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人教A第二章学案2 平面向量的加法与减法运算及其几何意义_图文

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学点一
学点二 学点三

1.向量加法的三角形法则:已知非零向量a,b,在平面内任取 一点A,作AB=a,BC=b,则向量 AC叫做a与b的和, AB+BC AC 记作 ,即a+b= = .这种求向量 a+b 和的方法,就叫做向量加法的三角形法则. 2.向量加法的平形四边形法则 (1)以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边 形OACB,则以O为起点的对角线 OC 就是a与b的和.我 们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法 则. (2)对于零向量与任一向量a,我们规定a+0=0+a = a .

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3.向量减法的几何意义 已知a,b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b, 则 BA =a-b.即a-b可以表示为从向量 b 的终点指向 向量 a 的终点的向量.

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学点一 向量的加法、减法的定义及三角形法则

如图所示,已知不共线的两个非零向量a,b,求作向量 a+b,a-b,b-a,-a-b.
【分析】由三角形法则作出和、差向量.

【解析】(1)作a+b.

图2.2-1-1

解法一:如图2.2-1-2所示,图2.2-1-1在平面内任取一点 O,作OA=a,AB=b,则OB=a+b.

图2.2-1-2

图2.2-1-3

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解法二:如图2.2-1-3所示在平面内任取一点O,作 OA=a,OB=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OA CB, 连接OC,则OC=OA+OB=a+b.

图2.2-1-4

(2)作OA=a,OB=b,则BA=a-b,AB=b-a (如图2.2-1-4所示). (3)对于-a-b,可用下列两种解法: 解法一:作OA=-a,OB=b,则BA=-a-b(如图 2.2-1-5所示)

图2.2-1-5

图2.2-1-6

解法二:作OA=a,OB=b,再以OA,OB为邻边作平 行四边形OACB,则CO=-a-b(如图2.2-1-6所示). 返回

【评析】求两个向量的加法、减法要注意三角形法则和 平行四边形法则的应用,求两个向量的减法可以转化为 向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后用加法 a+(-b)即可,也可以直接用向量减法的三角形法则, 即把两向量的起点重合,则差向量连接两个向量的终点, 指向被减向量的终点.

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根据向量加法的三角形法则,作出下列向量: a+b,b+a. 如图所示,AC=AB+BC=a+b,AC=AD+DC =b+a. 在作图过程中要注意保持a,b的方向不变,从本例的结果 可以验证向量加法的交换律及平行四边形法则.

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学点二

化简向量式

化简:
(1)BC+AB; (2)DB+CD+BC. (3)求AB-CD-AC+BD.

【分析】由向量加法、减法运算法则化简.

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【解析】(1)BC+AB=AB+BC=AC. (2)DB+CD+BC=(DB+BC)+CD=DC+ CD=DD=0; 或DB+CD+BC=(DB+CD)+BC=(CD+D B)+BC=CB+BC=CC=0. (3)AB-CD-AC+BD=(AB-AC)+

(DC-DB)=CB+BC=0.

【评析】根据向量加法的交换律使各向量首尾相连,再运 用向量的结合律调整向量顺序相加.

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学点三 用已知向量表示所求向量

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【分析】

【解析】

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1.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段 OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则 AF=( )

A. a+ b
C. a+ b

1 4 1 2

1 2 1 4

1 B. 3 a+ 2 D. a+ 3

2 3 1 3

b
b

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1.D(AF=AC+CF=a+ =+ (b-a)= a+ b. 故应选D.)
1 3 2 3 1 3

2 CD 3

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不共线向量a,b,|a+b|和|a-b|有何几何意义?
如图2.2-1-18所示,设OA=a,OB=b,根据向量加 法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则,有 OC=a+b,BA=a-b.因为四边形OACB是平行 四边形,所以|a+b|=|OC|,|a-b|=|BA|分别是以 OA,OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.

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