f(2 x)=2 f(x).

①f(2m)=f(2?2m﹣1)=2f(2m﹣1)=…=2m﹣1f(2)=0,故正确; ②设 x∈(2,4]时,则 x∈(1,2],∴f(x)=2f( )=4﹣x≥0. 若 x∈(4,8]时,则 x∈(2,4],∴f(x)=2f( )=8﹣x≥0. …

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m m+1 一般地当 x∈(2 ,2 ),



∈(1,2],f(x)=2

m+1

﹣x≥0,

从而 f(x)∈[0,+∞),故正确; ③由②知当 x∈(2m,2m+1),f(x)=2m+1﹣x≥0,
n n+1 n n n ∴f(2 +1)=2 ﹣2 ﹣1=2 ﹣1,假设存在 n 使 f(2 +1)=9, n n 即 2 ﹣1=9,∴2 =10,

∵n∈Z,
n ∴2 =10 不成立,故错误;

④由②知当 x∈(2k,2k+1)时,f(x)=2k+1﹣x 单调递减,为减函数, ∴若(a,b)?(2 ,2 故答案为:①②④. 18.【答案】 4 .
k k+1

)”,则“函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”,故正确.

2 2 2 【解析】解:双曲线 x ﹣my =1 化为 x ﹣

=1,

2 2 ∴a =1,b = ,

∵实轴长是虚轴长的 2 倍,
2 2 ∴2a=2×2b,化为 a =4b ,即 1= ,

解得 m=4. 故答案为:4. 【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键.

三、解答题
19.【答案】 【解析】 【分析】(I)设圆心 C(a,a),半径为 r,利用|AC|=|BC|=r,建立方程,从而可求圆 C 的方程; (II)方法一:利用向量的数量积公式,求得∠POQ=120°,计算圆心到直线 l:kx﹣y+1=0 的距离,即可求得 实数 k 的值; 方法二:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线方程代入圆的方程,利用韦达定理及 可求得 k 的值; =x1?x2+y1?y2=,即

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(III)方法一:设圆心 O 到直线 l,l1 的距离分别为 d,d1,求得

,根据垂径定理和勾股定理得到,

,再利用基本不等式,可求四边形 PMQN 面积的最大值; 方法二: 当直线 l 的斜率 k=0 时, 则 l1 的斜率不存在, 可求面积 S; 当直线 l 的斜率 k≠0 时, 设 则
2 2



,代入消元得(1+k )x +2kx﹣3=0,求得|PQ|,|MN|,再利用基本不等式,可求四边形 PMQN

面积的最大值. 【解答】解:(I)设圆心 C(a,a),半径为 r. 因为圆经过点 A(﹣2,0),B(0,2),所以|AC|=|BC|=r, 所以 解得 a=0,r=2,…(2 分) 2 2 所以圆 C 的方程是 x +y =4.…(4 分) (II)方法一:因为 所以 ,∠POQ=120°,…(7 分)

,…(6 分)

所以圆心到直线 l:kx﹣y+1=0 的距离 d=1,…(8 分) 又 ,所以 k=0.…(9 分)

方法二:设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 因为 ,代入消元得(1+k )x +2kx﹣3=0.…(6 分)
2 2

由题意得:

…(7 分)

因为 又

=x1?x2+y1?y2=﹣2, , ,…(8 分)
2

所以 x1?x2+y1?y2=
2

化简得:﹣5k ﹣3+3(k +1)=0, 2 所以 k =0,即 k=0.…(9 分) (III)方法一:设圆心 O 到直线 l,l1 的距离分别为 d,d1,四边形 PMQN 的面积为 S. 因为直线 l,l1 都经过点(0,1),且 l⊥l1,根据勾股定理,有 ,…(10 分) 又根据垂径定理和勾股定理得到, 而 ,即 ,…(11 分)

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…(13 分)

当且仅当 d1=d 时,等号成立,所以 S 的最大值为 7.…(14 分) 方法二:设四边形 PMQN 的面积为 S. 当直线 l 的斜率 k=0 时,则 l1 的斜率不存在,此时 当直线 l 的斜率 k≠0 时,设 则 所以 ,代入消元得(1+k )x +2kx﹣3=0
2 2

.…(10 分)

同理得到

.…(11 分)

=

…(12 分)

因为



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所以

,…(13 分)

当且仅当 k=± 1 时,等号成立,所以 S 的最大值为 7.…(14 分) 20.【答案】 【解析】(1)证明:设{an}中首项为 a1,公差为 d. ∵lga1,lga2,lga4 成等差数列,∴2lga2=lga1+lga4,
2 ∴a2 =a1a4. 2 即(a1+d) =a1(a1+3d),∴d=0 或 d=a1.

