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福建省厦门双十中学2016届高三上学期期中考试 数学理


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双十中学 2015-2016 学年高三上(数学理)半期考试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 2 1.已知集合 M={y|y=x +1,x?R},集合 N={y|y=ln(x+1)+1,x?R},则 M∩N 等于( ) A.{(0,1)} A.充分 B.(0,1) B. 充分非必要 C.[-1,+∞) )条件 C. 必要 D. 必要非充分 ) D.[1,+∞)

2.命题“若 ?p 则 q”是真命题,则 p 是 ?q 的(

? ? ? ? ? ? 0 3. 已知 a, b 的夹角是 120 ,且 a ? (?2, ?4), b ? 5 ,则 a 在 b 上的投影等于(
A. -

5 2

B. - 5
2 2

C.2 5

D.

5 2

4.已知 p:存在 x∈R,mx +1≤0,q:任意 x∈R,x +mx+1>0,若 p 且 q 为真命题,则实数 m 的取值范 围是( ) A.m﹤2 B.-2﹤m<2 C.0﹤m﹤2
2 2 2

D.-2<m<0

5. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a +c -b )tan B= 3ac,则角 B 的值为 ( A. )

5? 或 6 ??? ? 6 ??? ? 6 6. 已 知 点 C 在 以 O 为 圆 心 的 圆 弧 AB 上 运 动 ( 含 端 点 ) . OA ? OB ? 0 , ???? ??? ? ??? ? x ) OC ? x OA ? 2 yOB( x, y ? R) ,则 ? y 的取值范围是( 2 2 2 1 2 2 1 1 1 A. [B. [ , C. [- , ] D. [, ] ] , ] 2 2 2 2 2 2 2 2 7. 若函数 f ( x) ? 3 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 为奇函数, 将函数 f(x)图像上所有点横

?

B.

π 3

C.

π 2π 或 3 3

D.

?

坐标变为原来的一半,纵坐标不变;再向右平移 是( A. )

?
8

个单位得到函数 g(x), 则 g(x)的解析式可以

g( x) ? 2sin(2 x ? ) 4 1 ? D. g( x) ? 2sin( x ? ) 2 16

?

B.

g( x) ? 2sin(2 x ? ) 8

?

C.

1 ? g( x) ? 2sin( x ? ) 2 4

8. 已知如图(1)的图象对应的函数为 y=f(x), 给出①y=f(|x|); ②y =|f(x)|-a;③y=-f(|x|);④y=f(-|x|). ⑤ y ? f ( x ) -a ,则如图(2) 的图象对应的函数 可能 是五个式子中的 .. ( A.④ ) B. ② ④ C. ①②
·1·

D. ②③④⑤

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9. 已知定义域为 R 的奇函数 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 若

f ( x) ?0, x

1 1 1 1 ) f ( ) ,b ? ? 2 f (? 2) ,c ? (ln ) f (ln ) ,则 a, b, c 的大小关系正确的是( 2 2 2 2 A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. c ? a ? b 3 3 10. 若函数 f(x)(x∈R)关于 对称,且 f(x)=-f(x+ )则下列结论: (1)f(x)的最小正周期 (- , 0) 4 2 a?
是 3, (2) f(x)是偶函数, (3)f(x) 关于 x=

3 9 对称, (4)f(x)关于 对称,正确的有( ( , 0) 2 4



A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 11.如图, 已知 l1⊥l2, 圆心在 l1 上, 半径为 1 m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A, 圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y= sin 2 单位:s)的函数 y=f(t)的图象大致为(

x ,则 y 与时间 t(0≤t≤1, 2

)

12.



函 )



? 2x ? a ? x ? 1? ? f ? x? ? ? 要使 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是( ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥ 1.

A.

1 ? a ? 1或 a ? 2 2

B.

1 ? a ? 1 2

C.

a ? 2

D.

1 ? a ? 2 2

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) . π? 1 ? 13.若 tan?θ + ?= ,则 sin 2θ =________. 4? 2 ? 14. 设等差数列{ a n }前 n 项和为 Sn, 其中 C<0,则 S n 在 n 等于_______ a 3 ? a 8 +a13 =C, a 4 ? a14 ? 2C , 时取到最大值. 15. 已 知 f ( x ) ? x ? 4 x ? 3 在 [0, a ] 的 值 域 是 [?1,3] , 实 数 a 的 取 值 范 围 记 为 集 合 A ,
2

a g( x) ? cos 2 x ? sin x , 记 g( x) 的最大值为 g(a) .若 g(a) ? b 对任意实数 a∈A 恒成立,则实数 b 2
的取值范围是________.

