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新课标2016年高一数学寒假作业4


【KS5U】新课标 2016 年高一数学寒假作业 4 《数学》必修一~二

一、选择题. 1.集合 A ? x ? Z | ?1 ? x ? 3? 的元素个数是 ( A.1 B.2 C.3

?

) D.4

2.设集合 A ? {x | y ? lg x}, B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ? A. (0, ??) B. [1, ??) C. (0,1] D. (??,1]

3.下列函数中与 y ? x 为同一函数的是 A. y ?

x2 x

B. y ? log 3 3x

C. y ? ( x ) 2

D. y ?

x2
[来源:学优高考网][来源:学优高考网 gkstk]

4.x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x﹣[x]在 R 上为( A.增函数 B.周期函数 C.奇函数 D.偶函数



5.已知函数 f(x)的定义域为(﹣1,0) ,则函数 f(2x+1)的定义域为( A. (﹣1,1) B. C. (﹣1,0) D.



6.已知两点 P1(2,7) ,P2(6,5) ,则以线段 P1P2 为直径的圆的标准方程是(
2 2 2 2 2 2

)
2

A. (x﹣4) +(y﹣6) =5 B. (x﹣4) +(y﹣6) =10 C. (x﹣2) +(y﹣1) =5 D. (x﹣6) +(y ﹣4) =25 7.如图,已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 3 的正方形,侧棱 AA1 长为 4,且 AA1 与 A1B1,A1D1 的夹角都是 60°,则 AC1 的长等于( )
2

A.10

B.

C.

D. )

8.若函数 f(x)=x3﹣3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣2,2) B.[﹣2,2] C. (﹣∞,﹣1) D. (1,+∞)

9.偶函数 f (x) 满足 f (x﹣1) =f (x+1) , 且在 x∈[0, 1]时, f (x) =x, 则关于 x 的方程 f (x) =



在 x∈[0,4]上解的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4

)

10.如图,三棱柱 A1B1C1—ABC 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 中点,则下列叙述正确的是( ).

A、AE、B1C1 为异面直线,且 AE⊥B1C1 B、AC⊥平面 A1B1BA C、CC1 与 B1E 是异面直线 D、A1C1∥平面 AB1E C A C1 A1 B1 E B

二.填空题. 11.已知直线 l1:ax+y+3=0,l2:x+(2a﹣3)y=4,l1⊥l2,则 a= 12.设集合 A={x|x2=1},B={x|x2-2x-3=0},则 A∩B 等于 . 。 .

13.要使函数 f ( x) ? log 2 ( x ? m) 的图像不经过第二象限,则实数 m 的取值范围是 14.无论实数 a,b(ab≠0)取何值,直线 ax+by+2a﹣3b=0 恒过定点 三、解答题. 15.已知关于 x,y 的方程 C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0. (1)若方程 C 表示圆,求 m 的取值范围; (2)若圆 C 与圆 x +y ﹣8x﹣12y+36=0 外切,求 m 的值; (3)若圆 C 与直线 l:x+2y﹣4=0 相交于 M,N 两点,且 ,求 m 的值.
2 2



16.如图所示,平面 ABCD⊥平面 ABEF,ABCD 是正方形,ABEF 是矩形,且 AF= 2 AD= 2 2 , G 是 EF 的中点. (1)求证:平面 AGC⊥平面 BGC; (2)求三棱锥 A-GBC 的体积.

17.已知函数 f(x)=lg(mx-2x)(0<m<1). (1)当 m=

1 时,求 f(x)的定义域; 2

(2)试判断函数 f(x)在区间(-∞,0)上的单调性并给出证明; (3)若 f(x)在(-∞,-1]上恒取正值,求 m 的取值范围.

【KS5U】新课标 2016 年高一数学寒假作业 4 《数学》必修一~二参考答案 1.C 2.C 3.B 4.B 考点: 函数的周期性. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 可判断 f(x+1)=(x+1)﹣[x+1]=x﹣[x]=f(x) ;从而说明周期是 1 即可. 解答: 解:由题意, f(x+1)=(x+1)﹣[x+1] =(x+1)﹣([x]+1) =x﹣[x]=f(x) ; 故函数 f(x)=x﹣[x]在 R 上为周期为 1 的周期函数, 故选 B. 点评: 本题考查了函数的周期性的判断,属于基础题. 5.B 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 原函数的定义域,即为 2x+1 的范围,解不等式组即可得解. 解答: 解:∵原函数的定义域为(﹣1,0) , ∴﹣1<2x+1<0,解得﹣1<x<﹣ . ∴则函数 f(2x+1)的定义域为 故选 B. 点评: 考查复合函数的定义域的求法,注意变量范围的转化,属简单题. 6.A 【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. .

