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高中数学必修4 教学设计:1.4.3《正切函数的性质与图象》教案(1)


第一章

三角函数

4-1.4.3 正切函数的性质与图象(1)
教学目的: 知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 2.用正切函数图象解决函数有关的性质; 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法; 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法; 德育目标:培养认真学习的精神; 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 授课类型:新授课 教学模式: 启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 问题:正弦曲线是怎样画的? 正切线? 练习正切线,画出下列各角的正切线:

. 下面我们来作正切函数和余切函数的图象. 二、讲解新课: 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?
? ?,k ? , z ?

? ? ?t a n ? R 且, ? x ?k ? ? x ? ? ? ? t axn ? x 2 ?
∴ ? 是 y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ?

? ?

?

? , k ? z ? 的一个周期。 2 ?

? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。
3.作 y ? tan x , x ? ? ?

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?

-1-

说明: (1)正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 。
y
y

3 ? ? 2

?? ?

?
2

O
0

? 2

?

x 3 ? x 2

(3)由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 x ? k? ? 无穷多支曲线组成的。 4.正切函数的性质 引导学生观察,共同获得: (1)定义域: ? x | x ? (2)值域:R 观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于

?
2

? k ? Z ? 所隔开的

? ?

?

? ? k? , k ? z ? ; 2 ?
?
2
? ??? ?k ? z ?, x ? ?? k? ? 时, tan x ?? 2

?

2 (3)周期性: T ? ? ;

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

?
2

?? ?? 。 ? k? 时, tan x ?

(4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数;

-2-

? ? ? (5)单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 2 ? ? 5.余切函数 y=cotx 的图象及其性质(要求学生了解) :

? ?? ?? ? ? 向左平移 个 y ? cot x ? tan? ? x ? ? ? tan? x ? ? ——即将 y ? tan x 的图象, 2 2? ?2 ? ?
单位,再以 x 轴为对称轴上下翻折,即得 y ? cot x 的图象

定义域: x ? R且x ? k? , k ? z 值域:R, 当 x ? ? k? , k? ? 周期: T ? ? 奇偶性:奇函数 单调性:在区间 ?k? , ?k ? 1?? ? 上函数单调递减 6.讲解范例: 例 1 比较 tan? ?

? ?

??

? ? ? ?k ? z 时 y ? 0 ,当 x ? ? k? ? , k? ?k ? z 时 y ? 0 2 2? ? ?

? 13? ? ? 17? ? ? 与 tan? ? ? 的大小 ? 4 ? ? 5 ?

解:? tan? ?

? 2? ? 13? ? ? 17? ? ? ? ? tan , tan? ? ? ? ? tan , 4 5 ? 4 ? ? 5 ?
? 2? ? ?? , y ? tan x在? 0, ? 内单调递增, 5 ? 2? 2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ? ? ?

又: 0 ?

?
4

? tan

?
4

? tan

例 2 讨论函数 y ? tan? x ?

??

? 的性质 4?

-3-

略解:定义域: ? x | x ? R且x ? k? ? 值域:R 单调性:在 ? k? ?

? ?

?

? , k ? z? 4 ?

奇偶性:非奇非偶函数

? ?

3? ?? , k? ? ? 上是增函数 4 4?

图象:可看作是 y ? tan x 的图象向左平移 例 3 求函数 y=tan2x 的定义域 解:由 2x≠kπ+

? 单位 4

? ,(k∈Z) 2 k? ? 得 x≠ + ,(k∈Z) 2 4
∴y=tan2x 的定义域为: {x|x∈R 且 x≠

k? ? + ,k∈Z} 2 4

例 4 观察正切曲线写出满足下列条件的 x 的值的范围:tanx>0 解:画出 y=tanx 在(- 为:0<x<

? 2

? ? , )上的图象,不难看出在此区间上满足 tanx>0 的 x 的范围 2 2 ? ? 上满足的 x 的取值范围为(kπ,kπ+ )(k∈Z) 2 2

结合周期性,可知在 x∈R,且 x≠kπ+

例 5 不通过求值,比较 tan135°与 tan138°的大小 解:∵90°<135°<138°<270° 又∵y=tanx 在 x∈(90°,270°)上是增函数 ∴tan135°<tan138° 三、巩固与练习 P.71.练习 2,3,6 求函数 y=tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间[-π,π]内的图象 解: (1)要使函数 y=tan2x 有意义,必须且只须 2x≠ 即 x≠

?
2

+kπ,k∈Z

?
4



k? ,k∈Z 2

4 k? ? (2)设t=2x,由 x≠ ? ,k∈Z}知t≠ + 4 2 2 kπ,k∈Z ∴y=tant的值域为(-∞,+∞)

∴函数 y=tan2x 的定义域为{x∈R|,x≠

?

?

k? ,k∈Z} 2

?

即 y=tan2x 的值域为(-∞,+∞) (3)由 tan2(x+

?
2

)=tan(2x+π)=tan2x

-4-

∴y=tan2x 的周期为

?
2



(4)函数 y=tan2x 在区间[-π,π]的图象如图 四、小 结:本节课学习了以下内容:

1. 因为正切函数 y ? tan x 的定义域是 {x | x ? R, x ? k? ?

?
2

, k ? Z } ,所以它的图象被

x??

?

3 ,? ? ,......等相互平行的直线所隔开,而在相邻平行线间的图象是连续的。 2 2

2.作出正切函数的图象,也是先作出长度为一个周期(-π /2,π /2)的区间内的函数的图 象,然后再将它沿 x 轴向左或向右移动,每次移动的距离是π 个单位,就可以得到整个正切 函数的图象。 讨 论 函数 的单 调性 应借助 图 象或 相关 的函 数的单 调 性; 形如 y = tan(ωx) ,

x≠

k?

?

?

? ? (k∈Z)的周期 T= ;注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 2? ?

五、课后作业: 六、板书设计:

-5-


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