·2·

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16.若函数 f(x)=( 1-

1 2 2 x )( x ? ax ? b) 的图象关于直线 x=-1 对称,则 f(x)的最大值为________. 4

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17(以下两题选出一题作答,两题都答只给一题的分数) (本题 10 分) (选 1). 已知直线 l 的参数方程为 ?
? ? ?x=4cos θ , ? x ? a ? 2t (t 为参数),圆 C 的参数方程为? (θ ?y=4sin θ ? ? ? y ? 2 3t

为参数). (1)当 a=0 时,求直线 l 和圆 C 交点的极坐标(ρ ,θ ) (其中ρ ﹥0,0<θ <2π ) ; (2)若直线 l 与圆 C 交于 P、Q 两点,P、Q 间的劣弧长是

8? ,求直线 l 的极坐标方程. 3

1 2 17(选 2). (1)若不等式|2x-1|+|x+2|≥m + m+2 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 2 围; 1 1 1 2 (2)设 a,b,c 大于 0,且 1≤ + + ≤ (|2x-1|+|x+2|)对任意实数 x 恒成立, a 2b 3c 5 求证:a+2b+3c≥9.

18(本题 12 分) 已知函数

f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ?
?
2
.

?
2

) 的图象经过点(0, ),

1 2

且相邻两条对称轴间的距离为

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式及其单调递增区间; (Ⅱ)在 ? ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f ( 求 a 的值.

A 1 )- cos A= ,且 bc ? 1, b ? c ? 3 , 2 2

19(本题 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,满足 2 S n ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1, , a1 =1 . (n ? N +)
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an (n ? N ? ) ,求数列 ?an ? 的通项公式; n 2 (2) 设数列 ?bn ? 满足 bn ? n(an ? 2n ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
(1) 设 c n ?

20(本题 12 分) 已知 AB1 ⊥ AB2 ,| AB1 |=3,| AB2 |=4, AP =

????

???? ?

????

???? ?

??? ?

3 ???? ???? ? ??? ? ??? ? (1)若 B1、P、B2 三点共线,求| AP |的最小值,并用 AB1 、 AB2 表示 AP ; ???? ???? ? ??? ? (2)设 Q 是 AB1B2 的内心,若| QP |≤2,求 B1 P ? B2 P 的取值范围.

? ? ???? ? ???? AB1 + AB2 .
4

21(本题 12 分)某山体外围有两条相互垂直的直线型公路,为开发山体资源,修建一条连接两条公 路沿山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为 l 1, l2 ,山区边界曲线为 C,计划修建的公路为

l2 的距离分别为 5 千米和 80 千米,点 N 到 l1 的距 L.如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l 1, l2 所在的直线分别为 x、y 轴建立平面直角 离为 100 千米,以 l 1,
坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 y=

a 模型(其中 a 为常数). x

(1)设公路 L 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 L 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 L 的长度最短?求出最短长度. (2)在公路长度最短的同时要求美观,需在公路 L 与山体之间修 建绿化带(如图阴影部分) ,求绿化带的面积.
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22(本题 12 分)设函数

f ( x) ? e mx -mx 2 .

(1)当 m=2 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线 L1 的方程; (2)当 m>0 时,要使 f ( x) ? 1 对一切实数 x≥0 恒成立,求实数 m 的取值范围;

(3)求证:

?e
i ?1

n

? i ( i ?1)

?

1 1 1 ? ? e 3 2n ? 1

密 封 线 内 勿 答 题 班 级

双十中学 2015-2016 学年高三上(数学理)半期考答卷 (说明:大题的答案必须写在虚线内,否则无效;必须用黑色签字笔书写) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) . 13、_______________________14、_______________________ 15、_______________________16、_______________________

姓 名

·5·

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17.(请写清要选作的题号) (以下两题选出一题作答,两题都答只给一题的分数) (本题 10 分)

.