【分析】由已知两点的坐标,利用中点坐标公式求出其中点 M 的坐标,即为所求圆心坐标,再由两 点坐标,利用两点间的距离公式求出两点间的距离,即为圆的直径,进而求出圆的半径,根据求出 的圆心坐标和圆的半径写出所求圆的标准方程即可. 【解答】解:设线段 P1P2 的中点为 M, ∵P1(2,7) ,P2(6,5) ,∴圆心 M(4,6) , 又|P1P2|= ∴圆的半径为 |P1P2|= , =2 ,

则所求圆的方程为: (x﹣4)2+(y﹣6)2=5. 故选:A. 【点评】此题考查了圆的标准方程,涉及的知识有中点坐标公式,两点间的距离公式,灵活运用公 式得出圆心坐标及半径是解本题的关键. 7.C 【考点】棱柱的结构特征. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】直接根据向量的加法把所求问题分解,再平方计算出模长的平方,进而求出结论. 【解答】解:因为 ∴( =( ) =( ) +(
2 2

= +
2

+ +

+ )
2



) +(

) +2

2

?

+2

?

+2

?

=42+32+32+2×4×3cos120°+2×4×3cos120°+2×3×3cos90° =10. ∴AC1= 故选 C.

【点评】本题主要考查棱柱的结构特征以及两点间的距离计算.注意在利用两直线的夹角求向量夹 角时,注意方向性,避免出错. 8.A 【考点】函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【专题】数形结合;运动思想. 【分析】由函数 f(x)=x ﹣3x+a 求导,求出函数的单调区间和极值,从而知道函数图象的变化趋 势,要使函数 f(x)=x3﹣3x+a 有 3 个不同的零点,寻求实数 a 满足的条件,从而求得实数 a 的取 值范围. 【解答】解∵f′(x)=3x2﹣3=3(x+1) (x﹣1) , 当 x<﹣1 时,f′(x)>0; 当﹣1<x<1 时,f′(x)<0; 当 x>1 时,f′(x)>0, ∴当 x=﹣1 时 f(x)有极大值. 当 x=1 时, f(x)有极小值,要使 f(x)有 3 个不同的零点. 只需 故选 A. 【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值,函数图象的变化趋势,体现了数形结合和运动的 思想方法,属中档题. 9.D 【考点】函数的周期性;奇偶函数图象的对称性. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据已知条件推导函数 f(x)的周期,再利用函数与方程思想把问题转化,画出函数的图 象,即可求解. 【解答】解:∵f(x﹣1)=f(x+1)∴f(x)=f(x+2) , ∴原函数的周期 T=2. 又∵f(x)是偶函数,∴f(﹣x)=f(x) . 又∵x∈[0,1]时,f(x)=x,函数的周期为 2, ∴原函数的对称轴是 x=1,且 f(﹣x)=f(x+2) . ,解得﹣2<a<2.
3

设 y1=f(x) ,y2= 方程 f(x)=

, 根的个数,

即为函数 y1=f(x)的图象(蓝色部分)与 y2= 的图象(红色部分)交点的个数. 的图象:

由以上条件,可画出 y1=f(x) ,y2=

又因为当 x=1 时,y1>y2,∴在(0,1)内有一个交点. ∴结合图象可知,在[0,4]上 y1=f(x) ,y2= ∴在[0,4]上,原方程有 4 个根. 故选 D. 共有 4 个交点.

【点评】本题考查函数的性质,体现了函数与方程思想,数形结合思想,转化思想,属于基础题. 10.A 11.1 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】利用两直线垂直,x,y 系数积的和为 0 的性质求解. 【解答】解:∵直线 l1:ax+y+3=0,l2:x+(2a﹣3)y=4,l1⊥l2, ∴a+(2a﹣3)=0, 解得 a=1. 故答案为:1. 【点评】本题考查直线方程中参数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线垂直的性质 的合理运用.