当 d=0 时,an=a1,bn= 当 d=a1 时,an=na1,bn=

= =

,∴ ,∴

=1,∴{bn}为等比数列; = ,∴{bn}为等比数列.

综上可知{bn}为等比数列. (2)解:当 d=0 时,S3= 当 d=a1 时,S3= = = ,所以 a1= ;

,故 a1=3=d.

【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用,涉及数列的公式多,复杂多样, 故应多下点功夫记忆. 21.【答案】 【解析】解:(1) 令 f(x)的递增区间为 (2)∵ ∴ ∴f(x)的值域是 ,∴ ,∴ …(12 分) 解得 …(6 分) …(8 分) …(10 分) … …(2 分)

【点评】本题考查两角和与差的三角函数,二倍角公式的应用,三角函数的最值,考查计算能力.

3 146 . 146 【解析】(1)∵ D , E 分别为 VA , VC 的中点,∴ DE / / AC ,…………2 分
22.【答案】(1)详见解析;(2)

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∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? BC ,…………4 分 又∵ VC ? 圆 O ,∴ VC ? AC ,…………6 分

BC ? C ,∴ DE ? 面VBC ;…………7 分 1 1 (2)设点 E 平面 BCD 的距离为 d ,由 VD?BCE ? VE ?BCD 得 ? DE ? S ?BCE ? ? d ? S ?BCD ,解得 3 3 3 2 ,…………12 分 设 BE 与平面 BCD 所成角为 ? ,∵ BC ? AB2 ? AC 2 ? 8 , d? 2 d 3 146 .…………15 分 ? BE ? BC 2 ? CE 2 ? 73 ,则 sin ? ? BE 146 x2 y 2 ? ? 1 ;(2) 2 2 . 23.【答案】(1)直线的普通方程为 y ? x ? 2 ,曲线 C 的普通方程为 4 3
∴ DE ? BC , DE ? VC ,又∵ VC 【解析】 试题分析:(1)由公式 ?

? ? cos ? ? x 可化极坐标方程为直角坐标方程,利用消参法可化参数方程为普通方程; ? ? sin ? ? y

考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,点到直线的距离公式. 24.【答案】 【解析】解:证明: f ( x) ? x ? x ? x ? 1 ? 0 ,∴ ?
2
2 2 ? ? ??1 ? ?1 ? 1 ? 0 ?1 ? ?1 ? ?1 ,∴ . ? 2 2 ? ? ? ? 1 ? 0 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 2

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1 ? ?1 an ?1 ? ?1 1 ? an 1 ? ?1 ? ?1an ?12 ? ?1an ?1 an ? ?1 ? ? ? 2 ? ? ∵ , (3 分) 1 an ?1 ? ?2 1 ? ? ? ? a ? ? ? a ?2 an ? ?2 2 2 n 2 2 n ? ?2 1 ? an a1 ? ?1 ? ? 0, 1 ? 0, a1 ? ?2 ?2
∴数列 ?

? an ? ?1 ? ? 为等比数列. (4 分) ? an ? ?2 ?

5 ?1 ,则 f (m) ? m . 2 1 2 3 1 由 a1 ? 及 an ?1 ? 得 a2 ? , a3 ? ,∴ 0 ? a1 ? a3 ? m . 2 3 5 1 ? an
(Ⅱ)证明:设 m ? ∵ f ( x ) 在 (0, ??) 上递减,∴ f (a1 ) ? f (a3 ) ? f (m) ,∴ a2 ? a4 ? m .∴ a1 ? a3 ? m ? a4 ? a2 ,(8 分) 下面用数学归纳法证明:当 n ? N 时, a2n?1 ? a2n?1 ? m ? a2n?2 ? a2n . ①当 n ? 1 时,命题成立. (9 分) ②假设当 n ? k 时命题成立,即 a2k ?1 ? a2k ?1 ? m ? a2k ?2 ? a2k ,那么 由 f ( x ) 在 (0, ??) 上递减得 f (a2k ?1 ) ? f (a2k ?1 ) ? f (m) ? f (a2k ?2 ) ? f (a2k ) ∴ a2k ? a2k ?2 ? m ? a2k ?3 ? a2k ?1 由 m ? a2k ?3 ? a2 k ?1 得 f (m) ? f (a2k ?3 ) ? f (a2 k ?1 ) ,∴ m ? a2k ?4 ? a2k ?2 , ∴当 n ? k ? 1 时命题也成立, (12 分) 由①②知,对一切 n ? N 命题成立,即存在实数 m ,使得对 ?n ? N , a2n?1 ? a2n?1 ? m ? a2n?2 ? a2n .
? ? ?

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