. 18. (本题 12 分)

·6·

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19. (本题 12 分)

20. (本题 12 分)

·7·

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21. (本题 12 分)

22. (本题 12 分)

·8·

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双十中学 2015-2016 学年高三上(数学理)半期考参考答案 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) . 1 D 2 C 3 A 4 D 5 C 6 B 7 A 8 A 9 B 10 D 11 B 12 A

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) . 13. ? ;

3 5

14. 7;
2

15.(-?, ] ;
2

5 4

16. 4

17 (选 1) 解: (1) 圆的直角坐标方程是 x ? y ? 16 , 当 a=0 时, 直线 l:y ? - 3x , ??.1 分, ??2 分 代 入

x 2 ? y 2 ? 16
·9·



x=

±

2,

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P (2, ?2 3) ,Q (?2, 2 3) ?????????????????????.3 分 则 直 线 l 和 圆 C 交 点 的 极 坐 标 分 别 是

2? 5? (4, ) , (4, ) ??????????????????? ?.5 分 3 3 8? 2? (2) 由于 P、 Q 间的劣弧长是 , 则圆心角 , ??????????????????????.6 3 3
分 圆 心 C 到 直 线 的 距 离 d 是 2 , 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 是 :

3x+y- 3a ? 0 ,?????????????.7 分

d?
分 直

3a 2

? 2, a??

4 , 直线直角坐标方程是: 3x+y+4 ? 0 或 3x+y-4 ? 0 , ???????.8 3

线

l















3? cos? +? sin? +4 ? 0



3? cos? +? sin? -4 ? 0 ????????????.10 分
即 2 ? cos(? ? 给满分) 17

?

)+4 ? 0 或 2 ? cos(? ? )-4 ? 0 (写成 2 ? cos(? ? ) ? 4 ? 0 或 2 ? sin(? ? ) ? 4 ? 0 6 6 6 3
: |2x - 1| + |x + 2| =

?

?

?

? 1 ?3-x∈???5 ,5?,-2<x≤ , 2 ? 2 ? ? 5 1 ? ?3x+1∈???2,+∞???,x>2,


( 选 2 ) . 解 -1-3x∈[5,+∞),x≤-2,

????????????.3 分

1? 5 1 5 ? 2 从而|2x-1|+|x+2|≥ , 解不等式 m + m+2≤ 得 m∈?-1, ?. ?????? .4 分, 2? ?????.5 2 2 2 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)证明 由(1)知 + + ≤1, 又 1≤ + + , 则 + + =1, 且 a, b, c 大于 0, ?????6 a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c 分

?1 1 1 ? ?2b a ? ?3c a ? ?3c 2b? a+2b+3c=(a+2b+3c)? + + ?=3+? + ?+? + ?+? + ?????????.8 ?a 2b 3c? ? a 2b? ? a 3c? ?2b 3c?

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≥3+2 分

2ab +2 2ab

3c

a

· +2 3c

a

3c 2b · =9. ????????. ????????????9 2b 3c

1 当且仅当 a=2b=3c= 时, 等号成立. 因此 a+2b+3c≥9????????????????10 3 分 18 解: (Ⅰ) 由 f ( x) 的图象过点 (0, ) , 得 sin ? ? 分 由相邻两条对称轴间的距离为

1 2

? 1 ? 又0 ?? ? , ?? ? ????????1 2 2 6

?
2

,知 f ( x) 的周期 T= ? ??????????????.2 分

则 分

2?

?

? ? ,?? ? 2 ?????????3 分? f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ??????????4

令 2 k? ? 得 k? ? 分 ( Ⅱ

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,??????????????????..?.5 分

?

3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z ? f ( x) 的递增区间为 [k? ?
A 1 )- cos A= 2 2

?

, k? ? ], k ? Z ??????.6 3 6

?





f(







? 1 sin( A ? ) ? cos A ? 6 2



3 1 1 sin A ? cos A ? ??????7 分 2 2 2
化 简 得 ,

? 0 ? A ? ? ,?? ?A?

?
6

? A?

?
6

?

?
6

?

?
6

,即 A ?

?
3

5? ???????9 分 6

? 1 sin( A ? ) ? 6 2

?????8



?????????.10 分 又 bc=1,b+c=3,据余弦定理可得 ??????.11 分

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 3bc ? 6 ? a ? 6 ??????..12 分

19.解: (1) 2 S n ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1, n ? N ? ,当 n ? 2 时, 2 S n ?1 ? an ? 2n ? 1 ,两式相减:

2an ? 2( S n ? S n ?1 ) ? an ?1 ? an ? 2n ?1 ? 2n (n ? 2) ,
即 an ?1 ? 3an ? 2n (n ? 2) ,又 a2 =5 也满足????????????????.2 分
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所以 分

an ?1 3 an 1 3 1 ? ? (n ? N ? ) ,则 c n ?1 ? cn ? (n ? 1) ???????????????.3 n ?1 n 2 22 2 2 2

c n ?1 ? 1 ?