12. 13. m ? ?1 函数 f ( x) ? log2 ( x ? m) 的图像是将 f ( x) ? log2 x 的图像向右平移 m 个单位而得, 要使图像不经过 第二象限,则至多向左平移一个单位(即向右平移 ?1 个单位) ,所以 m ? ?1 . 14.(﹣2,3) 考点: 恒过定点的直线. 专题: 直线与圆. 分析: 把已知直线变形为 答案. 解答: 解:由 ax+by+2a﹣3b=0,得 a(x+2)+b(y﹣3)=0,即 , ,然后求解两直线 x+2=0 和 y﹣3=0 的交点得

联立

,解得



∴直线 ax+by+2a﹣3b=0 恒过定点(﹣2,3) . 故答案为: (﹣2,3) . 点评: 本题考查了直线系方程,关键是掌握该类问题的求解方法,是基础题. 15.考点: 圆与圆的位置关系及其判定;二元二次方程表示圆的条件;直线与圆相交的性质.

专题: 综合题;转化思想. 分析: (1)把已知的方程配方后,令等号右边的式子大于 0 列出关于 m 的不等式,求出不等 式的 解集即为方程为圆时 m 的取值范围; (2)根据两圆外切时,两圆心之间的距离等于两半径相加,所以利用两点间的距离公式求出两圆心 之间的距离 d,表示出圆 C 的半径 r,找出已知圆的半径 R,令 d=R+r 列出关于 m 的方程,求出方程 的解即可求出此时 m 的值; (3) 先求出圆心 C 到直线 l 的距离 d, 然后根据垂径定理及勾股定理, 由 |MN|和圆的半径 求出的距离 d 列出关于 m 的方程,求出方程的解即可得到 m 的值. 解答: 解: (1)把方程 C:x +y ﹣2x﹣4y+m=0,配方得: (x﹣1) +(y﹣2) =5﹣m, 若方程 C 表示圆,则 5﹣m>0,解得 m<5;
2 2 2 2



(2)把圆 x +y ﹣8x﹣12y+36=0 化为标准方程得: (x﹣4) +(y﹣6) =16,得到圆心坐标(4,6) , 半径为 4, 则两圆心间的距离 d= 因为两圆的位置关系是外切,所以 d=R+r 即 4+ =5, =5,解得 m=4; = ,

2

2

2

2

(3)因为圆 C 圆心 C 的坐标为(1,2) ,则圆心 C 到直线 l 的距离 d= 所以 =( |MN|) +d ,即 5﹣m=1,解得 m=4.
2 2

点评: 此题考查学生掌握二元二次方程表示圆的条件,掌握两圆外切时两圆心之间的距离等于两 半径相加,灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值,灵活运用垂径定理及勾股 定理化简求值,是一道综合题. 16.(1)证明:∵G 是矩形 ABEF 的边 EF 的中点,∴AG=BG=2, 从而得:AG2+BG2=AB2,∴AG⊥BG. 又∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,且 BC⊥AB, ∴BC⊥平面 ABEF.∵AG?平面 ABEF,∴BC⊥AG. ∵BC∩BG=B,∴AG⊥平面 BGC, ∵AG?平面 AGC,∴平面 AGC⊥平面 BGC (2)解:由(1)得 BC⊥平面 ABEF,∴CB 是三棱锥 A-GBC 的高.

1 1 4 2 ? ?2?2?2 2 ? 3 ∴VA-GBC=VC-ABG= 3 2
17. (1)当 m=

1 1 x x -x x 时,要使 f(x)有意义,须( ) -2 >0,即 2 >2 , 2 2

可得:-x>x,∴x<0 ∴函数 f(x)的定义域为{x|x<0}. (2)设 x2<0,x1<0,且 x2>x1,则 Δ =x2-x1>0 令 g( x)=m -2 , 则 g(x2)-g(x1)=m 2-2 2-m 1+2 =m 2-m 1+2 1-2 ∵0<m<1,x1<x2<0, ∴m 2-m 1<0,2 1-2 2<0 g(x2)-g(x1)<0,∴g(x2)<g(x1) ∴lg[g(x2)]<lg[g(x1)], ∴Δ y=lg(g(x2))-lg(g(x1))<0, ∴f(x)在(-∞,0)上是减函数.
x x x x x x x x 2 x x x x 1 x x

(3)由(2)知:f(x)在(-∞,0)上是减函数, ∴f(x)在(-∞,-1]上也为减函数, ∴f(x)在(-∞,-1]上的最小值为 f(-1)=lg(m -2 ) 所以要使 f(x)在(-∞,-1]上恒取正值, 只需 f(-1)=lg(m -2 )>0,
-1 -1 -1 -1


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