3 3 3 3 又 c1 ? 1 ? , 所以 {cn ? 1} 是首项为 , 公比为 的等比数列, ??????4 (cn ? 1) , 2 2 2 2 3 2 3 2
∴ an ? 3n ? 2n ( n ? 1) .???????.6

∴ cn ? 1 ? ( ) n , ???????.5 分 cn ? ( ) n ? 1 , 分 (3) bn ? n3n ,.???.7 分

则 Tn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? n ? 3n ,

3Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ? ? n ? 3n ?1 ,.???????????????.9 分
两式相减得: -2Tn ? 3+32 ? 33 ? 34 ? ? 3n ? n ? 3n ?1 ,.???????????????.10 分

Tn ?

3 2n ? 1 n ?1 ? ? 3 (n ? N ? ) .????????????????????.12 分 4 4 ???? ???? ? ???? ???? ? ? ? 20.解: (1)B1、P、B2 三点共线,则 + =1,??? 1 分, 又 AB1 ⊥ AB2 ,| AB1 |=3,| AB2 3 4

|=4, 所以| AP | = 当 ?=

??? ?

2

? ? 2 ???? 2 ? 2 ???? 25 9 AB1 + AB2 2=λ 2+μ 2= ? 2 - ? +9 ,?????????????.3 分
9 16
16 2

??? ? 36 12 时,| AP |min= ,??????????????????.5 分 25 5 ? ??? ? 16 ???? 48 9 ???? AB1 + AB2 ??????????????????.6 分 此时 ? = ,所以 AP = 25 25 25 ??? ? 法二: 因为 B1、 P、 B2 三点共线, 所以当 AP⊥B1B2 时, | AP |最小, ?????????????.2
分 又△A B1B2 面积是 6, 所以| AP |min= 分 (2)以 A 为原点,AB1、AB2 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系,则 Q(1,1),?????.7 分 P (? -1)+(? -1) ? 4 , 令 ? -1=r cos ? , ? -1 ? r sin ? , 0 ? r ? 2 ,??. ???? (?,?) | QP | =
2

??? ?

12 .????.4 分, 5

? ??? ? 16 ???? 9 ???? AB1 + AB2 ?????.6 AP = 25 25

??? ?

2

2

8分

???? ???? ? B1 P ? (? ? 3, ? ) , B2 P ? (? , ? ? 4)
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???? ???? ? B1 P ? B2 P = ? 2 +? 2 ? 3? -4? = r 2 ? r cos ? ? 2r sin ? ? 5 ,?????. ????9 分
= r 2 ? 5r sin (? +?) ? 5 ,其中 tan ? ?

1 2

又 r 2 ? 5r sin (? +?) ? 5 ? r 2 + 5r ? 5 ? 2 5-1 ,?????. ??????10 分

r 2 ? 5r sin (? +?) ? 5 ? r 2 - 5r ? 5=(r 所以 B1 P ? B2 P ? [?

5 2 25 25 )- ? - ?????. ???11 分 2 4 4

25 , -1 ? 2 5] ?????. ?????????. ????12 分 4 ???? ???? ? 2 2 3 25 法二: B1 P ? B2 P = ? +? ? 3? -4? = (? ? ) 2 +(? ? 2) 2 ? ?????.8 分 2 4 3 3 2 2 转 化 为 圆(? -1 ) +(? -1) =4 内 的 点 到 点 ( , 2) 的 距 离 平 方 , ( , 2) 到 ( 1,1 ) 距 离 2 2
d=

???? ???? ?

5 ,?????.9 分 2
(d+r) =(
2

5 2

+2) =

2

21 +2 5 4

,



3 ( , 2) 2













3 ((? ? ) 2 +(? ? 2) 2) min ? 0 ?????. ???11 分 2 ???? ???? ? 25 则 B1 P ? B2 P ? [? , -1 ? 2 5] ?????. ?????????. ????12 分 4 400 21.解: (1)①由题意 M(5,80)则 a=400,y= ,N(100,4) ,定义域[5,100] ?????. 3 x


P(t,

400 400 400 800 ) y? ? ? 2 则公路 l 的方程: y ? ? 2 x ? ,?????????.. 4 分 t x t t

f (t ) ? (

800 2 ) ? (2t ) 2 (t∈[5,100]) ?????????.. ?????? 6 分 t

②A(0,

800 2 640000 800 ) ? (2t ) 2 = ? 4t 2 ? 3200 ,?????.. ?? ) ,B(2t,0) , f (t ) ? ( 2 t t t

7分 当且仅当 t=20∈[5,100]时等号成立,所以当 t 为 20 时, 公路 l 的长度最短长度是 3200 千米; ?? 8 分 (2)山体与 x=5,x=100 之间的面积为

?

100

5

400 dx ? 400 ln 20 ,???????????? 9 分 x
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山体与 L1、L2 围成的面积是

400 ? 400 ln 20 ,?????????????????? 10 分

L 与 y ,x 轴交点分别是 A(0,40) ,B(40,0) , ????? 11 公路与 L1、L2 围成的面积是 800, 分 所以绿化带的面积是 400 ? 400 ln 20 -800= 400 ln 20-400(平方公里) .????.. ?????? 12 分 答:当 t 为 20 时,公路 L 的长度最短,最短长度是 3200 千米;在公路长度最短时,需在公路 L 与 山体之间修建绿化带的面积是 400 ln 20-400 平方公里. 22.解(Ⅰ) f ( x) ? me
' mx

? 2mx . f ' (0) ? m =2,f(0)=1,

则切线 L1 方程:y=2x+1; ????.. ??????????? 2 分 (2) f ??( x) ? m e
2 mx

? 2m=m (me mx ? 2) ,令 f ??( x) ? 0 ,由 m>0, x0 ?

1 2 ln m m

①当 m ? 2 时,因为 x≥0,则 e mx ? 1 ,所以 me mx ? 2 ? m ? 2 ? 0 , f ??( x) ? 0 , 所 以 f ( x) 在 [0, ??) 单 调 递 增 , f ( x) ? f (0) =m>0 , 所 以 f ( x) 在 [0, ??) 单 调 递 增 ,
' ' '

f ( x) ? f (0) =1,
所以当 m ? 2 时满足条件;.. ??????????? 4 分 ②当

2 2 ? m ? 2 时,1≥ ln ? 0 , x0 ? (0, ??) , e m
'

1 2 2 ln ) = 2 ? 2 ln ? 0 , m m m 2 所 以 f ( x) 在 [0, ??) 单 调 递 增 , f ( x) ? f (0) =1 , 所 以 当 ?m?2 时 满 足 条 e
所以 f ( x) 在 (0, x 0 ) 单调递减,在 (x 0 , ??) 单调递增,所以 f ' ( x) ? f ' ( 件;?????????? 6 分 ③当 0 ? m ?
'

2 2 时, ln ? 1 , x0 ? (0, ??) , e m
'

(0, x 0 ) 单调递减, f ( x) =0 在 (0, x 0 ) 至多只有一个零点 x1 单调递增, 所以 f ( x) 在
又因为 f ' (

1 2 2 (0, x 0 ) 有且只有一个零点 x1 ln ) = 2 ? 2 ln ? 0 , f ' (0) =1>0, 所以 f ' ( x) =0 在 m m m
'

(0, x1 ) 时, f ( x) <0, 所以 f ( x) 在 (0, x1 ) 单调递减,所以存在 x 使得 f ( x) < f(0)=1,不满 则当 x ?
足条件.

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2 时, f ( x) ? 1 对一切 x≥0 的实数恒成立.????????8 分 e 1 1 1 (3) 令 m=1,由 (2) 得 e x >x 2 ? 1 , 则 x ? 2 令 x ? i (i ? 1)(i ? 2,3, ? n) ???????9 ? 2, e x ?1 x
终上所述:当 m ? 分 则e
? i ( i ?1)

?

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ???????10 分 2 2 2 (i ? i ) ? 1 (i ? i ) (2i ? 1) (2i -1) (2i ? 1)
2 ? i ( i ?1)

当 i ? 1 时, e

?

1 , e

当 i=2 时, e
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1 1 1 1 1 1 ? - ,当 i=3 时, e ? i (i ?1) ? ? ,当 i=n 时, e ? i (i ?1) ? ? 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1

所以

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